Dyk, Štěpán

Zeman, Vladimír

Czech

DSpace at University of West Bohemia

29Analýza stability a kritické délkyaxiálneˇ zatížených vertikálních nosníku˚Ing. Šteˇpán Dyk1, Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc.21 ÚvodPrˇi analýze konstrukcí je kromeˇ mezních stavu˚ daných pevnostními charakteristikamidu˚ležité uvážit rovneˇž aspekt stability. Elementární cˇástí konstrukce mu˚že být naprˇ. prut namá-haný osovou silou. Tento prˇíspeˇvek se zabývá analýzou stability vertikálního prutu s uvažová-ním vlivu gravitace a osové síly. Oproti standardním statickým prˇístupu˚m [Zajícˇek & Adámek(2010)] vychází z dynamické analýzy, prˇi níž je sledována závislost vlastních frekvencí kon-zervativního systému na osové síle. Takový stav sysému, prˇi neˇmž je první vlastní frekvencenulová, resp. kdy se tato stává ryze imaginární, je oznacˇován jako labilní.2 Matematický model axiálneˇ zatíženého vertikálního nosníku v homogen-ním gravitacˇním poli a testované aplikacePro odvození matematického modelu kmitání osoveˇ zatížených nosníku˚ byla použita me-toda konecˇných prvku˚ (MKP) za prˇedpokladu pouze ohybových kmitu˚ a platnosti Rayleighovyteorie pro jednorozmeˇrná, prˇícˇneˇ nestlacˇitelná kontinua. Matematický model takového konecˇ-ného prvku je uveden naprˇ. v [Byrtus et al. (2010)]. Po rozšírˇení o vliv osové síly a vliv gra-vitacˇní síly lze naprˇ. aplikací Lagrangeových rovnic druhého druhu [Zeman & Hlavácˇ (2004)]odvodit konzervativní matematický model ve tvaruMq¨(t) +K(F0)q(t) = 0, M ,K ∈ Rn,n, q ∈ Rn, F0 ∈ R (1)kdeM aK jsou matice hmotnosti a tuhosti, q je vektor zobecneˇných sourˇadnic, F0 je osová sílaa n je pocˇet stupnˇu˚ volnosti systému. Koeficientové matice vzniknou tzv. energetickou sumacíkoeficientových matic dílcˇích elementu˚. Matice tuhosti je zmeˇkcˇována tlakovou osovou silou arˇešení problému vlastních hodnot [Zeman & Hlavácˇ (2004)] takovéhoto systému je tedy závisléna osové síle.Analýza stability byla testována na prˇíkladu osoveˇ zatíženého palivového proutku (PP)užívaného v palivových souborech reaktoru˚ typu VVER1000. Proutek byl diskretizován na 18elementu˚ prˇi uvážení ru˚zných okrajových podmínek – zdola vetknutý a shora volný, kloubneˇuložený nebo vetknutý. V úrovních vybraných uzlu˚ i = 2, 4, . . . 16 PP jsou uvažovány pružnépodpeˇry ki simulující distancˇní mrˇíže palivového souboru. Obr. 1 ukazuje závislost prvníchdvou páru˚ vlastních frekvencí na osové síle a hranici stability pro ru˚zné typy okrajových pod-mínek. Hranice stability je definována tuhostmi ki a osovou silou F0 takovou, že první vlastnífrekvece systému se stává nulovou.Další testovanou aplikací byla analýza kritické délky vertikálního stožáru. Prˇi uvažování1 student doktorského studijního programu Aplikované veˇdy a informatika, obor Mechanika, specializace Apli-kovaná mechanika, e-mail: stepan24@kme.zcu.cz2 Západocˇeská univerzita v Plzni, Fakulta aplikovaných veˇd, Katedra mechaniky, e-mail: zemanv@kme.zcu.cz300 20 40 60 80 1000246810Osová síla F0 [N]f 12, f 34 [Hz]  vetknutý − volnývetknutý − kloubvetknutý − vetknutý100 102 104 1060500100015002000F 0 [N]ki [N/m], i = 2, 4 ... 16  Vetknutý − volnýVetknutý − kloubVetknutý − vetknutýObrázek 1: Závislost prvních dvou páru˚ vlastních frekvencí na osové síle prˇi ki = 0 (vlevo) ahranice stability (vpravo) pro ru˚zné typy okrajových podmínek15 20 25 3000.10.20.30.4delka stozaru l [m]f 1 = f 2 [Hz]  lkritg = 32.2m →g = 9.81 m/s2bez vlastni tihy15 20 25 3010−1delka stozaru l [m]log(f1) = log(f 2) [Hz]  g = 9.81 m/s2bez vlastni tihyObrázek 2: Závislost první vlastní frekvence stožáru na jeho délcepouze vlivu gravitacˇní síly lze sledovat závislost první vlastní frekvence systému na délce sto-žáru a urcˇit délku, prˇi níž dojde k poklesu vlastní frekvence systému na nulovou hodnotu, a tedyke ztráteˇ stability. Byl uvažován drˇeveˇný stožár kruhového pru˚rˇezu podle [Höschl (2012)] a dis-kretizace na dva konecˇné elementy, která se ukazuje v daném prˇípadeˇ jako dostacˇující. Obr. 2ukazuje závislost první vlastní frekvence na délce stožáru pro konkrétní hodnoty parametru˚.Odvozený matematický model vertikálního prutu pod vlivem osové síly a gravitace lzedále využít v rozsáhlejších modelech pro simulace dynamického chování kmitajících systému˚.PodeˇkováníTento prˇíspeˇvek byl podporˇen z grantu SGS-2013-036.LiteraturaByrtus, M. – Hajžman, M. – Zeman, V.: Dynamika rotujících soustav. Západocˇeská univerzitav Plzni, 2010, ISBN 978-80-7043-953-1.Höschl, C.: Nedosažitelné cíle a marné nadeˇje. Bulletin CˇSM. 2012, No. 2.Zajícˇek, M., Adámek, V.: Vzpeˇr prˇímých prutu˚, 2009, dostupné z www: http://www.kme.zcu.cz/kmet/pp2/.Zeman, V. – Hlavácˇ, Z.: Kmitání mechanických soustav. Západocˇeská univerzita v Plzni, 2004,ISBN 80-7043-337-X.

Analýza stability a kritické délky axiálně zatížených vertikálních nosníků

University of West Bohemia Digital Library

http://dspace5.zcu.cz/bitstream/11025/21241/1/Dyk.pdf

Analýza stability a kritické délky axiálně zatížených vertikálních nosníků

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DSpace at University of West Bohemia

University of West Bohemia Digital Library