The Cauchy-Stieltjes integrals in the theory of analytic functions

We study various Stieltjes integrals as Poisson–Stieltjes, conjugate Poisson–Stieltjes, Schwartz–Stieltjes and Cauchy–Stieltjes and prove theorems on the existence of their finite angular limits a.e. in terms of the Hilbert–Stieltjes integral. These results hold for arbitrary bounded integrands that are differentiable a.e. and, in particular, for integrands of the class CBV (countably bounded variation)

Prime ends on the Riemann surfaces

We prove criteria for the homeomorphic extension of mappings with finite distortion between the domains on Riemann surfaces to the boundary by prime Carathéodory ends.Доводяться критерії для гомеоморфного продовження на границю відображень зі скінченним спотворенням між областями на ріманових поверхнях по простих кінцях Каратеодорі.Доказываются критерии для гомеоморфного продолжения на границу отображений с конечным искажением между областями на римановых поверхностях по простым концам Каратеодори

Prime ends in the mapping theory on the Riemann surfaces

It is proved criteria for continuous and homeomorphic extension to the boundary of mappings with finite distortion between domains on the Riemann surfaces by prime ends of Caratheodory

Mappings with finite length distortion and Riemann surfaces

We prove a series of criteria in terms of dilatations for the continuous and homeomorphic extension of the map pings with finite length distortion between domains on Riemann surfaces to the boundary. The criterion for the continuous extension of the inverse mapping to the boundary is turned out to be a very simple condition on the integrability of the dilatations in the first power. Moreover, the domain of the mapping is assumed to be locally connected on the boundary and its range has a weakly flat boundary. The criteria for the continuous extension of the direct map pings to the boundary have a much more refined nature. One of such criteria is the existence of a majorant for the dilation in the class of functions with finite mean oscillation, i.e., having a finite mean deviation from its mean value over infinitesimal disks centered at the corresponding boundary point. A stronger (but simpler) one is that the mean value of the dilatation over infinitesimal disks centered at the corresponding boundary point is finite. The domain is again assumed to be locally connected on the boundary and its range has a strongly accessible boundary. We give also many other criteria for the continuous extension of the direct mappings to the boundary. As consequences, the corresponding criteria for a homeomorphic extension of mappings with finite length distortion to the closures of domains are obtained.У термінах дилатацій доведено ряд критеріїв для неперервного та гомеоморфного продовження на границю відображень зі скінченним спотворенням довжини між областями на ріманових поверхнях. Критерієм для неперервного продовження обернених відображень на границю є дуже проста умова про інтегрованість дилатації в першому степені. При цьому область визначення відображення передбачається локально зв'язною на границі, а область значень — зі слабо плоскою границею. Критерії для неперервного продовження на границю прямих відображень мають набагато тоншу природу. Один із критеріїв полягає в існуванні мажоранти дилатації в класі функцій зі скінченним середнім коливанням, тобто таких, що мають кінцеве середнє відхилення від свого середнього значення над інфінітезимальними (нескінченно малими) колами з центром у відповідній граничній точці. Більш жорстка, але більш проста вимога полягає в тому, що середнє значення дилатації над інфінітезимальними колами з центром у відповідній граничній точці скінченне. Область визначення знову передбачається локально зв'язною на границі, а область значень — із сильно досяжною границею. Також наведено багато інших критеріїв неперервного продовження на границю прямих відображень. Як наслідки отримуємо відповідні критерії для гомеоморфного продовження на границю областей відображень зі скінченним спотворенням довжини.В терминах дилатаций доказан ряд критериев для непрерывного и гомеоморфного продолжения на границу отображений с конечным искажением длины между областями на римановых поверхностях. Критерием для непрерывного продолжения обратных отображений на границу оказывается очень простое условие об интегрируемости дилатаций в первой степени. При этом область определения отображения предполагается локально связной на границе, а область значений — со слабо плоской границей. Критерии для непрерывного продолжения на границу прямых отображений имеют гораздо более тонкую природу. Один из критериев состоит в существовании мажоранты дилатации в классе функций с конечным средним колебанием, т. е. имеющих конечное среднее отклонение от своего среднего значения над инфинитезимальными (бесконечно малыми) кругами с центром в соответствующей граничной точке. Более сильное, но более простое требование состоит в том, что среднее значение дилатации над инфинитезимальными кругами с центром в соответствующей граничной точке конечно. Область определения снова предполагается локально связной на границе, а область значений — с сильно достижимой границей. Также приведены многие другие критерии непрерывного продолжения на границу прямых отображений. В качестве следствий получаются соответствующие критерии для гомеоморфного продолжения в замыкание областей отображений с конечным искажением длины

On the boundary behavior of conjugate harmonic functions

It is proved that if a harmonic function u on the unit disk D in C has angular limits on a measurable set E of the unit circle, then its conjugate harmonic function v in D also has (finite !) angular limits a.e. on E and both boundary functions are measurable on E. The result is extended to arbitrary Jordan domains with rectifiable boundaries in terms of angular limits and of the natural parameter. This result is essentially based on the Fatou theorem on angular limits of bounded analytic functions and on the construction of Luzin and Priwalow to their uniqueness theorem for analytic and meromorphic functions. The result will have interesting applications to the study of the various Stieltjes integrals in the theory of harmonic and analytic functions and, in particular, of the Hilbert–Stieltjes inyegral.Доказывается, что если гармоническая функция u, заданная в единичном круге D комплексной плоскости C, имеет угловые пределы на измеримом множестве E единичной окружности, то ее сопряженная гармоническая функция v в D также имеет угловые пределы п.в. на E и обе граничные функции п.в. конечны и измеримы на E. Затем этот результат распространяется на произвольные жордановы области со спрямляемыми границами в терминах угловых пределов относительно естественного параметра. Результат существенно основывается на теореме Фату об угловых пределах ограниченных аналитических функций и конструкции Лузина и Привалова к их теореме единственности для аналитических и мероморфных функций. Результат будет иметь интересные приложения к изучению различных интегралов Стилтьеса в теории гармонических и аналитических функций и, в частности, интеграла Гильберта–Стилтьеса.Доводиться, що якщо гармонiйна функцiя u, що задана в одиничному колi D комплексної площинi C, має кутовi межi на вимiрної множинi E одиничного кола, то її сполучена гармонiйна функцiя v в D також має кутовi межi п.в. на E i обидвi граничнi функцiї п.в. кiнцевi та вимiрнi на E. Потiм цей результат поширюється на довiльнi жорданова областi з границями, що спрямляються в термiнах кутових меж щодо природного параметра. Результат iстотно ґрунтується на теоремi Фату про кутовi межи обмежених аналiтичних функцiй та конструкцiї Лузiна i Привалова до їх теоремi єдиностi для аналiтичних i мероморфних функцiй. Результат буде мати цiкавi додатки до вивчення рiзних iнтегралiв Стiлтьєса в теорiї гармонiйних i аналiтичних функцiй i, зокрема, iнтеграла Гiльберта–Стiлтьєса

Semilinear equations in a plane and quasiconformal mappings

We consider generalizations of the Bieberbach equation with nonlinear right parts, which makes it possible to study many problems of mathematical physics in inhomogeneous and anisotropic media with smooth characteristics. We establish interconnections of these semilinear equations with quasiconformal mappings, obtain on this basis, a series of theorems on the existence of their solutions that blow-up on the boundary of a unit disk, as well as on punctured unit disks and rings, and give their explicit representations.Розглянуто узагальнення рівняння Бібербаха з нелінійними правими частинами, які дають можливість вивчати багато проблем математичної фізики в неоднорідних та анізотропних середовищах з гладкими характеристиками. Встановлено взаємозв'язки цих напівлінійних рівнянь з квазіконформними відображеннями і на цій основі отримано ряд теорем існування їх розв'язків, що вибухають на границі одиничного круга, проколотих одиничних кіл та кільцях, а також наведено їх явні зображення.Рассмотрены обобщения уравнения Бибербаха с нелинейными правыми частями, которые позволяют изучать многие проблемы математической физики в неоднородных и анизотропных средах с гладкими характеристиками. Установлены взаимосвязи этих полулинейных уравнений с квазиконформными отображениями и на этой основе получен ряд теорем существования их решений, взрывающихся на границе единичного круга, проколотых единичных кругах и кольцах, а также приведены их явные представления

On quasiconformal maps and semi-linear equations in the plane

Assume that Ω is a domain in the complex plane C and A(z) is symmetric 2× 2 matrix function with measurable entries, det A = 1 and such that 1/K|ξ|²≤ 〈A(z)ξ, ξ〉 ≤ K|ξ|², ξ ∊ R², 1 ≤ K < ∞. In particular, for semi-linear elliptic equations of the form div (A(z)∇u(z)) = f(u(z)) in Ω we prove Factorization Theorem that says that every weak solution u to the above equation can be expressed as the composition u = T ◦ ω, where ω : Ω → G stands for a K−quasiconformal homeomorphism generated by the matrix function A(z) and T(w) is a weak solution of the semi-linear equation △T(w) = J(w)f(T(w)) in G. Here the weight J(w) is the Jacobian of the inverse mapping ω⁻¹. Similar results hold for the corresponding nonlinear parabolic and hyperbolic equations. Some applications of these results in anisotropic media are given

On a new approach to the study of plane boundary-value problems

We give a short description of our recent results obtained by a new approach to the boundary-value problems, such as the Dirichlet, Hilbert, Neumann, Poincaré and Riemann problems, for the Beltrami equations and for analogs of the Laplace equation in anisotropic and inhomogeneous media. We show that the approach makes it possible to study many problems of mathematical physics with arbitrary boundary data which are measurable with respect to logarithmic capacity.Наведено короткий опис нещодавніх результатів, отриманих новим методом, по крайових задачах, таких як задачі Гільберта, Діріхле, Неймана, Пуанкаре та Рімана, для рівнянь Бельтрамі і аналогів рівнянь Лапласа в анізотропних і неоднорідних середовищах. Показано, що наш підхід дає можливість вивчати багато проблем математичної фізики з довільними граничними даними, вимірними відносно логарифмічної ємності.Приводится краткое описание наших недавних результатов, полученных новым методом, по краевым задачам, таким как задачи Гильберта, Дирихле, Неймана, Пуанкаре и Римана, для уравнений Бельтрами и аналогов уравнений Лапласа в анизотропных и неоднородных средах. Показано, что наш подход позволяет изучать многие проблемы математической физики с произвольными граничными данными, измеримыми относительно логарифмической емкости

To the theory of semi-linear equations in the plane

In two dimensions, we present a new approach to the study of the semilinear equations of the form div[A(z)∇u] = f(u), the diffusion term of which is the divergence uniform elliptic operator with measurable matrix functions A(z),whereas its reaction term f(u) is a continuous non-linear function. Assuming that f(t)/t → 0 as t → ∞, we establish a theorem on existence of weak C(Ď )∩ W¹,² loc (D) solutions of the Dirichlet problem with arbitrary continuous boundary data in any bounded domains D without degenerate boundary components. As consequences, we give applications to some concrete model semi-linear equations of mathematical physics, arising from modelling processes in anisotropic and inhomogeneous media. With a view to further development of the theory of boundary value problems for the semi-linear equations, we prove a theorem on the solvability of the Dirichlet problem for the Poisson equation in Jordan domains with arbitrary boundary data that are measurable with respect to the logarithmic capacity