Rapporto del Dipartimento di Matematica Applicata dell'Università di Venezi

FUNARI S

GIOVE S.

NARDELLI C

Archivio Istituzionale della Ricerca

Analisi intervallare per modelli di selezione del portafoglio

GIOVE, Silvio

FUNARI, Stefania

NARDELLI C.

Archivio istituzionale della ricerca - Università degli Studi di Venezia Ca' Foscari

ANALISI INTERVALLAREPER MODELLI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIOSilvio GioveDipartimento di Matematica Applicata, Università Ca’Foscari di Veneziae-mail: sgiove@unive.itStefania FunariDipartimento di Matematica Applicata, Università Ca’Foscari di Veneziae-mail: funari@unive.itCarla NardelliDipartimento di Discipline Economico-Aziendali, Università di Messinae-mail: nardelli@unive.it1. IntroduzioneFra gli approcci proposti in letteratura per affrontare i problemi di selezione delportafoglio, oltre ai metodi derivati dal ben noto modello di Markowitz, è interessanteconsiderare la programmazione possibilistica in cui i tassi di rendimento, anziché esseredescritti da variabili casuali, sono rappresentati da variabili possibilistiche (Inuiguchi-Ramik, 2000, Tanaka-Guo-Turksen, 2000). Diverso è in tal caso il significatodell’incertezza assegnato a tali variabili, che risulta caratterizzato da mbiguità piuttostoche da stocasticità, si veda al proposito Inuiguchi-Sakawa (1995). Seguendo tale filone,ma con un approccio leggermente diverso, i coefficienti della funzione obiettivo e deivincoli possono essere rappresentati da opportuni intervalli. A tal proposito segnaliamoche in Alefeld-Mayer (2000) vengono presentate la teoria e le applicazioni dell'analisiintervallare. Applicazioni dell’analisi intervallare a problemi di programmazione sitrovano in Chinneck-Ramadan (2000), dove viene affrontato un problema diprogrammazione lineare, ed in Inuiguchi-Sakawa (1995) che considera un problemaanalogo ma la funzione oggetto viene ottimizzata per mezzo del criterio del minimaxregret. A tal proposito ricordiamo che in Inuiguchi-Tanino (2000) viene proposto unnuovo approccio alla programmazione possibilistica basato sul metodo del regret,secondo cui il decisore ha come obiettivo la m nimizzazione di un funzionale cherappresenta la massima deviazione possibile tra il rendimento realizzato del portafoglioed il rendimento di un be chmark. Ispirandosi a tale approccio, nel presente lavoro vieneaffrontato un problema di selezione del portafoglio in cui i coefficienti della funzioneobiettivo e dei vincoli sono rappresentati da intervalli. La selezione del portafoglio vieneaffrontata come un problema di programmazione non lineare a coefficienti intervallar ,con il metodo del r gret, e la quantificazione del rischio di portafoglio è data da unamisura di possibilità.2. Regret e portafoglio a variabili intervallariSi definisce la funzione regret nel modo seguente),(max);(10cxcyFcxr TTyTey=³= (2.1)dove la funzione +++ Â®Â´Â 00:F  è continua, strettamente crescente nella primacomponente e strettamente decrescente nella seconda; nx ÂÎ  rappresenta il vettore dellequote di portafoglio, nc ÂÎ  indica il vettore dei prezzi, ciascuno dei quali appartenentead un intervallo strettamente positivo:0    ],  ,[    , infsupinf >=Î iiiiii cccCCc  (2.2)ed Te )1,...,1(= .Si osservi che, come conseguenza della definizione (2.1), se*y  massimizza la funzioneF  rispetto alla sua prima componente, segue immediatamente  dai vincoli1  ,0 =³ yey T  chexcyc TT ³* (2.3)Si assuma che0 ,0),( >³"³ babaF (2.4)e0 0),( >=Û= babaF (2.5)in quanto nel caso migliore (che si ottiene quando il portafoglio scelto x  soddisfa*ycxc TT = ) facciamo in modo che il regret risulti nullo.Si  ipotizzi inoltre che IniiC1=Æ¹ , in modo da garantire che non esiste un titolodominante, nel senso che tutti i valori di rendimento di questo titolo non sonosistematicamente maggiori dei valori assunti dai  rendimenti di tutti gli altri titoli.E' possibile dimostrare che anche la funzione regret d finita in (2.1) è una variabileintervallare.Proposizione: al variare di }1   ,0   :{ =³ÂÎ=Î xexxXx Tn  e dinCCCCc ´´´=Î ...21 , si ha che il regret );( cxr  è un intervallo ],[supinf rrr = , dove0inf =r  e  )},({maxmax);(  x infsup,supjiijiCcXxcxccFcxrmar¹ÎÎ== .3. Misure di possibilità per intervalli ed applicazione alla selezione delportafoglioIn questo lavoro vengono formulati e studiati alcuni modelli di selezione di portafoglioche utilizzano la funzione regret e un'estensione alle variabili intervallari delle definizionidi misure di possibilità e necessità associate a numeri fuzzy presentate in Inuiguchi-Ramik(2000).Indicata con { }hIPos £  la misura di possibiltà che l'intervallo I sia minore dih, dove h èun parametro reale positivo, viene formulato il seguente problema di selezione diportafoglio:CcxxehcxrPosTxhÎ³=£01});({ max,(3.1)Il problema (3.1) viene discusso ed analizzato al variare della forma funzionale di Fpresente nella funzione regret; in particolare risultano interessanti i due casi in cui F èuna funzione lineare oppure frazionaria.BibliografiaAlefeld, G., Mayer G. (2000), “Interval Analysis: theory and applications”, Journal ofComputational and Applied Mathematics, 121, 421-464.Chinneck J.W., Ramadan K. (2000), “Linear programming with interval coefficients”,Journal of the Operational Research Society, 51, 209-220.Inuiguchi M., Ramik J. (2000), “Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzymathematical programming and a comparison with stochastic programming inportfolio selection problem”, Fuzzy Sets and Systems, 111, 3-28.Inuiguchi M., Sakawa M. (1995), “Minimax regret solution to linear programmingproblems with an interval objective function”, European Journal of OperationalResearch, 86, 526-536.Inuiguchi M., Tanino T. (2000), “Portfolio selection under indipendent possibilisticinformation”, Fuzzy Sets and Systems, 115, 83-92.Tanaka H., Guo P., Turksen I.B. (2000), “Portfolio selection based on fuzzy probabilitiesand possibilities distributions ”, Fuzzy Sets and Systems, 111, 387-397.

Archivio Ricerca Ca'Foscari

ANALISI INTERVALLARE
PER MODELLI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO
Silvio Giove
Dipartimento di Matematica Applicata, Università Ca’Foscari di Venezia
e-mail: sgiove@unive.it
Stefania Funari
Dipartimento di Matematica Applicata, Università Ca’Foscari di Venezia
e-mail: funari@unive.it
Carla Nardelli
Dipartimento di Discipline Economico-Aziendali, Università di Messina
e-mail: nardelli@unive.it
1. Introduzione
Fra gli approcci proposti in letteratura per affrontare i problemi di selezione del
portafoglio, oltre ai metodi derivati dal ben noto modello di Markowitz, è interessante
considerare la programmazione possibilistica in cui i tassi di rendimento, anziché essere
descritti da variabili casuali, sono rappresentati da variabili possibilistiche (Inuiguchi-
Ramik, 2000, Tanaka-Guo-Turksen, 2000). Diverso è in tal caso il significato
dell’incertezza assegnato a tali variabili, che risulta caratterizzato da mbiguità piuttosto
che da stocasticità, si veda al proposito Inuiguchi-Sakawa (1995). Seguendo tale filone,
ma con un approccio leggermente diverso, i coefficienti della funzione obiettivo e dei
vincoli possono essere rappresentati da opportuni intervalli. A tal proposito segnaliamo
che in Alefeld-Mayer (2000) vengono presentate la teoria e le applicazioni dell'analisi
intervallare. Applicazioni dell’analisi intervallare a problemi di programmazione si
trovano in Chinneck-Ramadan (2000), dove viene affrontato un problema di
programmazione lineare, ed in Inuiguchi-Sakawa (1995) che considera un problema
analogo ma la funzione oggetto viene ottimizzata per mezzo del criterio del minimax
regret. A tal proposito ricordiamo che in Inuiguchi-Tanino (2000) viene proposto un
nuovo approccio alla programmazione possibilistica basato sul metodo del regret,
secondo cui il decisore ha come obiettivo la m nimizzazione di un funzionale che
rappresenta la massima deviazione possibile tra il rendimento realizzato del portafoglio
ed il rendimento di un be chmark. Ispirandosi a tale approccio, nel presente lavoro viene
affrontato un problema di selezione del portafoglio in cui i coefficienti della funzione
obiettivo e dei vincoli sono rappresentati da intervalli. La selezione del portafoglio viene
affrontata come un problema di programmazione non lineare a coefficienti intervallar ,
con il metodo del r gret, e la quantificazione del rischio di portafoglio è data da una
misura di possibilità.
2. Regret e portafoglio a variabili intervallari
Si definisce la funzione regret nel modo seguente
),(max);(
1
0
cxcyFcxr TT
yTe
y
=
³
= (2.1)
dove la funzione +++ Â®Â´Â 00:F  è continua, strettamente crescente nella prima
componente e strettamente decrescente nella seconda; nx ÂÎ  rappresenta il vettore delle
quote di portafoglio, nc ÂÎ  indica il vettore dei prezzi, ciascuno dei quali appartenente
ad un intervallo strettamente positivo:
0    ],  ,[    , infsupinf >=Î iiiiii cccCCc  (2.2)
ed Te )1,...,1(= .
Si osservi che, come conseguenza della definizione (2.1), se*y  massimizza la funzione
F  rispetto alla sua prima componente, segue immediatamente  dai vincoli
1  ,0 =³ yey T  che
xcyc TT ³* (2.3)
Si assuma che
0 ,0),( >³"³ babaF (2.4)
e
0 0),( >=Û= babaF (2.5)
in quanto nel caso migliore (che si ottiene quando il portafoglio scelto x  soddisfa
*ycxc TT = ) facciamo in modo che il regret risulti nullo.
Si  ipotizzi inoltre che I
n
i
iC
1=
Æ¹ , in modo da garantire che non esiste un titolo
dominante, nel senso che tutti i valori di rendimento di questo titolo non sono
sistematicamente maggiori dei valori assunti dai  rendimenti di tutti gli altri titoli.
E' possibile dimostrare che anche la funzione regret d finita in (2.1) è una variabile
intervallare.
Proposizione: al variare di }1   ,0   :{ =³ÂÎ=Î xexxXx Tn  e di
nCCCCc ´´´=Î ...21 , si ha che il regret );( cxr  è un intervallo ],[
supinf rrr = , dove
0inf =r  e  )},({maxmax);(  x infsup
,
sup
ji
iji
Cc
Xx
cx
ccFcxrmar
¹
Î
Î
== .
3. Misure di possibilità per intervalli ed applicazione alla selezione del
portafoglio
In questo lavoro vengono formulati e studiati alcuni modelli di selezione di portafoglio
che utilizzano la funzione regret e un'estensione alle variabili intervallari delle definizioni
di misure di possibilità e necessità associate a numeri fuzzy presentate in Inuiguchi-Ramik
(2000).
Indicata con { }hIPos £  la misura di possibiltà che l'intervallo I sia minore dih, dove h è
un parametro reale positivo, viene formulato il seguente problema di selezione di
portafoglio:
Cc
x
xe
hcxrPos
T
xh
Î
³
=
£
0
1
});({ max
,
(3.1)
Il problema (3.1) viene discusso ed analizzato al variare della forma funzionale di F
presente nella funzione regret; in particolare risultano interessanti i due casi in cui F è
una funzione lineare oppure frazionaria.
Bibliografia
Alefeld, G., Mayer G. (2000), “Interval Analysis: theory and applications”, Journal of
Computational and Applied Mathematics, 121, 421-464.
Chinneck J.W., Ramadan K. (2000), “Linear programming with interval coefficients”,
Journal of the Operational Research Society, 51, 209-220.
Inuiguchi M., Ramik J. (2000), “Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy
mathematical programming and a comparison with stochastic programming in
portfolio selection problem”, Fuzzy Sets and Systems, 111, 3-28.
Inuiguchi M., Sakawa M. (1995), “Minimax regret solution to linear programming
problems with an interval objective function”, European Journal of Operational
Research, 86, 526-536.
Inuiguchi M., Tanino T. (2000), “Portfolio selection under indipendent possibilistic
information”, Fuzzy Sets and Systems, 115, 83-92.
Tanaka H., Guo P., Turksen I.B. (2000), “Portfolio selection based on fuzzy probabilities
and possibilities distributions ”, Fuzzy Sets and Systems, 111, 387-397.


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