Melting problem of infinite and finite rod were treated. Author tried to solve them by considering no influence of moving boundury occour in solid portion.前報告で棒の一端に熱量を加えて融かして行く時の融解面の移動状態の性質を調べる級数解を求めた。本報告では別の仮定を入れた近似法について述べる

古谷 嘉志

Melting problem of infinite and finite rod were treated. Author tried to solve them by considering no influence of moving boundury occour in solid portion.前報告で棒の一端に熱量を加えて融かして行く時の融解面の移動状態の性質を調べる級数解を求めた。
本報告では別の仮定を入れた近似法について述べる。Article富山大学工学部紀要，18(1/2)departmental bulletin pape

古谷, 嘉志

University of Toyama Repository

96 数理物理に b け る 放物線形偏微分方程式に つ い て( 第 三 報)古 谷志嘉白1 Parabolic partial differential equation of Mathematical physics ( 目 〉Y oshiyuki FURUYA Melting problem of infinite and finite rod were treated . Author tried to solve them by conside­ring no influence of moving boundury occour in solid portion . は し が き前報告で棒の一端に熱量を加えて融か して行 く 時の融解聞の移動状態の性質を調べる級数解を求めた。本報告では別の仮定を入れた近似法につ い て述べる 。解 法 ( 1 )半無限棒の一端 x= 0 に一定熱量Fを加えて融かす時国体部分の温度分布は境界面の移動によ る影響が無視でき る も の とする 。 (5)融解温度を Tm ， 融解面の位置を a(t) とか く とx - a(t) 〆;r ( 2ý主τ _ 112T =Tm ( 1 ー ←ヲ- J - ' ''' e - '' -dり (1)一 oh =77 k : 熱伝導係数， C : 比熱 ρ : 密度。T � 予/" - _j竺二豆t)}乙一一一 = 一 一l.m 一一一一一=e 4 k t  。x - ... 4〆 k t， âT 〆� kTm ー 」主二a(t)) 乞- R一一一 = 一 一一一一二�e 4 k t  . . âx 4〆五了_ k_âT色白....!2=ι.k Tm。x 4〆 k t司/干 k 中一一 .-τ.L m = F ー ρ 1 a(l) 4Ý k t  _ F ý二 k 中 1a(t) 一 一一.� ff， � m  t -T pl 4Ýkρ 1 . a(t) =_1i二t ーピ王坦竺ー 〆子+Soρ l '  2〆E ρ lSo = a(O) 一般に加える熱量が時間と共に変わる時F =Q(の な らばa〈tHi l t Q(τ)d，. ービ;rk Tm 汗+SoJ 。 2〆k ρ 1解 法 ( ll )一端 x= l を断熱に した有限棒の場合， 国体部分の温度分布を T(x ， 0) =0， T(a(t) ， t) =Tm 。T(! ， t) 一一面子一=0 の解である とする 。T =Tm - E An 明{ -�土(n十七2 tl n-;;:o- --- ---.... l ( 1 - a(t ) )2 �'J (n+ 1 );oz:  n ー←三一 (x - a(t))(2)l - a(t) t = o を代入する と~ (n+LM T m = � An sin --，全←Xn = o An = 2Tm -(n十吉〉π2Tm こ 4T = Tm ーー一一一一 引 一一一土?一一π ドo n+古川一一主主2 _ (n十も2 tl .... l {l - a(t)} 2 ム j(n+L〉πn �ー (x - a(t))- a(t) 上部か ら_ k âT(aS企..!2=盟 二 」âx π n亡。 l - a(t)的 〔 寸誌がn→川 〕。T(a(t) ， t) 2守子己L = F - ρ l a であ る か らda(t) _ F 2kTm � ----cn-=p了一寸「nF。τ認了〔 一寸竺L「(n+を)2 t ì . . . . . - (1 ) (l - a(t)} 2  L. _.) (1 ) の第一次近似解を等ユ=7L (2〉とする 。 a(o) =O に時間の基準を と る とa=_E ー←，tpl ……(2' ) (1 ) ， (2) (2) ' か ら第二次近似解をda _ F 一主主主主一 三 一一」一一dt ρ1 pl n�o I _L+ 一 ー ρ 1 • 叫 「 ーーとL吋)2 t ì \ {1 -trt} 2 f 左辺を級数展開 して積分する とF L 2 k Tm ::: ::: ::: a (t ) = �了 t 一 - " oî '" � � � n=o m=o 1=0 ( - 1 )i li (与t十 1 (m - i) ! i! hm "，2m (n +を〉2mF L �m+i  ( 1 -予1- t )  解 法 ( M )m十i半無限棒の場合 ， 解法 ( I ) と 同 じ仮定を用L 、 る 。θT(o ， t ) ー←万王一一=g(t) T(x ， 0) 0の時の解(3)• t λ T(x ， t ) = - yτ \  / .  I 一一J oV可t - .) p { 4k(��.) } 山τ〉(t - ) J を用いる 。融解面から計った距離を E と し g(.) に ーす ( F- ρ1 a) を代入する と1 [ t 〆ET (x ， t) =一一一 l 一一一一一k ) 。 〆長t ー τ〉p { 4k(�2_ .)}( F - ρl 榊(3)t ー τ)J又解法 ( I ) で用いた解一 { 1 ーが 戸内2 dd1 〕 (4〕97 (3) と (4) を等 しい と 置 く と1 [ t 〆k ( ，2 1 T � o v買高 明\ -4k(�コ)J( F - ρl榊E ( � 2 [ 2〆kt . - 7J2 .， 1= T m � 1 - 7 \ _. _.-e - '1 可 }、 V π J 0 J 両辺を Laplace 変換す る 。.. ' -L [ F  - pl sJ =--gー ρI s a(s) (4)〔ふ -11〕 1 壬ιe 4k t 1 =一一一πt 〆s， ， _ /-r つ r 2vkt ー η 2 . 、 1 - V k ' '" L I  1 一一三= \ - - "e .， d可 1 =  ー ユ-e人 予/π J 0 ・ ノ S である こ と よ りξ ノー〆E - 71ZV S I F 1 一一=e トrーρl s a (s) }h〆s" l S  " " )  E ノーTm e一予/k V s S 心) = 一二L 十1すρIV正 V示 μI s� L - 1 CムJ =2/子 L - 1 C合J =tであるか らa(t) = 二 2 k バ+1 tρlVπ k' . ， pl 解 法 〔 町〕巾 h の棒を一様な温度To に加熱し これを無限棒に接続させて融か して行 く 。 有限棒を ( 一h ， O) に おき x=O が接合除いて接合る 。 有限俸の一端 x= -h は熱しゃ断 し;有限棒の部分は添字 1 で示し半無限俸の部分を添字2 で示す。方程式はk， Ô_2 ']) = Ô_�l ， k2 �竺之 = ôT2 1 axz- --at ' _.< ÔX2 ôt 。T1(h ， tL= o T2(<t ， t )  = 0 ax Tl(X ， O) =TO ， T2(x ， 0) = 0 Laplace 変換して初期条件境界条件を満たす解を求める と (4)( --A2T S T1 -To =klすすax d2To S T2 = k2で7τJLUX " 結 語本研究では融解部分を取 り 除い て融か して行 く 場合を し らべた。 叉仮定 と して境界面の移動が国体部分の温度分布に与え る 影響を無視 して取 り 扱っ た。 こ のため解法IV の場合 t → ∞ の と き a(t) は一定値に収束す る はづな のがそ の極限値は求 ま らない。 しか し〆τの値は t が大 き く な る と 変化が小 さ く な る こ と よ り ある 程度の精度はあ る も の と考え られる 。又 こ の仮定は融け る速度が小 さ い持はかな り の精度があ る も の と 思 う 。参 考 文 献1 )  H .  S . Carslaw and J .  ，'C .  1Jaeger “Conduetion of Heat in Solid . ' ・2 )  ア ラ マ ノ グ イ チ “数理物理 学 入 門 "3 )  大井鉄郎 “ 偏微分方程式 と そ り 応 用 ' ・4) チ ャ ー チ ル “ 応 用 ヲ プ ラ ス変換"5)  A .  Kobayashi ・ 'On a Slmplified Approaeh ro the Transient Thermoelastic Problem with Sublimation Ablation" J . A . S . vo1 . 8 No，  13 1965 .  ( 昭41 . 1 0 . 31 受付〉的)=二.l-í主主主 2J土十h年三心円 �y K2 π Y K1 〆 ssinh ーで'" h 》/ k1 1 s 〆S cosh ピs-J〆正I_ h 2 � 1 予乍了 π2k 1 n = ro 品 目 。 (n +玄)2(n十 � )2 叫 ( 一長(n+ � )2 向 )}Jexp { 一台 ( nす)2 1C2 t} S凶 ビ豆二hL - 1  í 〆 K1 ._ì に S〆 S cosh ビ豆三J〆正了(よ-i Z〆E了 π2 k 1 n ':: o +_!l (Tm - TO)  〆王子であ る か ら， 、 ー sinhピ豆二「叫h )に- Tm To vy与一一 一 一 一dx ' S S ) 〆k1 _ . v.←ー1 cosh�一旦=hk1 〆百円2 _ 〆ゴ了 Tm � k2 dx - -;7主2 8 "(め よ りrn � "" '"" � S泊h 〈王(x十h)! 一一) Y K} 一 日 coshと三=h〆 SÝ k T2 今 e v了- ・ ・(6)- ・ ・ ・ ・(5)- lL 〆百 Tm ー .k 1 (..'!'竺 _ TO ì 下/吉予/ J王2 S 〆亙l' S S ) E泊h V工hV E- ρ1 s 五(s)〆 sosh '"--0二ニェhÝ k1 T2 = Tm { 1 ーオ j f函e _ ç2dç} C; -号)( !1 = 与三cos h� (川予/k1T買 =B e ーピS x“ 〆長(5) よ り( 爪 〆了 Tm←」ι + A coh V ニ= h = ー一一予/ k1B =与五(S〉 = - L{jdLρ1 l〆正証 S予/百、-aノ、』ノC凶 キ-bfr、、/La a』s-AmAL一 S=Ti=ぅ一一EZ1一E=r玩〉一T一以〉柑 010:u-c刀、lfkて1J円，dhしサ一 同J=布究1一=怯町一 白め刻一川 ナ 仰向てt-h、eJf・、fzlE21 口 川h 一TMh一一T4口， Ar i - - k h 1 2 也 、3r s E 1 ミ 2 1 1接UM〆 Ss hーで=ーh下/ k1 A =  故に (5) は98 又

数理物理における放物線形偏微分方程式について(第三報)

Parabolic partial diffenential equation of melting problems are treated. Problems　are treated by excluding the melted portion. And the author obtained an asymptotic solution.放物線形偏微分方程式の最大最小の定理を熱によって固体が融ける時の融解面の移動を解析する問題に適用する。
この論文では融けた液体の部分を取り除いていて融かして行く問題を取り扱う。Article富山大学工学部紀要，17(1/2)departmental bulletin pape

86 数理物理 に b け る 放物線形偏微分方程式 に つ い て (第一報〉古 谷 嘉 志白1 Parabolic partia1 differentia1 equation of Mathematica1 physiα ( 1 ) YoshiY1ホi FURUYA Parabolic partial diffenential equation of melting problems are treated. Problems are treated by e玄c1uding the melted portion， And the Author obtained an asymptotic solution. は し が き丈放物線形偏微分方程式の最大最小の定理を熱に よ って固体が融ける時の融解面の移動を解析する問題に適用する 。 こ の論文で‘は融けた液体の部分を取 り 除いて い 九融かして行 く 問題を取 り 扱 う 。基 礎 理 論. . . . . . ( 1 )  放物線形偏微分方程式曲目 。u . ou a : ，:" + b一一+cu ーヱ三= 0 a> O ・ … ・ ・ (1)8x2 • _ 8x . -- 8t係数は 玄- t の関数とする。x - t 平面上の与えられた領域をD とする。c> O の と き u は正の最大値と負の最小値をと ら なL 、。なぜな ら正の最大値をと る とする と a82u/8x2 = -cu> O . ・ . 82u/8x2> 0 で不合理。 負の最小値の不合理も 同様。次に c は任意の値とする 。 u(xt) = e-a:tv(x，t) と おく と (1)1主先2明 8v . ， . ， 8v a一三+ b一二+ (c - k)v -ζ子= 0 ・… ・… ・ (2)8x2 • - 8x . ，- ""/ . 8tc<k に と る と上の理論が その ま ま適用でき る 。 故に図- 1 の よ う な x= f(t) ， x = g(t) ， t=t" t=t2 で固まれた領域Dにおいて t，<toくら な る直線 t= to に沿って u は正ならば下向きに凸であ り uが負ならば上向きに凸てある 。以上の事から次の定理が得られる。( 1 J x=f(t)， x=g(t) 上で u= 0 な ら Dで:'u= 0 (2 J x=f(t)， x=g(t) 上で u= 0 な ら D内でu= 0 ( 3  J x= f(t). x=g(t) 上で u の値が与えられればu はD内で一意に決定する。( 4 J  l u l は x= f(t). x = g(t) 上で最大値を と る o( 5  J x= f(t). x=g(t) 上で 8u月x= F (t) が与えられてい る時D t � 1， 。 χ 図- 1x ==f(t) 上で F(t)< O ， r == g(t) 上で F(t)> 0 なら D内で U> O .x == f(t) 上で F(t)> o .  x記g(t) 上で F(t)< O なら D内で U< O ，82u 仇1 角C 6 J a一一+b一一 一一旦== 0 で x== f(t)， x == g(t) 8x2 • - 8x 8t 上で8u/8x== O . その一点で u=k なら D内でu=k証明 。u/8x = v と おき原方程式を z で微分する と82v . / 内 \ 8v . 8b __ 8v a :: : + ( 一三十b )";一+ー一一v一 一一一 = 08x2 • \ 8x . - J 8x . 8x ' 8t境界条件は v= 0ゆえにD内で v=去= 0: . u(x ， t) =一定一点で u=k であるから D内でu(x ， t) =k C 7 J  図ー2 の よ う に x== F (t) と x= Lでかこ まれた領域Dにおいてx= L 上で 8u/8x == 0 x= F(t) 上で 8u/8x= f(t)が与えられてい るならf(t)< O なら D内で U> O土。 ヌ =-L.図- 2f(t)> 0 なら D内で u> Of(t)> 0 なら D内で U< Oョι証明 x= L を中心に して Dを対称に解析接続する。延長した領域をUとする と定理 [ 5 J に よ り f(t) = 0 なら D+D ' 内で u= 0 ， ゆえに D内で u= 0 基 礎 理 論・ ・ ・ ・ ( 2 )長 さ L の 棒 ( 0 ， L ) の一方の端 x= 0 に熱量Q (t) を与えて融解させる 。 融解する商を s(t) 融解温度を T前 と し初期温度を 0 とする O とι( K 17T ì = oc �T … . . . . . . . . . . . . . . ・ H ・ - … ・ …(1)17x \ -- 17x ) • - at T(x ， O ) = O … . . . ・ H ・ . . . … … … υ  ・ … … ・ ・ ・ ・ (2)竺午� = 0 o <t<tL . … … … …(3) ox _ K 17T(�O_，Q_ = Q (t) 0 <t<tm・ ・ ・ . . . . . 一仏)ox -kmf主手�= Q (t) 一向ú tm<t<tL ox - ・ ・ ・ ・ (5)T(s ， t) =T叫t m<t<tL . . … 一 … - … ・ … (6)K は熱伝導係数， p は密度， c は比熱tm は融け始める混度， tL は融け終る温度S(tL) = L ， ま た添字は融解する状態を示す。[ 1 ] 解の唯一性。 Q (t)を与えれば s(t) は一意に決定する 。証明 S2>S， な るこつの解が存在したとする と ，\ :Q (t)dt= (pmß +恥)sイipdx (a)f:Q (抑= (pd+Hm〉S1 +j :pdz (b)H(T) =f� c(T'川')町。H(T，) =H" H(てr2) =Hb H (Tm) =H怖い) ー (b)，87 0 = (川+HmXS2 - SI〕 + ! ;2H2dx-f::HAE -i L H1diM2〉 で H，<Hm， (S2' L) で、 H，<H2 を8， 考えに入れる と右辺>川(S2 - sO +f;(H2 -HJdx> 0 と な り 不合理。[ 2 J Q2>Q， なら S2<S，証明 S，>S2 とする 。f:Q2(加= (川+Hm)sイ;2HAX (a)f:Qωdt= (p四目前)S，+ f�，H，dX .. . . . . . . '(b)(a) ー (b)，J: {Q2ω -Q，(t)} dt= (川+恥)(S2 一ω+j;;Hzdx+f:(H2 -HOdz (左辺) > 0 (S2 ， S，) で H2<日明， (S" L) で H2<H， である こと を考えに入れる と(右辺) <川(sz- mHji(Hz -HJdx< o ， で不合理，[ 3 J Q2>Q， の と き s， は途中で S2 よ り 大になる こと はない。証明 図- 3 の よ う に S2 が途中で S， を越したとする 。x=L を中心に して図の如 く 対称に解析接続するot 1. I 、 ， p '  - - 一 一一一- ト -_ ... - _ .. - ー -t〈主A v e l l 一九ι I  " .. ... T ‘色 、S. μ一一一一 -L一 一一一-一三JA i K 3ι '1..， 図- 3昆A C P上 (両端の点は徐 く ， 以下同様〉 で T2 -T，> 0 ， ゆえに領域 ACPP'C'A' で T2 -T，> 0 ， ゆえに PP' 上で T2 -T，注 0 ，一方(5) よ り- K間五主2-T，) = {Qω-Q，(t)} -pmß ox (S2 -S，) Pにおいて Q2>Qb S2<S， T2 = T， 88 五雪子T，) く Oσz ゆえに pp' 上で Tz - T，< O と な り 不合理であ る 。近 似 計 算 例p， c， K を一定と し K/pc =k とおき Q(t) = F = 一定 とする 。_8'I'_ = k竺空一 … ・ - … . . .. . . . • . • . . . … ・ … ・ ・ … ， ，(1)ôt -- ôxz 時間は x= 0 の温度が T閣 にな った時を t= 0 とする 。T = T市+a，x + (xz + 2kt)a2 . . . . . .  ………… ・ ・ (2)と お く 。 8) ， 4 )( 江ト t_ ， = 0 よ り a， = - 2azß ax I X=l T = T明+ (x2 _ 2ßx = 2kt)az ・ ・ ・ ・ ・ … ・ ・ (3)�'I'_ = 2aβ ー の - … 一 一 … . . . . … … ・ ・ … . . . ・ (4)ax ま た -K_!_'!'与立 = F - ô ßs . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) σx (5) と (4) よ り- 2az(S - ß ) F - pßs … …………… … . . . . . . . . (6) T(s，t) =Tm を考えに入れ(3) よ りs2 - 2ßs +2kt = 0 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ a 回 目 . . . " ・ ・ (7) S = A，t +A2tz +AstS + ・ ・ ・ ・ ・ ・ -と おいて(7)に代入 し係数を決定する と ，k . .  kz S = �� t + 一二.tZ 十 ・ … … … ・ … ・ … … … (8)4 乙r(8)を(6)に代入する とf k . . kZ • 0 • ^ \- 2Kト一一一t+ 一一一tZ 十 ・ ・ - ß la吸\ ß - . 2ßs - . ._ ! “ ( k ， k2 • ， \ = F - pß ( --=� + �t十 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ i， _ \ ß . ß3 - . I t = 0 とお く こ と に よ りaヮ = F - pk " 2Kß (3) よ りF - p枠T = T明 + 一一一- 1'ー (xZ - 2ßx + 2kt) … … … …(9)2Kß IJT F 一 角』一一 = .1.' ，:/"'" (x - ß ) IJx Kß (5) よ りF - pk 一一一豆ιー (s - ß ) = F - pßs. ← F ��k S = 主一 … … . " ・ H ・ - … … …(lOipßZ S = B，t 十Bzt2 +Bst3 + …と お く とs=B， + 2B2t+3B8tZ+ . " . . (10)に代入して(n� F - pk � \ B， + { 2B2 一 一一つι� B， )t、 p.fJ“ ノゆえに/ 官、 ー のk \.. k + ( 3B. 一 一一寸� )t2 =ーヮー\ PØZ ノ 必S = 主ーt + 主旦ヰ旦t2 + 主迂コ旦土t82p ß3 6pZ ß 5 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . … . . . . . . . . . ……但)結 語放物線形偏微分 方程式の最大最小 の定理を 用いてQ (t) に対する s(t) の一意、性， Q (t) を大き く する とs(t) は大き く な る こ とが示された。ま たTを二次式近似し s(t) の級数解を (日) の よ う にTの級数解を(9)の よ う に得た。Tを二次式で近似する こ とが非常に大きな仮定であるが 解の性質は 本文に 述べた事柄に よ く 一致している 。 さ ら に深い検討を今後加える こ とにする 。 最後に御支援を賜った本学教援長元亀久男先生に感謝の意を示す。参 考 文 献1 ) B .  A .  Boley; “Upperand Lower Bounds For the Solution of a Meltingproblem . "  Q. Appl . Matk . Vol XXI No . 1 1963 2) 犬井鉄郎 “応用偏微分方程式論"3) H. S. Carslawand ]. C. ]aeger. “Conduction of heat in eolid . "  Oxford . 1959 4) T. R. Goodman and ]. L. Skea; “The Melting of Finite slabs . "  J . Appl . l\1ech. 27 . 1960 (昭和40 . 10 . 30受付)

数理物理における放物線形偏微分方程式について(第一報)

Parabolic partial diffenential eguation of melting problems ara treated. Problems are treated by not excluing themelted portion. And the auther obtained an asymptotic solticsolution.放物線形偏微分方程式の最大最少の定理を熱によって固体が融ける時の融解面の移動を解析する問題に適用する。
この論文では融けた液体の部分をそのままの形で残しておく問題をとりあつかう。Article富山大学工学部紀要，17(1/2)departmental bulletin pape

89 数理物理にj泣け る 放物線形偏微分方程式 に つ い て (第二報)古 谷 嘉志On Parabolic partial di妊erential equation of Mathernatical physics ( H ) Yoshiyuki FURUY A Parabolic partial diffenential eguation of melting problems ara treated. Problems are treated by not exc1uing themelted portion. And the Auther obtained an asymptotic solticsolution， lま し が き放物線形偏微分方程式の最大最少の定理を熱に よ って国体が融ける時の融解面の移動を解析する問題に適用する 。 こ の論文で形でで、残してお く 問題を と り あつカかミ う 。基 礎 理 論長さ L の棒(0 ， L )の一方の端 x=o に熱量 Q(t)を与えて融解させる。 融解する面を S (t) 融解温度をTm と し初期温度を 0 とする 。 添字 Sは固体部分の状態， Lは液体部分の状態を示すも の とする と 日。 ( 官官、 四 \ 均一一(Ks一一空 )= pscs U:L" S<x<L … ・ ・ (1)8x \--- 8x ) ， --- 8tTs(x， 0)= 0 ……………………………… ・ 目 (2)笠斗�.. … …… ・ ・ ・ ・ ・ " (3)ax -Ks笠な_!2_ =Q(t)， 0<的悦 制t怖 は融け始める時間。。 ( " aTL \ aTL 一一( KLーーと l = pLCLヱ土と o<x<S . . . ・ ・ (5)8x \--- 8x ) r --- 8t一KL笠宮�=Qο( ω ぬ)Ts(s，t) =TL(S，t) =T明 ………… . . ， ・ H ・ . . …… (7)KLmf巴:恒� -Ks叩竺主(三旦ax ax = - Pmls…… ・ ・ … ・ … . . . . . . . … . . . ・ H ・ - …… ・ ぃ(8)なお添字mは融解する時の状態を示す。( 1 ] 解の唯一性， Q(t) を与えれば S(t) は一意に決定する。証明 S2<SI な る二つの解がでナこ とする 。� �Q(t)dt = (Psml十品)S2十 i じ;72~〈+ i ;LtFωdx 作)� :QμμQ似的〔ωt帆〕+ j :JS《(T油 (ωb )(い判a吋) 一 (仏ωb防) ; 0 = (Psml +Hm)ルS，)+ � �1似T2) 一HA〉) dx+ j ;2 1HS〔T2〕 -Hs(TO) dzrS2 19.1な9.十 I " HL(T 2)dx - I : Hs(T l)dx， .J 01 ..1 δ1Hs(T1)<H隅 日L(T2)>0 な る こ と を考えに入れる と(右辺) <州防-Sl〉 +f:1 iHL(T2〕 ー日L(T1)) dx+f; {HS(T2〉 - ss〔T1〉) dx >0で不合理。( 2 ) Q2<Ql なら S2<S1>f;Q2(Odt=〔ω山内psm隅同叩)sぬ2+f:?戸2hHL以(Tも勾T2)dρ川〉河d+j;HS《(Tzρ)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) f:Ql(t)dt =(Psml+Hm)SI十f:1HL(T1〉dx+f:HS(T油 (b)(a) ー (b) ; f: {Q2 -Ql} dt= (向山市)(S2 ー SI)十 | ? {HL〔Tz〉 - HL(TOl dx+ I f iHs(T2〉・ノ υ ./ ðl- Hs(T1)} dx 一 f ::F:〉Hm 〉dX +j :;; HSバ(T丸勾叩2ρ川〉河d(左辺) > 0 Hs(T2)<Hm HL(T1)> 0 を考えに入れる と(右辺) <Psm防-SI)十j了 (HL(T2) - H川山+f;1 1Hs(T2〕 ー Hs(T，)} dx< 090 で不合理( 3 J Q2<Q， のとき SI は途中で S2 よ り 大になるこ と t土なし 、。Tl.，a -T... '7。ゆも「 11・ー+s一時一司-R Pι， バ \ \ B 'I "" \ A i A 図- 1証明 図- 1 の よ う に P点で SI が S2 を越した とする。 P点において(8)からKr，情 。((TL2 -TL1) 一 KR� 8(Ts2 -Tsl) - " . 8x 一切旧 自主= - Pml(S2 - S1) ・ H ・ H ・ " … … … … … ' " ・ H ・ "(9)x=Lを軸に して対称に解析接続する 。 図においてACP， A'C'P' 上 (両端の点を含ま なL 、〉 で Ts2 -Ts，< 0 であるから領域ACPP'C'A' 内で Tsz -Ts，>O，故に PP' 上でTs2 -Ts，ミ 0 ・ H ・ H ・ ' " ・ H ・ . . . . . ・ … … ・ ・ ・ ・ …附また ACP 上で。(中s 一 中側 、--7z-L< 0 2〉故に P の右側において。(Ts2 -Tsl) 二三 " ， ， (11) 8x 一方 x = o において8(TL2 -TL1) 一 KL BX =Q2 - Qh > 025bij二五L< Oux 故に RQ (両端の点を含まず〉 上で TL2 -TL1> 0 ，ABP 上で TL2 - TL1> 0 ， 故に領域 QPAR で TL2 -TL1> 0TL2 -TLlミ o (PQ上で〉 …… ' " ・ H ・ ， ， (12)また， ABP 上で8(TL:;_- TL1) > 0 ， ux が成 り 立つ2)。 故に P の左側で主生52止註 0 ・ … … - " ・ H ・ - … . . . . ・ H ・ - ・ ・ (ωux 一方PにおいてSI>S2 故に(8)はKL担 。CTL2_-TL1) '>KSm 8CTs:-Tsl) 一一一 冊 一““‘ 8x 〆 8x. ・ ・ ・ ・倒(叫 (13)， t幼に よ り (11)， (13)の 等号の一方は成 り 立た ない。 も し(叫の等号が成 り 立たないなら P で Ts2 -Tsl= 0 であるから PP' とで Ts2 -Tsl> 0 と な り (10) と矛盾する。(13)の 等号が成 り 立た な い な ら P で TL2 - TLl = 0 であるから P Q 上で TL2 -TLl< 0 と な り 仰と矛盾する。1 近 似 計 算 例温度Tm の状態にある固体の一方のは しに一定の熱量下を加えて融かす問題を考え る。K， P， c は一定とする。8T ， 82T 一一 = k V_ "'_ k = っァ ・ … . . . . . . . . . … ・ … ・ (1)8t -- 8x2 -- P _ K�T(生_Q__ = F ・ . . . . . . . . . ・ H ・ . . . . . ・ H ・ ' " ・ H ・ " 倒8x - K 8T(_s， t) 一--;;一一←ー = - pls ・ H ・ H ・ H ・ H ・ " … … ・ - …(3)ux T = T情+a，x +a2(x2+ 2 kt) … ， " ・ H ・ . . . . . . ・ H ・ (生)と お く 。 白川(1)を満足するためにはal = 一 FIKT = Tm 一 t去土x +引(包似仙x2+叫2 ktの仇〕S(αt) = Alt +Azt2+Aqt3 +  '….口"….口"…， "….日"….日"….日"….日' "…" (6ω) と お く心。T( s ， t ) =T叩 を考えに入れ(5)の x に(6)を代入する。(- � A1 + 2 kaz)t+ (- � A2+A12a2)t2 + (- � A 汁 2 A1Azaz)t3+ " " " ， ， ' = 0 F • A1 ' … . . . . ・ H ・ . . . . … . . . . ・ H ・ ' " …(7)2 kK ー(5) と (3) よ り- F + 2 azl(S = - pls " " " " … … H ・ H ・ ， " ・ H ・ ' ， (8)(8)に(6)を代入 して変形する と( - F +P1A1) + ( 2 PIAz+ 2 a2KAl)t 十( 3 PlAq+ 2 a3KA2)t2+ " ， ・ H ・ ， ， = 0 F A1 = 一一… … - ・ … ・ … . . . . . . ・ … ' " ' ' ' ' ' ' ， ， (紛pl 一方 J:伊F d批t = 凶. s = -K.-t pl よ り S は第一項だけとれば よ し 、 。(ωを(7)に代入してF2 ・ ・ ・ ， (10)2KkPl (10) と (5) よ りD τ>2 T:;T冊一」二-x+(x2+ 2 ktL�ι_ . . . ・ H ・ - … .(11，)2KkPl結s = � t ・ ・ H ・ H ・ . . . . ・ H ・ . . . . ・ H ・ . . . ・ H ・ . . . . . ・ H ・ - … . (12)pl語放物線形偏微分方程式の 最大 最小の 定理を 用いてQ(t) に対する8(t)の一意性Q(t)を大き く する と 8(t)は大き く な る こ とが示された。また T=T怖 の状態の間体の一端に熱量 Fを加えて融かす問題を考え こ の時Tを二次式で近似し s(t) の級数解を問Tの級数解を(11)の よ う に得たTを二次式で近似する こ とが非常に大きな仮定であるが解の性質が本文中に述べた事柄に よ く 一致している 。 更に深い検91 討を今後加える。 最後に御支援をたまわった長元教授に感謝の意を示す。参 考 文 献1) B. A .  Boley. "Upper and Lower bounds in Problemes of Melting or Solidifying Slabs . "  Q. J. Mech. Appl . Ma出. Vol XVII Part 3 ， 1964 . 2) B. A. Boley : “Uppon and Lower Bower Bounds for the Solution of a Melting prolem" Q. Appl . Ma出.Vol . XXI No. 1 1963 . 3) H .  S. Carslaw and J. C. Jaeger. “Conduction of heat m 回Hd . " Oxford . 1959 4) T. R. Goodm間 四d J. L. Shea ; . . The Melting of Finite slabs. "J .  Appl . Mech. 27 ， 19ω ( 昭和40 . 10 . 30受付〕

数理物理における放物線形偏微分方程式について(第ニ報)

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On Parabolic partial differential equation of Mathmatical physics (III)

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