Rubinstein(2000）論文のパラメータ設定を検討のところ，リターン期待値，分散の値に整合性がみられない。本稿は2項モデルと3項モデルとの関係に関し， Rubinstein(2000）の枠組みではどのような条件設定が考えられるかを検討し，リターン期待値，分散の値に整合性の観点からはJarrow& Rudd(1983）のモデルの方が適切であることを考察する

高見 茂雄

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2項モデルと 3項モデ、ルとの関係一－Rubinstein(2000）論文の批判的検討一一高見茂雄要旨： Rubinstein(2000）論文のパラメータ設定を検討のところ， リターン期待値，分散の値に整合性がみられなL、。本稿は 2項モデルと 3項モデルとの関係に関し， Rubinstein(2000）の枠組みではどのような条件設定が考えられるかを検討し， リターン期待値，分散の値に整合性の観点からはJarrow& Rudd (1983）のモデルの方が適切であることを考察する。キーワード： 2項モデル， 3項モデル， リターン期待値，分散1 .はじめにRubinstein(2000）は 3項モデルをレビューし，一定の条件の下， 3項モデルは2項モテールから合成されると主張しているO その要点は以下の通りであるIo共通設定：μ：リターンの期待値（年率）σ：リターンの標準偏差（ボラティリティー；年率）h ：単位期間T：期間の長さ、 T= 1はl期間、 T=2は2期間（本稿ではこの2通りに限定する）1 リスクフリーレートに関するパラメータ設定，マルチンゲール測度の取り方にも問題があると考えるが，議論の焦点を絞るため，その論点は捨象する。また，要点の説明は原典と異なった角度から行っている。-213 ( 213）ー2項モデルパラメータ：u：アップサイドに1期間変化するときの1期後の相対価格d：ダウンサイドに1期間変化するときの1期後の相対価格d = 1/uの関係を想定p：アップサイドにl期間変化するときのリスク中立確率1-p：ダウンサイドにl期間変化するときのリスク中立確率2項モデルで、は1期間の刻みはhで、ある。3項モデルパラメータ：U：アップサイドに1期間変化するときのl期後の相対価格D：ダウンサイドにl期間変化するときの1期後の相対価格D=l/Uの関係を想定M：ミッドサイドはl、すなわち現在の価格と変わらない九：アップサイドにl期間変化するときのリスク中立確率PM：ミッドサイドにl期間変化するときのリスク中立確率九：ダウンサイドにl期間変化するときのリスク中立確率3項モデルではl期間の刻みは2hである。そして，さらに， 3項モデルではストレッチパラメータAが導入され，（1）～（4)式が成り立つと想定する。U=eλσ♂五 (1)?? ? (2) PM=l-Pu-PD n 1 μ右両日ー, D -2λ2 2λσ (3) (4) 以上の前提条件のもと， 2項モデルと 3項モデルとの関係は， 2項モデルで2期間経過する状態が3項モデルで1期間経過する状態と想定，相対価格の関係から，（5）式が成り立つ。-214 ( 214）ーu2 =U =eλσσ五（5)I Pu I u M 1-p ｜凡｜1-p D 図 1 2項モデルと 3項モデルとの関係のイメージ図λ＞0の想定のもと，これを変形すると，（6）式となる。ここで， 3項モデルに柔軟性を持たせるストレッチパラメータλが厳格に制限されているのが確認できる。λ＝ J2(1ogu) '") σJ五、'V/そして，さらに， Rubinstein(2000）では 2項モデルと 3項モデルとのリスク中立確率相互の関係（7）式から，（4）式を用い，（6）式でλを消去，複雑ではあるが，(8), (9）式が成り立たなくてはならないとする。これが， Rubinstein(2000）の結論である。-215 ( 215) -(1-p )2＝九（7)u＝仰ゾσ2h－μγ （8)I 1 μ長五p = 21/ 2~σ2h － µγ）＋ σJσ2h － µγ （9) 2. Rubinstein (2000）論文へのコメント2項モデルと 3項モデルはそれぞれ別個に研究されているなか， Rubinstein(2000）は両者の関係を整理し，（8),(9）式の新たなパラメータ設定を導出したことには意義がある。しかし，（8),(9）式を用い， リターン期待値，分散を計算しても，整理された結果にはならないという問題点が指摘できるOたとえば， 2項モデルの1期のリターン期待値 E1{log（王）｝は以下の（10）式で表現されるが，これ以上簡単にはならなL、。E, {log(x)}= p logu + (1-p X-Iogu )= (2p-1Xlogu) ＝｛~2ヤ2h1 目 μ,J2万 12~σ2h － µγσ ところが，パラメータμの整合性から（10）の左辺は 1期間の平均値μhとなるべきである。また， リターン分散についても問題を残す。ところで， 3項モデルでのパラメータの整合性はどうなっているだろうか， 3 項モデルの時間間隔は 2hであるので， T=2h時点のリターン平均値， リターン分散を計算すると，（11),(12）式となり， uの関数の形に依存せずに整合性がとれている。-216 ( 216）ーE2 {log{x)}= PuJa-fih +PM (o）＋九十λσ-fih)＝（会＋努）λσぷ一（歩＋渠）λσぷ (11) = 2μh = μ(2h) Va円。og(x）｝＝時σ5lz)2+PM(OJ＋ろいσ5h）布 2。og(x)})＝（土＋E空）かσJih}＋（土ー 丘町いσJih}-(2刈l2λ2 2λσJ" I l 2λ2 2λσj' I =2σ2h-4μ2h＝ヤ5h）ーい（2h)) 問すなわち， リターン期待値は年率の期待値パラメータに時間間隔 2hを加味した表現になっており，整合性が取れているO (12）式のリターン分散であるが，第2項を除けば，ボラティリティーの平方根時間倍という表現になっておりこれも整合性はとれている。なお，第2項の問題については次節で検討するが，Cox & Rubinstein (1985）が示すように，離散時間 hを01こ近づけた連続時間で考え， μ→0を導き，均rや｝→σ2hが成立することで問題を解決し，離散時間における分散パラメータの整合性はあまり議論しないのが伝統的であるらまた， 3項モテソレではBoyle(1988), Kamrad and Ritchken(1991), Ritchken (1995）などの研究があるが，（1）～（4）式でパラメータ設定を行うのが基本であり，離散時間での分散パラメータの整合性は保たれていなし、。しかし，本節では(12）式で分散パラメータの整合性は保たれているとして，この 3項モデルに対応する T=h時点の 2項モデルの場合に立ち返り，成り立つべき条件（13),(14) について検討するOE1 {log(:X）｝＝川（13)Vaη｛log(x）｝＝σ2h－μγ （14) 2 次節で検討するJarrow& Rudd (1983）のモデルは離散時間での分散パラメータの整合性を保証する。-217 ( 217) -Rubinstein(2000）は条件（15）式を明示的に示しているものの，計算過程では(7）式。－PJ =PDのみを用いている。しかし， 2項モデル 2期分で 3項モデルを合成させるためには，（7),(15）式が連立して成り立たなくてはならない30p2＝九 (15),j2 (logu) (6）式λ＝v- 「 を用い，（15),(7）式を整理すると， (16),(17）式となるOσd h P -I 1 μ./h Jσ.fh μh I 一一一＋一一一一＝＇一一一一一一＋一一一一一 ・-1 2,1,2 2λσ'14(logu) 2logu 、1-v-I土 ＿E}J_＿比五ι＿_lι ，17) y-112λ2 2λσ －~ 4(logu) 21ogu 山ところで， Rubinstein(2000）のモデル体系では 3項モデルとの対応関係から，(13), (14）式が成り立たなくてはならなL、。(13), (14）式それぞれに（16),(17）式を代入して整理すると，（18),(19）式が得られる。Jσ2 + 2(1ogu )μ-.Jσ2 -2(log u )μ = 2μ.J五（18)Jσ2 + 2(logu )μ+ .Jσ2 -2(logゆ＝ヤ；-Jh （問lORU (18), (19）式は連立して成り立たなくてはならないが，未知数が4つであり，2つの変数μ，hを固定して整理すると，（20),(21）式がえられるO3 ud = Mについては logu + （」ogu) = 0が恒等的に成り立ち、追加的な条件は必要な-218 ( 218）一logu ＝σ必（20)σ＝μ必（21)(20), (21）式の意味を考察すれば，（20）式は伝統的なCRR2項モデルパラメータ設定そのものである。すなわち， Rubinstein(2000）のモデル体系は（21）式の厳格な条件のもとで，初めて成り立つことを意味するが，実務的に期間を小さくとるとボラティリティーが小さい値しか許容できなくなる点で問題である。3.離散時間分散パラメータ再考最後に， 2節で指摘した離散時間での分散パラメータの整合性の問題を検討し， 3項モデルの場合に当てはまるかを検討するOJarrow & Rudd(1983, p.188）の 2項モデルは離散時間の範囲内で問題を解決し，ポピュラーなCRRモデルとは異なった（22）～（24）式のパラメータ設定を提示しているou =exp{uh＋σJh) (2) d=exp{uh一σJh） 附p = 1/2 (24) (24）式でリスク中立確率とはし 1え1/2に限定している点は柔軟性の意味で問題があるo しかしながら， リターン期待値，分散の整合性の意味では離散時間の範囲内で保証される優れたモデルであると評価する。期間T=hの2項モデルの場合を確認すると，（25）式のみならず，（12）式右辺第2項がない（26）式も成り立つ。-219 ( 219) -E1 {lo制＝~い＋σfh）＋~い－σfh） 間＝メめ均1{Iog(x》＝~い＋σfh)＋±い－σ川－μγ 側そこで， T=2hの場合の 3項モデルの場合を調べてみる。E2 {Iog(xトシい＋σJh)+2~~2川＋シい－σJh） σ7)=2メhhろ｛10g(x》＝去22い＋σJh)＋~~均μ）＋去巾－σJh） 一例2=2σ2h (28) 計算結果は（27),(28）式であり，この場合もリターン平均値，分散パラメータの整合性が離散時間の範囲内で確認できる。4.結論と課題われわれはRubinstein(2000）論文を通して， 2項モデルと 3項モデルとの関係を検討した。 Rubinstein(2000）のモデルは両者の関係を統合している点で評価すべきものであるが，連立方程式を解く過程において，未知数の数と方程式の数をあまり念頭においていないものと思われるO また， 2項の場合のリターン期待値，分散パラメータの整合性の観点から問題があると思われる。一方，その点を改善するJarrow& Rudd(1983, p.188 ）の 2項モデルはリスク中立確率を1/2と定める点で自由度が低いという難点はあるものの，計算結果において， Rubinstein(2000）が意図した， 2項モデルの合成による 3項モデルの提示に成功していることが確認できた。一般に， リターン期待値，分散パラメータの整合性を離散時間にて保証する-220 ( 220) -ためには，パラメータ設定において，どこかに制限を課さなければならなくなる。拙稿（2001）は 2項モデルでアップダウン非対称に定めた方法を示しているが，極端に歪度の絶対値の大きなリスク中立確率測度を創出する可能性がある。今後は，本稿で整理した論点を発展させ，パラメータの整合性を保ちつつも，無理のない，パラメータ設定を研究して行きたL、。参考文献Boyle, Phelim ( 1988），“A Lattice Framework for Option Pricing with Two State ariables," Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol.23, No. I, p.1・12.Cox, John C. and M. Rubinstein (1985), Options Market, Prentice”Hall, Inc. Jarrow, Robert A. and A. Rudd (1983), Option Pricing, Richard D. Irwin, Inc. Kamrad, Bardia and P.Ritchken (1991），“Multinominal Approximating Models for Options with k State variables，” Management Science, Vol. 37, No.12, p.1640-1652. Ritchken, Peter (1995），“On Pricing Barrier Options，” Journal of Derivatives, Winter 1995, p.19-28. Rubinstein, Mark (2000），“On the Relation between Binominal and Trinominal Option Pricing Models，” Journal of Derivatives, Winter 2000, p.47・50.ラムベルトン，D.,B.ラベー ル（2000），「ファイナンスへの確率解析」（森平爽一郎監訳，原書，“Introduction au Calcul stochastique Applique i la Finance，” 1997）朝倉書店ネフィツィ， S.N. (1999），「ファイナンスへの数学」（投資工学研究会訳，原書，“AnIntroduction to the Mathematics of Financial Derivatives，” 1996）朝倉書店高見茂雄（2001)，「拡張2項モデルによるリアル・オプション評価」， JAFEE 2001年冬季大会予稿集， p.197-213.-221 ( 221) -富大経済論集第48巻第1号 正誤表頁 行 誤 正7 6 2～3行目 その低落は特に激しく，長引く その低落は特に激しく，長引くことにならざるを得ない。 ことにならざるを得ない。参考文献2 2 1 1行目 Two State ariables," Two State Yariables," 参考文献／ 6行自 State yariables," State Y.ariables," 

The relation between the binominal and trinominal model : a critical note on the paper Rubinstein(2000)

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