ABSTRACT: The sum of squares is used in order to carry out a decomposition of the entire variability attributable to a
response variable Y in the different components or controlled or manipulated factors by the an investigator
X, and the addition of the experimental error that constitutes the source of variation that agglutinates all
the not controlled components inside the model of experimental classification.RESUMEN: La suma de cuadrados se emplea con el fin de efectuar una descomposición de la variabilidad total
atribuible a la variable respuesta Y, en los diferentes componentes o factores controlados o manipulados
por el investigador x, y la adición del error experimental, que constituye la fuente de variación que aglutina
a todos los componentes no controlados dentro del modelo de clasificación experimenta

Restrepo Betancur, Luis Fernando

Revista Colombiana de Ciencias Pecuarias

Spanish

Biblioteca Digital del Sistema de Bibliotecas de la Universidad de Antioquia

Rev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215 209Tipos de suma de cuadrados en el  análisis de la varianzaTypes of sum of squares for analysis of varianceLuis	F	Restrepo	B1∗,	Estad,	Esp	estad	bioma.1	Grupo	de	Investigación	Grica,	Facultad	de	Ciencias	Agrarias,	Universidad	de	Antioquia,	AA	1226,	Medellín,	Colombia.	lusitano@agronica.udea.edu.co(Recibido:		31	mayo,	2006;	aceptado:	26	abril,	2007).ResumenLa suma de cuadrados se emplea con el fin de efectuar una descomposición de la variabilidad total atribuible a la variable respuesta Y, en los diferentes componentes o factores controlados o manipulados por el investigador x, y la adición del error experimental, que constituye la fuente de variación que aglutina a todos los componentes no controlados dentro del modelo de clasificación experimental.Palabras clave: anova, estimación, hipótesis, sumas de  cuadrados.SummaryThe sum of squares is used in order to carry out a decomposition of the entire variability attributable to a response variable Y in the different components or controlled or manipulated factors by the an investigator X, and the addition of the experimental error that constitutes the source of variation that agglutinates all the not controlled components inside the model of experimental classification.Key words: anava, estimation, hypothesis, sum of squared.*		 Autor	para	el	envío	de	la	correspondencia	y	la	solicitud	de	separatas.	Facultad	de	Ciencias	Agrarias,	Universidad	de	Antioquia,	AA	1226,	Medellín,	Colom-bia.	E-mail:	lusitano@agronica.udea.edu.coIntroducción El	 objetivo	 en	 todo	 diseño	 experimental	 es	minimizar la suma de cuadrados del error, con el fin de	poder	maximizar	el	rechazo	de	la	hipótesis	nula	y	así	establecer	divergencia	en	el	efecto	de	los	tratamientos	(véase	Figura	1).Rev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215210 Figura 1. Distribución angular. -1-1El	cual	constituye	el	proyector	ortogonal	de	y	sobre	el	espacio	generado	por	las	columnas	de	X,		C	(x)Y = Ŷ + ê  donde,Ŷ ε C (x), y ε Rn, ê ε CI(x)Y: variable dependiente, ê: error experimental, Ŷ: matriz	diseño.I	–	P , es	un	proyector	ortogonal	de	y	sobre	el	complemento	ortogonal	del	espacio	columna	de x,	C	(x)Dado	el	concepto	de	ortogonalidad	y	aplicando	el	Teorema	de	Pitágoras,	se	genera	la	descomposición	ortogonal	clásica	del	análisis	de	la	varianza	(8):║Y║2 = ║Ŷ║2 + ║ê║2	 	 									n║Y║2	= Y’Y =  Σ Yi2	=	Suma	de	cuadrados			 	 	 	total	 	 												i=1║ Ŷ ║2	= Ŷ ’ Ŷ  = Y’PY = Suma	de				 	 	 																							cuadrados		 	 	 	 								de	parámetros	║ê║2	=	ê	’	ê			=	Y’(I-P)Y	=	Suma	de		 	 	 	 										cuadrados		 	 	 	 										residualTipos de sumas de cuadradosSuma de cuadrados tipo I  Se	genera	por	medio	del	método	de	la	ordenación	a	 priori,	 en	 el	 cual	 se	 efectúan	 ordenaciones	paramétricas	 de	 interés	 en	 forma	 a	 priori,	obteniéndose	 un	 cuadrado	 único	 y	 un	 análisis	 que	contenga	 todas	 las	 ordenaciones	 generadas	 por	 el	modelo de clasificación experimental (10).La	suma	de	cuadrados	tipo	I	se	usa	para	probar	hipótesis	 sobre	medias	 ponderadas,	 ajustadas	 o	 no	(1,	19).La	suma	de	cuadrados	tipo	I	es	igual	a	la	suma	de	cuadrados	tipo	II,	III	y	IV	para	diseños	balanceados;	es	 decir	 aquellos	 diseños	 donde	 cada	 tratamiento	tiene	igual	número	de	replicaciones	(2,	3).Si	se	tiene	un	diseño	de	estructura:μ: efecto promedio.A	y	B	factores	de	interés.Є: error experimental.Se	desprende:A  R(α/μ)B  R(β/ μ, α)AB  R(α β/ μ, α, β)La	 suma	 de	 cuadrados	 tipo	 I	 se	 emplea	 en	diseños	 donde	 hay	 interacción	 o	 no	 de	 factores	 o	donde	existen	factores	anidados	(18).Suma de cuadrados tipo ll  Esta	 se	 puede	 generar	 a	 partir	 de	 la	 suma	 de	cuadrados	tipo	I,	en	la	cual	se	escogen	únicamente	las	hipótesis	asociadas	con	medias	ponderadas	ajustadas.	La	suma	tipo	II	es	de	la	forma:	R(α / μ, β) y R(β/ μ, α)Rev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215 211En	la	suma	de	cuadrados	tipo	I	se	tiene:R(μ) + R(α/ μ) + R(β/ μ, α) + R(γ/ μ, α, β) = R(μ) + R(β/ μ) + R(α/ μ, β) + R(γ / μ, α, β) = R(μ, α, β, γ)En	 la	 suma	 de	 cuadrados	 tipo	 II	 en	 general	 no	siempre	ocurre	lo	anterior.	Las	sumas	de	cuadrados	tipo	II	son	provenientes	de	una	partición	ortogonal	de	la	suma	de	cuadrados	de	los	parámetros,	así	(10).R(μ) + R(α/ μ, β) + R(β/ μ, α) + R(γ/ μ, α, β) ≠ R(μ, α, β, γ)	 R(	)A R(α /μ, β)		suma	de	cuadrados	de	A.B R(β /μ, α)	suma	de	cuadrados	de	B.AB R (γ /μ, α, β)	suma	de	cuadrados	de	la			 interacción	AB.La	SC	Tipo	II	=SC	Tipo	III	=	SC	Tipo	IV			Si	no	existe	interacción	en	el	modelo.La	suma	de	cuadrados	Tipo	II	puede	ser	descrita	en	general	R	(@	factor	/	con	todos	los	otros	factores	apropiados)Por	ejemplo,	la	suma	de	cuadrados	para	el	factor	A,	es	la	suma	de	cuadrados	ajustada	por	todos	los	otros	factores	y	las	interacciones,	excepto	las	interacciones	donde	está	el	factor	A	y	los	factores	anidados	dentro	de	A.La	suma	de	cuadrados	de	A	es:		R(α /μ, β) y	no	R(α / μ, β, α x	β)Para	un	modelo	con	dos	factores	cruzados		A,	B;	y	un	factor	C	anidado	dentro	de	A 	C:	A La	suma	de	cuadrados Tipo	II	para A, es:R(α/ μ, β) y no  R(α/ μ, β, γ: α)Suponga	que	hay	tres	factores A,	B	y	C donde	sólo	hay	interacción	entre	los	factores	A	y	B.	La	suma	de	cuadrados	de	A	es:	R(α/ μ, β, γ)La	de	B	es:	R(β / μ, α, γ)Y	la	de	C	es:	R(γ / μ, α, β, α x β)Finalmente,	la	de	la	interacción	de	A	*	B 	es:R(α x β / μ, α, β, γ)Suma de cuadrados tipo lll  Las	 sumas	 de	 cuadrados	 tipo	 III	 se	 pueden	obtener	 entre	 otros,	 a	 través	 de	 los	 métodos	 de	cuadrados	 de	 medias	 ponderadas	 (20),	 	 o	 por	 el	método	de	los	mínimos	cuadrados	completos	(15),	o	por	medio	de	la	inversa	de	una	fracción,	de	la	inversa	de	 Searle	 (16)	 Las	 hipótesis	 son	 sobre	 medias	 no	ponderadas.Con	base	en	la	estructura:	Se	tiene	por	el	método	de	Yates.La	 suma	 de	 cuadrados	 tipo	 III	 sirve	 para	modelos	 restringidos.	 Por	 ejemplo,	 de	 la	 forma:	R	Donde:	Cabe	anotar	que	la	suma	de	cuadrados	de	este	tipo	también	se	puede	emplear	ante	la	presencia	de	datos	completos	en	todas	las	celdas	(5).	Siendo	idéntica	a	la	suma	de	cuadrados	de	promedios	ponderados.Rev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215212Suma de cuadrados tipo lV Esta	es	similar	a	 la	suma	de	cuadrados	 tipo	III,	si	 no	 existen	 celdas	 vacías.	 Si	 al	menos	 una	 celda	está vacía, la SC tipo III ≠ SC tipo IV y se asocian a diferentes	hipótesis.Ante	 la	 presencia	 de	 celdas	 vacías	 la	 suma	 de	cuadrados	tipo	IV	puede	no	ser	única	ya	que	depende	de	la	posición	y	del	número	de	celdas	vacías.La	 suma	 de	 cuadrados	 tipo	 IV	 está	 referida	 a	hipótesis	sobre	contrastes	entre	medias	poblacionales	de celdas ubicadas en la misma columna o fila. Siempre	se	inician	las	comparaciones	por	la	última	fila o columna. Las	 sumas	 de	 cuadrados	 tipo	 I,	 II,	 III	 son	empleadas	 para	 estimar	 un	modelo	 y	 diferentes	subconjuntos	teóricos	derivados	del	modelo	(12).	Mientras	la	suma	de	cuadrados	tipo	IV	se	utiliza	para	 probar	 hipótesis	 que	 son	 determinadas	 por	el	 procedimiento	 GLM	 (modelo	 lineal	 general)	del	paquete	estadístico	SAS,	donde	las	hipótesis	seleccionadas	dependen	del	patrón	de	las	celdas,	y	del	estadístico	F	acorde	a	la	prueba	estadística	del	conjunto	de	hipótesis	existentes.La	suma	de	cuadrados	tipo	IV	puede	diferenciar	una secuencia de filas de otras (13), para el mismo conjunto	de	datos,	donde	se	recuerda	que	no	es	única	dicha suma de cuadrados para las filas o columnas existentes.Suponga	que	se	tiene:FILA1			 M11 M13 M14FILA2    M21 M22 FILA3     M32  M33 M34Las hipótesis para el conjunto de filas en el proceso GLM	del	SAS	pueden	ser:H1:						M33 +	M34 – (M13 +	M14)	= 0 	 				M32 – M22 =	0H1:	hipótesis	de	contraste.,	y	se	relacionan	con	la	suma	tipo	IV,	la	cual	se	puede	calcular	a	partir	de	QQ = β0’	K	(K’GK)-1K’ β0	=	Y’XG’K(K’GK)-1K’GX’YAsociada	en	general	a	la	hipótesis:H : K’ β = 0Cuando	γ k		= γ x	– 1 , μ = 0    y  K’ 1 = 0      Q= R(β)-R(μ)Cuando γ k	 	= γ x	 ,	 M	 =0	 correspondiente	 a	 la	hipótesisH: X β= 0 Q= R(β)	 	 Q=SSRSi γ x		= γ k				M	=	0La	simetría	de	X’X	implica	que	la	matriz	R	es	de	rango completo γ x		tal	que,	X’X	=RR’		donde	(R’R)-1	existe.Q 0 =Y ’ X R ( R ’ R )- 2R ’ K { K ’ R ( R ’ R ) - 2 R ’ K } - 1	K’R(R’R)-2R’X’Y	 =	 Y’XR(R’R)-1L’	 (LL’)-1L	 (R’R)-1	RX’Y	donde	L	=	K’R(R’R)-1K’ tiene rango completo γx fila y R tiene rango completo columna γx	ademas	(L’L)-1 existe    ILI ≠ 0 tambien	L-1	existe.Q0	=	Y’XR(R’R)-2RX’Y	=	Y’	XGX’Y	=	SSRLa	suma	de	cuadrados	tipo	IV	no	necesariamente	tiene en cuenta  todos los datos. Las secuencias de filas pueden	ser	leídas	en	forma	diferente	conduciendo	a	diferentes	sumas	de	cuadrado	tipo	IV	(8,	10).	La	suma	de	cuadrados	tipo	IV	depende	de	la	secuencia	en	que	esté la fila con los efectos promedios (10).ConclusionesEn	 general	 se	 pueden	 concluir	 las	 siguientes	relaciones	 entre	 las	 sumas	 de	 cuadrados	 por	 el	procedimiento	GLM	del	SAS:1.	 Si	las	muestras	son	balanceadas.			SCI	=	SCII	=	SCIII	=	SCIV	(8)2.	Si	todas	las	celdas	están	ocupadas	(14).			SCIII	=	SCIVRev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215 2133.	 Si	el	modelo	no	contiene	interacción.			SCII	=	SCIII	=	SCIV4.	Las	sumas	de	cuadrados	pueden	estar	asociadas	a	diferentes	hipótesis.	5.	 El	 investigador	 deberá	 tener	 un	 conocimiento	amplio de estadística, a fin de poder distinguir bien las	hipótesis;	o	estar	muy	bien	asesorado	por	un	profesional	 con	amplio	conocimiento	en	el	 tema	estadístico	experimental.	Debe	existir	una	perfecta	interacción	entre	el	investigador	y	el	estadístico	en	todas	las	fases	del	proceso	experimental,	y	sobre	todo	al	momento	de	plantear	las	hipótesis	de	interés	práctico	y	las	estrategias	que	serán	adoptadas	para	probarlas	 (10).	 Los	métodos	 estadísticos	 pueden	servir para simplificar la elección, entre otras, de los	tipos	de	suma	de	cuadrados	más	indicados	para	probar	las	hipótesis	del	verdadero	interés	para	el	investigador.La	 suma	de	 cuadrados	 tipo	 I	 es	 apropiada	para	diseños	balanceados	ortogonales	(4,	11).	También	es	empleada	 en	 diseños	 no	 ortogonales	 (6),	 tal	 como	el	 citado	 por	 	 tal	 proceso	 se	 obtienen	 particulares	anidamientos	 ajustados	 para	 algunos	 efectos,	 pero	no	para	otros.	Se	pueden	asignar	algunos	efectos	a priori y	ubicarlos	en	el	modelo.La	 suma	 de	 cuadrados	 tipo	 III	 es	 altamente	recomendada	ante	la	presencia	de	no	ortogonalidad.	En	el	anova	se	usa	promedio	muestral	armónico	para	ajustar	el	total	de	la	celda.La	 suma	 de	 cuadrados	 tipo	 I	 depende	 de	 las	hipótesis del orden en que el efecto esta especificado (7,	17).La	suma	de	cuadrados	tipo	II	es	apropiada	para	modelos	construidos,	y	es	naturalmente	seleccionada	en	modelos	de	regresión	(8,	9).Las	 sumas	 tipo	 III	 y	 IV	 tienen	 las	 mismas	hipótesis	para	datos	balanceados	o	no,	y	trabajan	con	promedios	 marginales,	 donde	 algunos	 promedios	marginales no son definidos. Es generalmente obvio cuando	se	comparan	muchos	efectos.La	suma	tipo	III	no	depende	del	orden	del	efecto,	o	de	niveles.	Sin	embargo	los	contrastes	ortogonales	empleados	son	complejos	para	interpretar.	Algunas	interacciones	son	cero.La	sumas	tipo	I	y	II	dependen	del	conteo	en	la	celda.La	 suma	 tipo	 IV	 se	 emplea	 para	 analizar	subconjuntos	 de	 niveles	 de	 factores	 elegidos	automáticamente	(8).La	 suma	 tipo	 III	 no	 depende	 del	 orden	 de	 los	efectos.	Los	contrastes	son	complejos	y	se	asumen	algunas	interacciones	como	cero.EjemploSe	efectuó	un	experimento	con	 tilapía	donde	se	evaluó	la	ganancia	de	peso	expresada	en	gramos.	Se	tenían	dos	factores	alimenticios	A	y	B	cada	uno	con	dos dosificaciones. El interés es obtener las sumas de cuadrados	 bajo	 dos	 situaciones	 (diseño	 balanceado	y	 no	 balanceado).	 Cabe	 anotar	 que	 el	 diseño	experimental	 empleado	 fue	 completamente	aleatorizado en arreglo factorial 2*2 efecto fijo. Se	puede	apreciar	que	todas	las	sumas	de	cuadrados	coinciden.	Rev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215214Sólo	coinciden	la	suma	de	cuadrados	tipolll	y	tipo	lV.Rev Col Cienc Pec 2007; 20:209-215 215Referencias1.		 Calzada	 BJ.	 Métodos	 estadísticos	 para	 la	 investigación.	Diversidad	de	la	Molina.	Lima.	1970.	640p.2.		 Cochran	WG,	Cox	GM.		Experimental	designs.	2.	ed.		New	York,	John	Wiley,	1977.		611p.3.		 Cochran	WG,	Cox	GM.	Diseños	experimentales.	Trillas,	México	D.	F.	1981.	615p.4.		 Cordeiro	GM.	 	Modelos	 lineares	generalizados.	Unicamp,	Campinas.	1986.	286p.5		 Dobson.	An	introduction	to	linear	models,	Chadpman-Hall	2º	edition.	New				York.	1991.	221p.6.		 Federer		WT.	Experimental	design,	the	MaCmillan	Company,	New	York	.1955.	554p.7	 Hinkelman	 K,	 Kempthorne	 O.	 Design	 and	 analysis	 of	experiments.	John	wiley,		New	York.1994.	512p.8.		 John	 JA,	 Draper	 NR.	 	 An	 alternative	 family	 of	transformations.		Appl	Stat	1980;	2:190-197.	9.		 Kempthorne	 O,	 Folks	 L.	 Probability	 statistics	 and	 data	analysis	.	Ames,	Iowa.	Iowa	State	University	Press.	1971.	555p.10.	 Lemma	 AF.	 Hipoteses	 estatisticas	 com	 amostras	desequilibradas,	 Fac	 Sci	 Agrom	 Gembloux,	 Bélgica.	1991.11.		 Little	 TM,	 Hills	 FJ.	 	 Métodos	 estadísticos	 aplicados	 en	agricultura,	trillas	México	D.	F,	1976.	270p.12.		 Martínez	GA.	Diseños	experimentales,	México;	Colegio	de	Postgrado	de	Chapingo.	1983.	1058p.13.		 Montgomery	DC.		Design	and	analysis	of	experiments,	John	wiley.	New	York	1991.	649p.14.		 Ostle	B.	Estadística	aplicada.	Limusa-Wiley	S.A.	México	D	.F.	1973.	629p.15.		 Overall	JE,	Spiegel	DK.	Concerning	least	squares	analysis	of	experimental	data.	Psych	Bull	1969;	72:311-322.16.		 Searle	SR.	Linear	models	for	unbalanced	data.	Wiley	J	Roy	Statl	Soc	New	York.	1987;	83:911-912.17.	 Senedecor	 GW.	 Métodos	 estadísticos	 aplicados	 a	 la	investigación	agrícola	y	biológica.	Continental.	México	D.	F.1989.	503p.18.		 Sokal	R,	Rohlf	J.	Introducción	a	la	bioestadística:	Reverte	S.A.	New	Cork.	1980.	363p.19.	 Torrie	 JH.	 Bioestadística.	 Principios	 y	 procedimientos.	McGraw-Hill.	México	D.F.	1985.	666p.20.  Yates F The analysis of multiple classifications with unequal	numbers	in	the	different	classes.	J	Am	Stat	1934;	7:121-140.

Types of sum of squares for analysis of variance

http://bibliotecadigital.udea.edu.co/bitstream/10495/7787/1/Restrepo_L_2007_Tipos_suma_cuadrados.pdf

Types of sum of squares for analysis of variance

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Biblioteca Digital del Sistema de Bibliotecas de la Universidad de Antioquia