On complex-valued 2D eikonals. Part four: continuation past a caustic

Theories of monochromatic high-frequency electromagnetic fields have been designed by Felsen, Kravtsov, Ludwig and others with a view to portraying features that are ignored by geometrical optics. These theories have recourse to eikonals that encode information on both phase and amplitude -- in other words, are complex-valued. The following mathematical principle is ultimately behind the scenes: any geometric optical eikonal, which conventional rays engender in some light region, can be consistently continued in the shadow region beyond the relevant caustic, provided an alternative eikonal, endowed with a non-zero imaginary part, comes on stage. In the present paper we explore such a principle in dimension $2.$ We investigate a partial differential system that governs the real and the imaginary parts of complex-valued two-dimensional eikonals, and an initial value problem germane to it. In physical terms, the problem in hand amounts to detecting waves that rise beside, but on the dark side of, a given caustic. In mathematical terms, such a problem shows two main peculiarities: on the one hand, degeneracy near the initial curve; on the other hand, ill-posedness in the sense of Hadamard. We benefit from using a number of technical devices: hodograph transforms, artificial viscosity, and a suitable discretization. Approximate differentiation and a parody of the quasi-reversibility method are also involved. We offer an algorithm that restrains instability and produces effective approximate solutions.Comment: 48 pages, 15 figure

Vecchi e nuovi dei. Studi e riflessioni sul senso religioso dei nostri tempi. Dagli atti del Secondo Simposio Internazionale sulla Credenza organizzato dalla “Fondazione Giovanni Agnelli” (Vienna, 7-11 gennaio 1975)

Atti del Secondo Simposio Internazionale sulla credenza e sul senso religioso organizzato dalla Fondazione Giovanni Agnelli (Vienna, 7-11 gennaio 1975).- Indice #7- Prolusione, Rocco Caporale #9- Dal saluto inaugurale, Franciscus König #11- Nuovi Dei o vecchi demoni? Riflessioni sul senso emergente della religiosità contemporanea #13- Parte prima Introduzione allo studio della religiosità contemporanea #37- I. Tra particolarismo e universalismo: dimensioni della coscienza religiosa del nostro tempo, Bernard Lonergan S.J. #39- II. Credenze e movimenti collettivi, Francesco Alberoni #57- III. Religione moderna e movimenti religiosi: per un approccio evoluzionistico, Rainer Döbert #91- IV. Il declino della teologia cristiana come espressione dell’esperienza religiosa, Gary Lease #117- V. Il nuovo senso religioso come pietra di paragone della realtà, Maurice Friedman #131- VI. Problemi di ricerca e di classificazione dei movimenti religiosi contemporanei, John A. Sabba S.J. #151- Appendice: Annuari e cataloghi dei movimenti religiosi e spirituali contemporanei #174- Parte seconda Nuovi aspetti del senso religioso nell'Occidente: studi e ricerche #175- VII. La dimensione religiosa in una comunità cosmopolita americana, Charles Y. Glock e Robert Wuthnow #177- VIII. La religione dell’esperienza: risultati di una inchiesta, John E. Biersdorf #207- IX. Nuovi modelli religiosi in Italia, Sabino Acquaviva #245- X. Tensioni ed effervescenze nella religiosità giovanile italiana, Silvano Burgalassi #281- XI. Conflitti e rinnovamenti nel cristianesimo belga, Antoine Vergote #307- XII. Sviluppi religiosi in Francia, Germania e Inghilterra, René Marie, Wolfhart Pannenberg, David Martin #327- XIII. La partecipazione all’occulto come fenomeno di massa, Patricia A. Hartman #345- XIV. Femminismo radicale: al di là della religione patriarcale, Mary Daly #359- XV. Una nuova donna per una nuova terra: donna, ecologia e rivoluzione sociale, Rosemary R. Ruether #391- Parte terza La religione emergente: critiche, problemi e previsioni #413- XVI. Esperienza e immaginazione religiosa della classe intellettuale-manageriale, Michael Novak #415- XVII. Esame critico della religione liberale negli Stati Uniti, Guy Benton Johnson jr. #435- XVIII. Effervescenza imbottigliata; la religiosità contemporanea come delineatura di comportamento, Martin E. Marty #457- XIX. Il problema della salvezza e il senso religioso del nostro tempo, Leslie Dewart #475- XX. Il nuovo senso religioso e la crisi del moderno, Robert N. Bellah #501- XXI. La visione cosmoteandrica: il senso religioso emergente del terzo millennio, Raimundo Panikkar #523- Epilogo #547- XXII. Riflessioni sul simposio, Clifford Geertz, Thomas Luckmann, David Martin, Wolfhart Pannenberg #549- Appendice Note biografiche dei partecipanti al simposio #56