Semidefinite code bounds based on quadruple distances

Let $A(n,d)$ be the maximum number of $0,1$ words of length $n$, any two having Hamming distance at least $d$. We prove $A(20,8)=256$, which implies that the quadruply shortened Golay code is optimal. Moreover, we show $A(18,6)\leq 673$, $A(19,6)\leq 1237$, $A(20,6)\leq 2279$, $A(23,6)\leq 13674$, $A(19,8)\leq 135$, $A(25,8)\leq 5421$, $A(26,8)\leq 9275$, $A(21,10)\leq 47$, $A(22,10)\leq 84$, $A(24,10)\leq 268$, $A(25,10)\leq 466$, $A(26,10)\leq 836$, $A(27,10)\leq 1585$, $A(25,12)\leq 55$, and $A(26,12)\leq 96$. The method is based on the positive semidefiniteness of matrices derived from quadruples of words. This can be put as constraint in a semidefinite program, whose optimum value is an upper bound for $A(n,d)$. The order of the matrices involved is huge. However, the semidefinite program is highly symmetric, by which its feasible region can be restricted to the algebra of matrices invariant under this symmetry. By block diagonalizing this algebra, the order of the matrices will be reduced so as to make the program solvable with semidefinite programming software in the above range of values of $n$ and $d$.Comment: 15 page

Invariant semidefinite programs

In the last years many results in the area of semidefinite programming were obtained for invariant (finite dimensional, or infinite dimensional) semidefinite programs - SDPs which have symmetry. This was done for a variety of problems and applications. The purpose of this handbook chapter is to give the reader the necessary background for dealing with semidefinite programs which have symmetry. Here the basic theory is given and it is illustrated in applications from coding theory, combinatorics, geometry, and polynomial optimization

A Slow-Growing Sequence Defined by an Unusual Recurrence

The sequence starts with a(1) = 1; to extend it one writes the sequence so far as XY k, where X and Y are strings of integers, Y is nonempty and k is as large as possible: then the next term is k. The sequence begins 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2,... A 4 appears for the first time at position 220, but a 5 does not appear until about position 101023. The main result of the paper is a proof that the sequence is unbounded. We also present results from extensive numerical investigations of the sequence and of certain derived sequences, culminating with a heuristic argument that t (for t = 5, 6,...) appears for the first time at about position 1 All correspondence should be directed to this author. 1 2 ↑ (2 ↑ (3 ↑ (4 ↑ (5 ↑... ↑ ((t − 2) ↑ (t − 1)))))), where ↑ denotes exponentiation. The final section discusses generalizations.

Het verhaal van de wiskunde /

Uitg. in samenw. met Natuur & Techniek.Hoe heeft de wiskunde zich in de loop der eeuwen ontwikkeld? In dit zeer leesbare boek vertelt Richard Mankiewicz de geschiedenis van deze essentiële en intellectuele tak van wetenschap, waar culturen en beschavingen zich al eeuwen geleden aan hebben gewijd."Een boeiend boek met interessante en goede informatie over de ontwikkeling van de wiskunde in de loop der eeuwen. Dergelijke werken zijn zeldzaam! Dit gedegen boek is chronologisch opgebouwd uit 24 hoofdstukken, waarin een periode van zo'n vijfduizend jaar wordt overbrugd. Duidelijk wordt gemaakt, dat de wiskunde niet alleen is beinvloed door de verschillende culturen uit Mesopotamie, Egypte en Griekenland, maar ook door die van de Maya's, Arabieren, Hindoes en Chinezen. Vele belangrijke onderwerpen komen aan bod, zoals de stelling van Pythagoras, de invloed van de ontdekkingsreizen in de middeleeuwen, de kruisbestuiving met de astronomie en de fysica en de bijdrage van de wiskunde aan de ontwikkeling van computers. Daarnaast portretten van bekende en minder bekende onderzoekers. Mooie zwart-wit- en kleurenillustraties geven goede aanvullende informatie. Het boek heeft naast een helder taalgebruik ook een prettige lay-out en een goede bladspiegel. Het populair wetenschappelijke werk ligt op een hoog niveau. Geschikt voor iedereen met een redelijke basiskennis van de wiskunde. Bovendien voldoet het prima als naslagwerk en mede door de vele feiten en wetenswaardigheden is het bruikbaar als (inspiratie)bron voor scripties. Met verklarenden woordenlijst en register. Kleine druk." (Biblion recensie, Arris H. Kramer)Includes bibliographical references (p. 188-189) and index