Setting several assumptions, I have got formulas of the air gap flux, and the rotor-bar current distribution of the shaded-pole motor. And from them, I have derived a formula of the starting torque, Which shows the average value about the time and the rotor position.隈取コイル型誘導電動機の空隙磁束分布の複雑さが設計困難の一原因である。先に実測した結果，空隙の一点については時間的に正弦波であるのでこれを仮定の一つとして回転子の抱束時の空隙磁束分布及び回転子パー電流の分布の計算式を求めることが出来た。更にこれより起動トルクの平均値の計算式を導いた

齊藤 仁代

Setting several assumptions, I have got formulas of the air gap flux, and the rotor-bar current distribution of the shaded-pole motor. And from them, I have derived a formula of the starting torque, Which shows the average value about the time and the rotor position.隈取コイル型誘導電動機の空隙磁束分布の複雑さが設計困難の一原因である。先に実測した結果，空隙の一点については時間的に正弦波であるのでこれを仮定の一つとして回転子の抱束時の空隙磁束分布及び回転子パー電流の分布の計算式を求めることが出来た。更にこれより起動トルクの平均値の計算式を導いた。Article富山大学工学部紀要, 6(1/2), Page 7-12departmental bulletin pape

齊藤, 仁代

University of Toyama Repository

隈取コイル型誘導電動機の起動トルクの算定について(共の1 ) 膏 藤 仁 代On t he Calculation o f  the St arti ng Tor que o f  t he Shaded-Pole t，，:1otor _ Jind ai SAITO 7 Sett ing seve ral assu mpti ons， 1 have got for mu las of t he air g ap flux， and t he rotor -bar current distr ibuti 岨of the sh aded -pole motor . And from t hem， 1 have derive d a formu la of t he s tarti ng tor que， Whic h s hows the average v alue a bout t he time and t he rotor position . 1. 緒 言隈取 コ イル型誘導電動機の空隙磁束分布 の複雑 さが 設計困難 のー 原因 で あ る 。 先 に実測 し た結果ω ， 空隙の一点 につ い て は時間的 に正弦波 で あ るの で こ れ を仮定のーっと し て 回転子の抱束時の空隙磁東分布及 び回転子パー 電流の分布の計算式を求め る ことが出 来 た。 更 に これ よ り 起動 ト ル ク の平均値の計算式を導い た。2. 計算に於ける仮定電動機 は図1 に示す如 く ， 集中巻 の主 コ イル之隈取 コ イル よ り な る 磁極と龍型 回転子 よ り な る 。回転子パーはW1転子周辺 に一様 に分布 し て い るとす る 。 従っ て回転子パ ーの リ ア ク タ ン ス 及抵抗 は回転子周辺 に一様 に分布 し てい る こと に な る 。 鉄心 中の磁気抵抗 を省略す る 。 単位鉄心長 につ い て考え る 。 実験の結果， 空隙磁束 は時間的 に正弦波 で あ るの で電流， 電圧， 磁束 を実効値と し て ベ クト ノレ表示 をす る Oこの電動機の空隙磁束 及 びパー 電流の分布は主 コ イル電流 の み に よ る分布と隈取 コ イル電流 の みに よ る 分布 を軍畳し た も のと 考 え られ る の で夫 々別個 に計算す る 。3. 主コイJLo電涜のみに よ る空隙磁束及回転子パー電涜の分布dF= 回転子周辺単位長 当 り の アドミ タ シス;テ=空隙単位面積当 り のパ ーミヤ ンスE=パーの誘起電圧Bm=主 コ イル電流 に よ る空隙磁束密度1m=主 コ イル電流 に よ る 回転子パ ー 電流電流 と磁束の正方向 は右ねじの関係 と して図-1 に於い て座標の原点を磁極の 中央 に取れば お点 に於い て又止= -1ω ( Xムdx. Í ==一 一旦-J� ) 0 川 ， R十jXdI� 1(J) '; 1JL= 王手}X ]jm'" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .{ 1) 出==A'Í'm十jYJZ図-1 主コイルによる空隙磁束及びパー電流の分布8 ， dB"， .. K17=-im - (2 〉( 1)と(2)よりk ft2Bm jω R dx2-- R干IZ2n- - - …・一一 . . . . 一 一( 3 )Bmはおの原点に関して左右対称で、あるからÊ，先= CcoshÅx 但し Å=(一一一坦L一一}\ k (R 十jX))今上式を実数部と虚数部に分けるとBm=Bmr十jBmiB問r=Acoshαx cosbx + Bsinhαx sinbx......一一...一・ ・ ・・ ・・・・・・-( 4) Bmi =-Bcoshαx cosb�: + Asi nhα�: sinbx... …・一 ・ ・ . . . ・… …(5) /ω\+ {} ( ω \+. {} X 但し αニ\ lcZ ) ' cos--2-， b=\ lcZ ) .. sm2， coso= Z si昨 15，z=(R2daJh A，B=定数上式を(2)式に代入してI削=1叫r+ j1，"i 1 rnr = A' coshαx sinbx十B'sinhαx cosbx・ e・・ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -( 6 ) I制i =B'coshαx sinbx-A〆sinhαx cosbx・ー・ー・・・ ・ ・ 弓ー・ ー ・ ・・・・・・ . ，一 (7) 1.0' 但し A'= Z {A(Xb十Ra)+B(Xα一品川 - ・ (8 ) 1.' Bfzj{A(Xa-Rb〉-B(Xb十Rα)}..................... . . . . . . . . . . -( 9 ) 図1のB川I仙曲線は絶対値を示し原点に関してB.，μはおの対称式でありl.川は交代式であることを示す。4. 隈取コイ ル電涜のみに よ る空隙磁束及び回転子パー電涜の分布( 1) Shaded Pole ι=パーの誘起電圧Bs =1接取コイル電流によるshaded pole -fの空隙磁束密度Is =同上の電流A1's =隈取コイルのアンペアターンとすれば孟=ーjωf�Êsdx又L=-7Axf;β:s dx ........................(10) lcBs =.A'1's卜 jfIsdおd.Ho k -zf=-Is (1 0 上式にく10)を代入して微分するとk子空ι_ j1V dx2 - R十jX �s 図-2 [炭取コイルによる空隙磁束及びパー電流の分布z の対称式であるから(4)， (5)式と同形となる。Bs =B町十jBsiBsrニA1coshαx cosbx十Blsinhαx sinbx Bsi = -B1coshαx cosbx十A1sinhαx sinb，r 但し .11， Bl =定数-・ ・ (12)・ ー {13 )(12) (13) と (11)式より(2 ) 1， = Isr十jIsiIsr=A〆lcoshα:/; sinbx十B'lsinhαx cosbx ・・・・・・.. . . . . . ... ..... . .. ・ ・{14)Isi =B' lcoshαx sinbx - "4' 1 sinhαx cosbx..........................{15) 但し A乍=-lcくBla-A1b)…ー ・ ・ ・ ・ ー… ・ ・ …・…ー・… ・ ー (16)B'I = - k(A1α+B 1b) 一 ・ …・ ・ ・ ・ . . . ー ー 一 ‘ …  ・・ ・ ー 一 {17)unshaded pole Eニパーの誘起電圧Bu 隈取コイル電流による unshaded pole下の空隙磁束密度Iu =同上のパー電流とすれば図2に於L、てkbu =f:tdy d沢一l' .，，�" = Iu 一一・ ・ ・ぃ 一 一… ・ …・ ・ ・… ・ ・・ ー . . .…一 一 一 ・ ー ー・ (18)dy E=-Jω[Jo:' Bs山 十j;7 β"r/x J ん=--E与x〔jJ bsdz+fJ Budd dI u .iω ￡ つry- - R十jX �u 上式に(18) 式を代入してk竺!!!!__ ____j_ω dy2 _ R十jX �u 文字Vの代りに文字詰を用いて unshaded poleの中心の原点に対して交代式であるからBu = Dsinh}.x これを実数部と虚数部に分離してBu = Bur+ .i Bui Bur=A2coshαx sinbx十B2sinhα切cosbx.............................{19)Bui=B2coshax sinbx-A2Sinhax cosbx…ー … ・ ・一 一・ ー……(20)但し A2' B2 =定数上式を(18)に代入して但 しIu =I，げ+.iI附I ur= A' 2coshαx cosbx十B'2sinhαぉ sinbx . ー ・ ー ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ 目 ・・・ 0 ・ー {21)luiニ←Bノ2coshax cosbx十Aノ2sinhαx sinbx . . . . . . . . . . . . . . . ー . . く22)A〆2ニk(A2b十B2α〉 …・ ・ …・ ・ ー …・ ・ ・ ……一… … …… … 一 "(23) B' 2 =k(A2α-B2b) ・ ・ ・ ・ ・一-一一・ ・………ー……・…・ー……… ・… ー(24)9 10 6. 算式中の定数聞の関係( 1 )  Al' B1とA2' B2の関係図�2 に於L、てshadedpolβ とunshadedpoleの境界に於いてju (乞)=吋ーす) として(14) � (17)及(2 1)- (24)式を用いてA2= (A1α十B1ß)………………… ・・・…・ー・…・ ・・ ・…ー・ー………(25)B2=(A1ß-B1α〉・・…・・・……………・・・……・・・…………ー・・……一{26)ls _ . ，ls ___._ lu __， lu . _" ls ___， ls_. . lu _. ， l -coshα sinb 三coshα �-cosb--';型一+ sinhα ".: cosb�sinhαー竺sinbー竺2 -..-- 2 - ----- 2 2  . ------- 2 --- 2 2  -- -- 2 l" _. {" . •  _ l" . _. l" ...........{27) α= 但しα ..__U cos2b ' U 十sinh2α一空sinllb 竺2 --- - 2 ， ------ - 2 --.- - 2 l. ，ls _ _. lu • l u • l. . .  l . " lu . . l inhαJtcost，-i∞shα←竺cosb- ": + coshα ": sil1b�sinhα一竺sinb '�.ι 。_ -. .. ..- 2 ---- 2 ------ 2 ---- 2 ， --_..- 2 -...- 2 -.....- 2 _...- 2 l" _. l" . . _ l" . _. l a _::: cos 2 b -"_"-十sinh2α u siI12b u 2 --- - 2 ， -..-.. - 2 -..- - 2 (2 ) 隈耳元コイルの起磁力A1's とAvB1との関係図2に於いてshadedpoleとunshadedpοleの境界に於L、てAis = k[ム (--�-)-Bu (之)J として(12)， (13)と(19)， (2め式を用いて但 しA1's = k(A1α1 +B1ß l)十jk(.11ßI-Blα1}… … … …・ ・・・ ( 29) ls___，ls .....'- lu _. _，l" ".' _'_ lu___，! α，= ∞sh叫 �cosb一三一αcosha- '�U sil1b 竺一体in haー竺cosbー 竺且 2 --- 2 ..--.-... 2 -. - . 2 F---.-. . 2 -'- 2 ls _' ，. ls n_._'- lu _，__， lu ，_._ '- lu ___， 1 0ι1= S討inhα一 s討m凶1ゆLト一一 一一よ一l _.....- 2 --... 2 F------ 2 ----. 2 . ..--.---.. 2 --- 2 ー一(30)(3 ) 主コイルの起磁力A1'酬と.1，Bとの関係図1に於L、てI ls +l 、A九=砧I� 玄ι)として(4 )とく5)を用いて但しA1'叩r= k:α4A十kß4B ……………………ー……・…………… …{32).11'mi = kß会.1-kα4B …………………ー…………………………(33)F寸lu _ _ .， ls + lu 4， = coshα-124cosト�2-一一…・・…・・・・…・……H・H・...……(34)ls + l ・ bム五ιß4= sinhα "S T一一Sl11 ……………….....・H・-・(35)2 今.11'酬をベクトノレの基準位相としてA1'何= 0とおいて(32)，(33)式よりIA1'仙I= A'1'怖 とすればA= α�A'1'刑 ………………・… ………………………(36)2十(411)B= • r � 4. � .， .11'刑 ・ ー・・・… ・ ・ー・…・…… ・・…・・・…・・・(37)- k(αJ 十(411)(4 ) .1， BとAt，Btとの関係図1 と図2に於いてAio =--.二旦 r ( � 一一s - Rs十jXsl.) ls ls十luÍ3s αz十 | 2 bmαぉ十(2Ai'刑十A'1\)P 1....…{3 8) j lu -ls ... ..-- . ，- - ... . . -- 0 ./ .J - (28) 但し(38)式中の括弧内は隈耳元 コイルと交叉する磁束である。 隈取 コイルの巻数は 1である 。P= 図1に示すブリッジの単位鉄心長当りのパーミヤンスRs =隈取 コイルの単位鉄心長当りの抵抗Xs = 同上の抗アクタンス( 4 )， ( 5)よりl u +ls jZZBJZニα山叫jω-ω (39) 2 1 1  {_.���L.. 1u �，._'- .. ls ���L l u ���1_ ls �，_'- ， u  ___L Is _.._L lu �，_ L l 但し α2= 一一一一Tdαcoshα sinhα一一cosb -;_ -cosb一三一αsinhα 久 coshα slnb --':c"--sinb v s_ aJ3 + bJ3 \ ��"�H� 2 �HLU� 2 �，，�V 2 �，，�V 2 �UHLU� 2 '.MùU� 2・ 2 --- 2 ，u _" ls _， z l u ___z ls ， '. ___'_ lu ___， 's _. .， l u _' ， ls \ +bsinha--;笠sinhα_ �s sinb v� c帥一三件coshα "_Ucoshα cosb -"l'-sinb 斗 …ー … … (40 )2 --....- 2 -...- 2 ---- 2 ， - ------ 2 ---，，- 2 ---- 2 -...- 2 I 2 (_. ， lu _. ，  ls.. 1. 1 u .... ls .  ._.， 1ft _.， l.， .. ， l u .. ， l O 三 亙 lαsinhα :u-sinha -�.sinb -";..-cosb :' +αcoshαー竺coshα 竺cosb ---";笠sinb一三2 α '十bJ3 \ ��HLH� 2 VHUL� 2 VHLV 2 �"VV 2 I ��"UU� 2 �"UU� 2 �"ùv 2 ULUV 2 l u _，._'- ls �__Z lu ___z ls ，._，._'- 1u �__L ls.， .1. lu _，._ z ls \ +bcoshα笠sinhαーとcosb �Ucosb-: -bsinhα '�U_coshα sinb 竺 sinb �  )..... .…一(41)2 -------. 2 -.- 2 -_- 2 --.--... 2 . .-..-. 2 ---- 2 --.- 2 I (39)， (42)， (29)， (32) を(38) に代入してA]= ーすL7{A(rα5十ô(5)+B(ôα5-r(5)} ...…一一……(42)α5ll+ß5 B， = .-::-.-.. .�- 瓦{A(1'ß5-ôα5)十万(1'δ5+δßs)}… ・ ……・・-(43)α82十ß sP ωXs 但し α戸川+玄日a+Pkß計 玄+cαa+Pkat) ..............-(44) PαJXs ι= AE 8 1 -zj(αa +Pkα計 :Z:-; (ßa十Pkßl) ..............-(45) Zs =(Rs ll+Xs勺 2r= 竺�_( α2+2Pkαρ+ZEH2 (46〕L.JS 'Js Xs /n I ro. n 7.r1 '" ú)Rs s= 22(02+ 2PKF ρ-' ZSllα2 '" '" ... ............ """ ... ... ..... .(47) .1'1' 以 上の計算により各係数は1ftこ比例している こ とがわかる06. 起動トルクの計算式回転子周 辺の切線力は主 コイル電流によ る空隙磁束と隈取 コイル電流によ るパー電流との積及び主 コイル電流によ るパー電流と隈取 コイル電流によ る空隙磁束との積の和と伝 る。トルクは時間的な 平均であり又回転子パーによ るトルクの変動はこの場合は一様 にパーが分布してい ると したので平均した値と看倣す ことが出来る。平均トルクを発生するのは電流と磁束の積の実数部であ るから回転子周 辺切線力の平均/極=f 21s(BwIsJ叫.1si 2 l u +Bsr 十 B削.1 m; )dx ・-……一 ………………・ー ・…一・……………ー・…… (48)(48)式に(4) '" (7)式 ，(12) -- (15)式，及(19) -- (22) 図-31:、式を代入する。但しB川及九はshaded pole 下 のトル ク の計算に は お の代 り に 士"とし座標 をs had e d pole の 中 心 に移動 す る o u!1_shade d pole に対 し て は Z の代 り に おー; と し座標を unshade d pole の 中心 に移動 す る。 (図 3 参照〕Jべゅ"心1ー 噌1"十互�じぽ1十EdlJsinhf417cosvー(ρslnαl.ーαsm(){，s ) fイ 1 rA，A TUん Fι(Bんlu L . 1 +-1 L4〆B1+B' At)sinhα ー竺cosb �ι(bsinhals 十αsinbls ) 2αb '-"� � l I �， "� l./�.UU' " 2 ����2 fいmr‘' dlu 18_，_， 1 十 両(BA'2-AB'ρsinhαi-sinb ヂbsinhα1u十αsinbωf E 1 18 7 1u〈Bufん。." l8 _ '_'_ l 千五5υ'A-212》fnhrInd-58〈MrIhd-dHMge〉(8)， (9)， (16)， (17)， (2 3 )， (2 4) 式 よ りS， 結BR' 1-AA' 1 = -k{α(AtB-ABt)+b(AAl十BBa}AB'1+BA'2=止{b(.111 B -A B1)α(A.A1十BB1)}..1'.'11一B'官B1= ; 仰 十R川Aι1十βBB1ο〉十ぐXα-一 R仰1B一L r β 1 +B'仁叶A1= 云{(X α -Rb)(AA1 +BB1) 十 (Xb+R 同)(AB1-A1B)} AA'2十BB'2 =k{α(AB2+A2B)十b(AA2-R2B)}l1A'2-AB'2=k{α(RB2-AA2)十b(AB2+A2B)}... Aんらは'B2=言{(AA2-BB2)(Xb+Rα)+(AR2十BA2)(Xα_- libノ}A' B2-B'A2二 女μB同A2)くXb+Rα〉キくBB2-AA2)(Xα-Rb)}言ト ル ク の算式 を求 め たが結果 が複雑 な7肢 を し て い る の で 一見 し て 各要素 の効果 が明白 でな い が数値計算 は一応可能 で あ る。 各要 素 の影響 を検討 す る にも 非能率的 な形 を し て い る の で計算を容易 にし且 つ実験的 な哀付 を次回 に し た いと忠、 う。文 献(1)斉藤 富山大学工学部紀� 第5巻l段取コイル型j誘導電動機の空隙磁束分布(2) L]J同直平著 交流閉路計算法 P，279

隈取コイル型誘導電動機の起動トルクの算定について(其の1)

https://toyama.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&item_id=3558&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1

On the Calculation of the Starting Torque of the Shaded-Pole Motor

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

University of Toyama Repository