Numerical solution and structural analysis of differential-algebraic equations

In the last two decades differential-algebraic equations (DAEs) have become an important branch in numerical analysis. In this Thesis we study them from a new, geometric point of view. The DAE is interpreted as a subset of a jet bundle and its solution are induced by the Cartan distribution on the jet bundle. We also introduce a method to examine and define the structure of a general, polynomial, DAE whose locus is not necessarily a fibred manifold. Also it is shown how some singularities of multibody systems are removed by using the algebraic techniques used in this approach.reviewe

Analysing singularities of a benchmark problem

The purpose of this paper is to analyze the singularities of a well known benchmark problem ``Andrews' squeezing mechanism''. We show that for physically relevant parameter values this system admits singularities. The method is based on Gr\"obner bases computations and ideal decomposition. It is algorithmic and can thus be applied to study constraint singularities which arise in more general situations.Comment: 30 pages, 18 figures (yet small files), submitted to Multibody System Dynamic

A matrix approach to polynomials

AbstractWe present a matrix formalism to study univariate polynomials. The structure of this formalism is beautiful enough to be worth seeing on its own, yet we give (another) motivation to this by presenting three new theorems and applying the formalism to give new proofs of some known results

Differentiaalialgebrallisten yhtälöiden numeerinen laskenta

Diplomityön aiheena on Jukka Tuomelan kehittämä uudentyyppinen menetelmä tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Menetelmä on julkaistu tutkimusraporttina. Tarkastelluissa esimerkeissä on keskitytty nimenomaan differentiaalialgebrallisiin yhtälöihin, joka käytännössä tarkoittaa että tarkasteltava systeemi on yleensä ylimääräytyvä sekä mukana on myös algebrallisia, usein geometrisin tarkasteluin saatuja, ehtoja. Aiemmin käytetyistä ratkaisutavoista differentiaalialgebrallisille yhtälöille tunnetuimpia ovat Märzin, Hairer-Wannerin sekä Brenan-Campbell-Petzoldin lähestymistavat, näistä enemmän viitteissä. Tässä Tuomelan menetelmässä lähdetään jo yhtälön tulkinnasta "eri poluille" kuin edellä mainituissa klassisissa tavoissa. Tähän lähestymistapaan, erityisesti yhtälön ratkaisun määrittelyyn, on esitetty hieman filosofista pohdintaa. Diplomityöllä on kolme tavoitetta: menetelmän toteuttaminen tietokoneella, numeeristen testien suorittaminen sekä menetelmän esittely. Menetelmän toteuttamiseen on valittu symbolinen laskentaohjelmisto Mathematica, koska symbolista laskentaa tarvitaan. Testeissä saadut tulokset on esitetty esimerkein. Osa saaduista tuloksista on julkaistu tutkimusraporttina. Esittelyn "yleisöksi" on ajateltu matemaatikko tai insinööri, jolla on perustiedot klassisten ratkaisumenetelmien käytöstä tavallisten differentisaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Tämän vuoksi tarvittavien perustietojen esittelyssä, joka muodostaa työn kirjallisuuskatsauksen, keskitytään enemmän differentiaaligeometrian kuin numeriikan esittelyyn. Numeerisista menetelmistä käydään läpi ne asiat, jotka tässä menetelmässä poikkeavat klassisista numeriikan menetelmistä

Matrix approach to polynomials 2

AbstractWe continue our study of the structure initiated in [T. Arponen, A matrix approach to polynomials, Linear Algebra Appl. 359 (2003) 181–196]. Our main emphasis is exploring further structure into the formalism introduced in [T. Arponen, A matrix approach to polynomials, Linear Algebra Appl. 359 (2003) 181–196]. This formalism reveals beautiful interplay between certain elementary operators, and provides tools for example for checking, handling and generalizing combinatorial identities, as we show in examples. In addition to that we discover a group structure among Vandermonde matrices, a fascinating diophantine equation and new proofs and generalizations of recently found related results

Sequential decision making in parallel two-sided economic search

This paper presents a two-sided economic search model in which agents are searching for beneficial pairwise partnerships. In each search stage, each of the agents is randomly matched with several other agents in parallel, and makes a decision whether to accept a potential partnership with one of them. The distinguishing feature of the proposed model is that the agents are not restricted to maintaining a synchronized (instantaneous) decision protocol and can sequentially accept and reject partnerships within the same search stage. We analyze the dynamics which drive the agents ’ strategies towards a stable equilibrium in the new model and show that the proposed search strategy weakly dominates the one currently in use for the two-sided parallel economic search model. By identifying several unique characteristics of the equilibrium we manage to efficiently bound the strategy space that needs to be explored by the agents and propose an efficient means for extracting the distributed equilibrium strategies in common environments