We give a short proof, based on symmetric function theory, of a formula due
to Goupil and Schaeffer, counting the number of factorizations of a cycle of
maximal length in the symmetric group, into the product of two permutations of
given conjugacy classes.Comment: 3 pages; in Frenc

Biane, Philippe

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Nombre de factorisations d’un grand cyclePhilippe BianeTo cite this version:Philippe Biane. Nombre de factorisations d’un grand cycle. Seminaire Lotharingien de Com-binatoire, Universite´ Louis Pasteur, 2004, 51 (1), 10pp. <hal-00622733>HAL Id: hal-00622733https://hal-upec-upem.archives-ouvertes.fr/hal-00622733Submitted on 12 Sep 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Se´minaire Lotharingien de Combinatoire 51 (2004), Article B51aNombre de factorisations d’un grand cyclePhilippe BianeRe´sume´. On donne une de´monstration simple d’une formule deGoupil et Schaeffer qui compte le nombre de factorisations d’uncycle de longueur maximale dans Sn en produit de deux permuta-tions de classes de conjugaisons donne´es.Dans la suite on utilise les notations du livre de Macdonald [M].Soit cnλµ le nombre de factorisations dans Sn d’un cycle de longueurn en un produit de deux permutations de classes de conjugaison λ etµ. La the´orie des caracte`res donne la formule(1) cνλµ =n!zλzµ∑ρ`nχρλχρµχρνχρ1n.pour le nombre de de´compositions d’une permutation de classe ν enproduit de deux permutations de classes λ et ν. La somme porte surles partitions de n et les χρ sont les caracte`res du groupe syme´trique,tandis que zλ =∏i αi! iαi si λ = 1α12α2 . . . nαn .Lorsque ν = (n), un cycle de longueur maximale, on a χρν = 0 saufsi ρ est une e´querre, c’est-a`-dire un diagramme de la forme 1r(n − r),et on obtient(2) cnλµ =nzλzµn−1∑r=0(−1)rr! (n− 1− r)!χ1r(n−r)λ χ1r(n−r)µ .qui est la formule (4) de [GS]. Cet article se poursuit par une analysecombinatoire de cette formule, pour la transformer en une expressionne contenant que des termes positifs. Nous allons suivre une voie plusalge´brique et introduire une fonction ge´ne´ratrice pour ces quantite´s enutilisant les fonctions syme´triques pλ (cf. [M]). L’utilisation de tellesfonctions ge´ne´ratrices est un outil puissant dans ce genre de proble`me,cf. par exemple [J] pour des re´sultats voisins.2000 Mathematics Subject Classification. Primary 05A15; Secondary 05E05.12 PHILIPPE BIANEOn conside`re donc la fonction ge´ne´ratriceψ(x, y) =∑n1n∑λ,µ`npλ(x)pµ(y)cnλµ.D’apre`s (2) elle est donne´e parψ(x, y) =∑nn−1∑r=0(−1)rr! (n− 1− r)!∑λ,µ`npλ(x)pµ(y)zλzµχ1r(n−r)λ χ1r(n−r)µ .D’apre`s [M, I. (7.6) et I.3 example 9], on aψ(x, y) =∑nn−1∑r=0(−1)rr! (n− 1− r)! s(n−r−1|r)(x)s(n−r−1|r)(y).Les sλ sont les fonctions de Schur, et (a|b) = (a + 1, 1b) suivant lanotation de Frobenius. D’apre`s [M, I.3 example 14], on a∏i1 + vxi1− uxi = 1 + (u+ v)∑a,b≥0s(a,b)uavb.Nous allons donner une repre´sentation inte´grale de cette expression enutilisant l’identite´1pi∫Cuku¯le−|u|2du = δkl k!.On obtientψ(x, y) =1pi2∫C∫C(∏i1−vxi1−uxi − 1u− v)(∏i1+v¯yi1−u¯yi − 1u¯+ v¯)e−|u|2−|v|2 du dv=1pi2∫C∫C(exp(∑rur−vrrpr(x))− 1u− v)×exp(∑ru¯r−(−v¯)rrpr(y))− 1u¯+ v¯ e−|u|2−|v|2 du dv.Faisons le changement de variables u = a+ b, v = a− b. L’inte´grale neconverge pas, mais le de´veloppement en se´rie des pλ converge terme a`terme, et ce changement de variable est une fac¸on rapide d’obtenir desNOMBRE DE FACTORISATIONS D’UN GRAND CYCLE 3relations entre les coefficients de ce de´veloppement. On trouveψ(x, y) =2pi2∫C∫Cexp(∑r(a+b)r−(a−b)rrpr(x))− 12b×exp(∑r(a¯+b¯)r−(b¯−a¯)rrpr(y))− 12a¯ e−2|a|2−2|b|2 da db.Or le polynoˆme Qr(a, b) = (a + b)r − (a − b)r a tous ses coefficientspositifs, par conse´quent quand on de´veloppe cette expression en termesdes pλ(x)pµ(y) on trouve des coefficients positifs. Plus pre´cise´ment, sion noteRλ(a, b) =1b∏iQi(a, b)αiiαiαi!=1zλb∏iQλi(a, b)pour λ = 1α12α2 . . ., qui est un polynoˆme homoge`ne de degre´ n − 1,alors on acnλ,µ =n2−n−1pi2∫C∫CRλ(a, b)Rµ(b¯, a¯)e−|a|2−|b|2 da db,ou encore, en appelant rklλ le coefficient de akbl dans Rλ, (qui est positif)on obtient l’expressioncnλ,µ = n2−n−1∑k,lrklλ rlkµ k! l!,qui est e´quivalente a` la formule de Goupil et Schaeffer.Plusieurs questions naturelles sont souleve´es par le calcul pre´ce´dent.Tout d’abord on peut essayer de retrouver la formule plus ge´ne´rale duˆea` Poulalhon et Schaeffer [PS], qui compte des factorisations en unnombre arbitraire de facteurs, mais l’inte´grale qu’on obtient contientplus de deux variables et il ne semble pas qu’un simple changementde variable permette de la simplifier suffisamment. Une autre pisteest d’essayer de compter les factorisations de permutations ayant deuxcyles. Dans le cas de la classe de conjugaison 11(n−1) on peut mettre lafonction ge´ne´ratrice sous forme d’un inte´grale double mais l’inte´grandcontient un terme polynomial de signe non constant, et je ne vois pascomment en tirer une expression avec des termes positifs.Bibliographie[GS] A. Goupil, G. Schaeffer, Factoring N -cycles and counting maps of given genus.Eur. J. Combinatorics 19 (1998), 819–834.4 PHILIPPE BIANE[J] D. M. Jackson, Counting cycles in permutations by group characters, with anapplication to a topological problem. Trans. Amer. Math. Soc. 299 (1987), no. 2,785–801.[M] I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Second Edition,Oxford Univ. Press, Oxford, 1995.[PS] D. Poulalhon, G. Schaeffer, Factorizations of large cycles in the symmetricgroup. Discrete Math. 254 (2002), no. 1–3, 433–458.CNRS, De´partement de Mathe´matiques et Applications, E´cole Nor-male Supe´rieure, 45, rue d’Ulm 75005 paris, FRANCEE-mail address: Philippe.Biane@ens.fr

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