Two asymptotic expansions for gamma function developed by Windschitl's formula

In this paper, we develop Windschitl's approximation formula for the gamma function to two asymptotic expansions by using a little known power series. In particular, for $n\in \mathbb{N}$ with $n\geq 4$, we have \begin{equation*} \Gamma \left( x+1\right) =\sqrt{2\pi x}\left( \tfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \tfrac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \sum_{k=3}^{n-1}\tfrac{\left( 2k\left( 2k-2\right) !-2^{2k-1}\right) B_{2k}}{2k\left( 2k\right) !x^{2k-1}} +R_{n}\left( x\right) \right) \end{equation*} with \begin{equation*} \left| R_{n}\left( x\right) \right| \leq \frac{\left| B_{2n}\right| }{2n\left( 2n-1\right) }\frac{1}{x^{2n-1}} \end{equation*} for all $x>0$, where $B_{2n}$ is the Bernoulli number. Moreover, we present some approximation formulas for gamma function related to Windschitl's approximation one, which have higher accuracy.Comment: 14 page

An accurate approximation formula for gamma function

In this paper, we present a very accurate approximation for gamma function: \begin{equation*} \Gamma \left( x+1\right) \thicksim \sqrt{2\pi x}\left( \dfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \frac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \frac{7}{324}\frac{1}{ x^{3}\left( 35x^{2}+33\right) }\right) =W_{2}\left( x\right) \end{equation*} as $x\rightarrow \infty$, and prove that the function $x\mapsto \ln \Gamma \left( x+1\right) -\ln W_{2}\left( x\right)$ is strictly decreasing and convex from $\left( 1,\infty \right)$ onto $\left( 0,\beta \right)$, where \begin{equation*} \beta =\frac{22\,025}{22\,032}-\ln \sqrt{2\pi \sinh 1}\approx 0.00002407. \end{equation*}Comment: 9 page

Magnetoelastic coupling in ferromagnetic films and surface stress studies on Ir(100)

Es werden Messungen zur Korrelation zwischen mechanischen Spannungen, Filmdehnungen und magnetischer Anisotropie in epitaktischen Monolagen durchgeführt. Dazu werden Spannungen während des Filmwachstums und während Magnetisierungsvorgängen direkt mit der Kristallkrümmungstechnik gemessen. Epitaktische Fehlpassung induziert Filmspannungen in der Größenordnung von etlichen GPa während des Wachstums von Fe, Co und Ni Monolagen auf Ir(100). Spannungsmessungen identifizieren strukturelle und morphologische Veränderungen im Film. Die ersten beiden Monolagen Fe wachsen als kfz-Vorstufe für das nachfolgende Wachstum von krz-Fe auf Ir(100). Ni und Co wachsen in der kfz-Phase auf Ir(100). Die magneto-elastischen Spannungsmessungen zeigen, dass die magneto-elastischen Kopplungskoeffizienten B1eff und B2eff stark von den entsprechenden Werten des Volumenmaterials abweichen. Diese Ergebnisse deuten an, dass Filmdehnungen erheblich für das veränderte magneto-elastische Verhalten verantwortlich sein könnten. Die Rolle dieser veränderten magneto-elastischen Kopplung für die magnetische Anisotropie wird diskutiert. Magneto-optische Kerr-Effekt (MOKE) Messungen zeigen eine leichte Magnetisierungsrichtung innerhalb der Filmebene für Fe und Co, wohingegen Ni einen Spinreorientierungsübergang zu einer leichten Magnetisierungsrichtung senkrecht zur Filmebene bei 15 Monolagen mit abnehmender Filmdicke zeigt. Diese magnetischen Ansitropien können zutre_end mithilfe der gemessenen magneto-elastischen Koeffizienten beschrieben werden. Die Beziehung zwischen Oberflächenspannungen und Oberflächenrekonstruktion wird mit kombinierten Spannungs- und Beugungsexperimenten (LEED) am Beispiel der H-induzierten Oberflächenrekonstruktion von Ir(100)-(5×1)Hex zu (5 × 1)-H untersucht. Diese Änderung der Rekonstruktion geht mit einer Oberflächenspannungsänderung von -1.75 N/m einher. Während der Rekonstruktion ändert sich die relative LEED Intensität zwischen ganz-zahligen und gebrochen Reflexen, proportional zur Oberflächenspannungsänderung. Dieses Ergebnis deutet an, dass die Oberflächenspannung eine Rolle bei dieser Oberflächenrekonstruktion spielt. Erstmals wird die Spannung in Oxidmonolagen gemessen. Die Bildung des gewünschten CoO(111) über die Oxidation von 2 Atomlagen Co wird mit der Beugung langsamer Elektronen (LEED) verifiziert, bis dass das Beugungsbild die Bildung der c(10x2) Struktur von CoO(111) auf Ir(100) zeigt. Diese Oxidation führt zu Zugspannungen von +2.1 N/m, die quantitativ mit der anisotropen Fehlpassung von CoO(111) auf Ir(100) erklärt werden. Dieses Ergebnis zeigt, dass die Coulomb-Wechselwirkung in den vermeintlich polaren CoO Lagen keinen nennenswerten Beitrag zu den Spannungen liefert.Measurements on the correlation between stress, strain and magnetic anisotropy of epitaxial monolayers are performed in this work. To this end, mechanical stress during film growth and stress during magnetization processes are measured directly by the optical cantilever curvature technique. Epitaxial misfit induced film stress is measured for Fe, Ni and Co monolayers on Ir(100). Film stresses of the order of several GPa are detected, which are ascribed to the epitaxial misfit. The stress measurements also indicate structural and morphological changes in the growing film. The first 2 monolayers of Fe on Ir(100) can be described as a fcc precursor, which serve as a template for the subsequent growth of bcc Fe at higher thickness. Ni and Co are found to grow in a fcc phase on Ir. The results on the magnetoelastic stress indicate that the magnetoelastic coupling coefficients B1eff and B2eff of Fe, Ni and Co deviate sharply from the respective bulk behavior, and they suggest that strain may play an important role for this non-bulklike magnetoelastic behavior. The role of this non-linear magnetoelastic coupling for the magnetic anisotropy of ferromagnetic monolayers is studied. The magnetic anisotropy for out-of-plane magnetization is analyzed. MOKE measurements reveal that the easy magnetization axis is in-plane for Fe and Co films on Ir(100), and changes from outof- plane to in-plane for Ni at about 15 ML for increasing film thickness. These experimental observations can be well described by the measured magnetoelastic coupling coefficients. The relation between surface stress and surface reconstruction of the Ir(100)surface is investigated by adsorbate-induced stress measurements and low energy electron diffraction (LEED). During the H-induced surface reconstruction from Ir(100)-(5×1)Hex to Ir(100)-(5×1)-H, a compressive stress change of -1.75 N/m is obtained. LEED spot intensities for integer and fractional order spots are measured during reconstruction, and their intensities identify the progress of the surface reconstruction during H exposure. A direct correlation between the surface stress change and the spot intensity ratio (Iint/Ifrac) is established, which shows a linear dependence, suggesting that surface stress should be considered as an important factor during this reconstruction. The stress change during formation of CoO(111) is measured during the oxidation of 2 monolayers Co. LEED identifies the c(10x2) structure of the CoO(111) film, which is under a tensile stress of +2.1 N/m. The magnitude of this stress can be quantitatively ascribed to the anisotropic lattice misfit between CoO(111) and Ir(100). This first stress measurement on an oxide surface suggests that Coulomb-interactions within the presumably polar CoO(111) layers do not contribute to the oxide film stress.von Zhen Tia