Mestrado em Mathematical FinanceOs problemas de apreçamento de opções têm sido um dos principais assuntos de em Matemática Financeira, desde a criação desse conceito nos anos 70. Mais especificamente, as opções americanas são de grande interesse nesta área do conhecimento porque são matematicamente muito mais complexas do que as opções europeias padrão e o modelo de Black-Scholes não fornece, na maioria dos casos, uma fórmula explícita para a determinação do preço deste tipo de opções.
Nesta dissertação, mostramos como o estudo de opções americanas conduz à análise de problemas de fronteira livre devido à possibilidade de exercício antecipado, onde nosso principal objetivo é encontrar o preço de exercício ótimo. Também apresentamos a reformulação do problema em termos de um problema de complementaridade linear e de desigualdade variacional parabólica. Além disso, também abordamos a caracterização probabilística das opções americanas com base no conceito de tempos de paragem ótima. Essas formulações, aqui tratadas em termos analíticos ou probabilísticos, podem ser muito úteis na aplicação de métodos numéricos ao problema de precificação de opções do estilo americano, uma vez que, na maioria dos casos, é quase impossível encontrar soluções explícitas.
Além disso, utilizamos o Método da Árvore Binomial, que é um método numérico muito simples do ponto de vista matemático, para ilustrar alguns aspectos da teoria estudada ao longo desta tese e para comparar as opções americanas com as opções europeias e bermudas, por meio de alguns exemplos numéricos.Option pricing problems have been one of the main focuses in the field of Mathematical Finance since the creation of this concept in the 1970s. More specifically, American options are of great interest in this area of knowledge because they are much more complex mathematically than the standard European options and the Black-Scholes model cannot give an explicit formula to value this style options in most cases.
In this dissertation, we show how pricing American options leads to free boundary problems because of the possibility of early exercise, where our main goal is to find the optimal exercise price. We also present how to reformulate the problem into a linear complementarity problem and a parabolic variational inequality. Moreover, we also address the probabilistic characterization of American options based on the concept of stopping times. These formulations, here viewed from the analytical and probabilistic point of view, can be very useful for applying numerical methods to the problem of pricing American style options since, in most cases, it is almost impossible to find explicit solutions.
Furthermore, we use the Binomial Tree Method, which is a very simple numerical method from the mathematical point of view, to illustrate some aspects of the theory studied throughout this thesis and to compare American options with European and Bermudan Options, by means of a few numerical examples.info:eu-repo/semantics/publishedVersio
