Laplace method for the diagrams of elastic scattering in the model of multiparticle fields

In this paper we show how the differential cross-section of elastic proton scattering can be calculated from the square of the transmitted four-momentum using the model of multiparticle fields. We consider a single-loop diagram and the corresponding analytical expression for this loop. This expression contains a multidimensional integral over virtual four-momentum, which we calculate using the Laplace method. These multidimensional integrals were reduced to two-dimensional or one-dimensional and then were calculated numerically. A qualitative correspondence of the differential cross section to the experimental data is obtained. Achieving a quantitative match with the experiment requires taking into account more loop diagrams.Comment: 50 pages, 12 figures, in Ukrainia

Laplace method for the simplest diagrams of elastic scattering of scalar particles

We propose an algorithm for the application of the Laplace method for the calculation of the simplest Feynman diagram with a single loop in the scalar {\phi}^3 theory. The calculation of the contribution of such a diagram to the scattering amplitude requires the calculation of a fourfold integral over the four-momenta components circulating in a loop. The essence of the Laplace method for the calculation of multiple integrals lies in the fact that if the module of an integrand has a point of sufficiently sharp maximum inside the integration domain, then the integral can be replaced by a Gaussian integral by representing the integrand in the form of an exponent from the logarithm and expanding this logarithm into Taylor series in the vicinity of a maximum point up to the second degree terms. We show that there are two-dimensional and non-intersecting surfaces inside the four-dimensional region of integration, on which the maximum of the module of integrand is reached. This leads to a problem that the integrand is non-analytically dependent on the parameters responsible for bypassing the poles. Also the derivatives of logarithm of the scattering amplitude are non-analytically dependent on these parameters. However, in the paper we show that these non-analyticities compensate each other. As a result of such a procedure, three of the four integrations can be done analytically, and the calculation of the contribution of the diagram to the scattering amplitude is reduced to a numerical calculation of the single integral in finite bounds from an expression that does not contain non-analyticities. The described calculation method is used to construct a model dependence of elastic scattering differential cross section d{\sigma}_elastic/dt on the square of the transmitted four-momentum t (Mandelstam variable).Comment: 31 pages, 10 figures, in Ukrainian (v2: same text, article description corrected; v3: text and some figures updated

НОВА СИМЕТРІЯ ЕЛЕКТРОСЛАБКОГО ЛАГРАНЖІАНУ

Аналізуються проблеми стандартної моделі, пов'язані з введенням електромагнітного поля як лінійної комбінації полів, на яких реалізуються представлення різних калібрувальних груп. В роботі звертається увага на те що в будь-якій моделі із калібрувальними полями, генератори, які входять до коваріантних похідних, можуть бути задані лише з точністю до переходу до еквівалентного представлення. Пропонується вважати що динамічні моделі з еквівалентними представленнями генераторів повинні бути фізично еквівалентними. Це означає вимогу симетрії лагранжіану відносно переходу від одного з еквівалентних представлень генераторів до іншого. Зокрема в лагранжіані стандартної моделі маємо підвищуючий і понижуючий генератори групи SU(2). Закон групового множення визначає лише модулі  матричних елементів цих генераторів, в той час як аргументи залишаються невизначеними. В роботі така невизначеність розглядається як локальна. В різних точках простору-часу генератори можуть задаватися в різних еквівалентних представленнях. Компенсація невизначених аргументів матричних елементів генераторів групи SU(2) може бути проведена за допомогою локального U(1) - перетворення з введенням відповідного калібрувального поля, яке може розглядатися як електромагнітне. Аналізуються переваги такого введення електромагнітного поля у порівнянні з методом, використаним в стандартній моделі