About discrete hedging and option pricing

The approach that allows find European option price on the assumption of hedging at discrete times is proposed. The routine allows find the option price not for lognormal distribution functions of underlying asset only but for other classes of distribution functions too. It is shown that there exists a nonzero possibility that market parameters can take values such that to realize the hedging policy becomes impossible. This fact is not in contradiction with Black-Scholes option price model as long as this possibility tends to zero at the limit of continuous hedging.option pricing model, finance mathematical model, discrete hedging

Preliminary assessment of roadheaders efficiency based on empirical methods and index of equivalent rock strength

Purpose. The choice of a proper roadheader is a critically important step in planning of a project or some of its stages. Nowadays various manufacturers produce numerous models of these vehicles, hence it is unreasonable to conduct a thorough analysis of each model’s parameters in terms of their adequacy for the successful implementation of the project. Therefore, it is necessary to develop quite simple and easy-to-use assessment of roadheaders efficiency at the project preliminary stages. Methods. The widely used model of the Colorado School of Mines based on numerous laboratory tests has been applied as the basic model for determining theoretical efficiency of rock mass destruction. Since domestic scientists are accustomed to using rock strength parameters, which differ from values σc and σt accepted everywhere (including Russia), we represented dependencies that allow to convert values of some indicators to the values of other indicators. Findings. Calculating the efficiency of roadheaders’ use for each geological section with homogeneous rock can take unreasonably long time. Thus, it is necessary to have a simple integrated strength index for the whole excavation or even enterprise, which can be interpreted through the generally accepted values such as the uniaxial compressive strength σc and tensile strength σt. Jointing of rocks is also an important parameter in a feasibility study of roadheaders’ efficiency. Originality. The equivalent rock strength index was applied as a simple integrated strength index for the whole excavation. This parameter is established on the basis of integrated assessment index of mining operations complexity, which comprises the sum of the uniaxial compressive strength σc and rock jointing for the whole excavation or even mining enterprise. Practical implications. The results of this paper can serve as a preliminary scientifically grounded method of selecting equipment for a particular project in mining industry or underground construction by the efficiency criterion. Its main advantage is simplicity and clarity. However, it should be noted that this method should not be applied at the stage of the project final feasibility study, especially without considering other production factors (compatibility with other equipment, availability of the personnel with adequate qualification for operation and maintenance of the chosen machine etc.).Мета. Вибір конкретного прохідницького комбайна є критично важливим кроком у плануванні робіт по проекту або будь-якого з його етапів. При цьому номенклатура машин, що випускаються різними виробниками в даний час, надзвичайно велика, що робить недоцільним ретельний аналіз кожної моделі комбайна з точки зору його адекватності необхідним для успішної реалізації проекту параметрам. Таким чином, виникає необхідність у досить простій і швидко проводимій попередній оцінці машин уже на передпроектній стадії. Методика. В якості основної моделі для визначення теоретичної продуктивності руйнування гірського масиву була використана методика Колорадського гірничого університету, яка заснована на численних лабораторних випробуваннях і пройшла широку апробацію на практиці. Для вітчизняних фахівців, що звикли до використання у своїй діяльності міцнісних показників гірських порід, що відрізняються від повсюдно (у тому числі в Росії) прийнятих величин σст і σр представлені залежності, що дозволяють проводити перерахунок значень одних показників до значень інших показників. Результати. Обчислення ефективності використання прохідницьких комбайнів для кожної геологічної ділянки з однорідними породами може зайняти невиправдано багато часу. У зв’язку з чим виникає необхідність у простому, інтегральному для всієї виробки або гірничого підприємства, показника міцності, який може бути інтерпретований через загальноприйняті величини – межу міцності на стиск σст і межу міцності на розтяг σр. Також важливим параметром у техніко-економічному обґрунтуванні ефективності прохідницьких комбайнів є тріщинуватість гірських порід. Наукова новизна. В якості найпростішого інтегрального показника міцності порід по всій виробці використовувався показник еквівалентної міцності гірських порід. Цей параметр визначається на основі показника інтегральної оцінки складності гірничопрохідницьких робіт, заснованої на підсумовуванні межі міцності на стиск σст і тріщинуватості гірських порід по всій виробці або навіть гірничому підприємству. Практична значимість. Отримані результати можуть слугувати в якості попереднього науково обґрунтованого способу відбору техніки для конкретного проекту в гірничодобувній галузі або підземному будівництві за критерієм продуктивності. Її основною перевагою є простота і зрозумілість. Однак варто зазначити, що розглянуту методику не слід застосовувати на етапі остаточного техніко-економічного обґрунтування проекту, тим більше у відриві від інших виробничих факторів (сумісність з іншим обладнанням, наявність персоналу з необхідною для експлуатації та обслуговування обраної машини кваліфікацією і т.д.).Цель. Выбор конкретного проходческого комбайна является критически важным шагом в планировании работ по проекту или какому-либо из его этапов. При этом номенклатура машин, выпускаемых различными производителями в настоящее время, необычайно велика, что делает нецелесообразным тщательный анализ каждой модели комбайна с точки зрения его адекватности требуемым для успешной реализации проекта параметрам. Таким образом, возникает необходимость в достаточно простой и быстро проводимой предварительной оценке машин уже на предпроектной стадии. Методика. В качестве основной модели для определения теоретической производительности разрушения горного массива была использована методика Колорадского горного университета, которая основана на многочисленных лабораторных испытаниях и прошла широкую апробацию на практике. Для отечественных специалистов, привыкших к использованию в своей деятельности прочностных показателей горных пород, отличающихся от повсеместно (в том числе в России) принятых величин σсж и σр представлены зависимости, позволяющие производить перерасчет значений одних показателей к значениям других показателей. Результаты. Вычисление эффективности использования проходческих комбайнов для каждого геологического участка с однородными породами может занять неоправданно много времени. В связи с чем возникает необходимость в простом, интегральном для всей выработки или горного предприятия, прочностном показателе, который может быть интерпретирован через общепринятые величины – предел прочности на сжатие σсж и предел прочности на растяжение σр. Также важным параметром в технико-экономическом обосновании эффективности проходческих комбайнов является трещиноватость горных пород. Научная новизна. В качестве простейшего интегрального показателя прочности пород по всей выработке использовался показатель эквивалентной прочности горных пород. Этот параметр определяется на основе показателя интегральной оценки сложности горнопроходческих работ, основанной на суммировании предела прочности на сжатие σсж и трещиноватости горных пород по всей выработке или даже горному предприятию. Практическая значимость. Полученные результаты могут служить в качестве предварительного научно обоснованного способа отбора техники для конкретного проекта в горнодобывающей отрасли или подземном строительстве по критерию производительности. Ее основным достоинством является простота и понятность. Однако стоит отметить, что рассмотренную методику не следует применять на этапе окончательного технико-экономического обоснования проекта, тем более в отрыве от других производственных факторов (совместимость с прочим оборудованием, наличие персонала с необходимой для эксплуатации и обслуживания выбираемой машины квалификацией и т.д.).We wish to confirm that there has been no significant financial support for this work that could have influenced its outcome

Genus expansion of matrix models and ℏ\hbar expansion of BBKP hierarchy

We continue the investigation of the connection between the genus expansion of matrix models and the $\hbar$ expansion of integrable hierarchies started in arXiv:2008.06416. In this paper, we focus on the $B$KP hierarchy, which corresponds to the infinite-dimensional Lie algebra of type $B$. We consider the genus expansion of such important solutions as Br\'{e}zin-Gross-Witten (BGW) model, Kontsevich model, and generating functions for spin Hurwitz numbers with completed cycles. We show that these partition functions with inserted parameter $\hbar$, which controls the genus expansion, are solutions of the $\hbar$-$B$KP hierarchy with good quasi-classical behavior. $\hbar$-$B$KP language implies the algorithmic prescription for $\hbar$-deformation of the mentioned models in terms of hypergeometric $B$KP $\tau$-functions and gives insight into the similarities and differences between the models. Firstly, the insertion of $\hbar$ into the Kontsevich model is similar to the one in the BGW model, though the Kontsevich model seems to be a very specific example of hypergeometric $\tau$-function. Secondly, generating functions for spin Hurwitz numbers appear to possess a different prescription for genus expansion. This property of spin Hurwitz numbers is not the unique feature of $B$KP: already in the KP hierarchy, one can observe that generating functions for ordinary Hurwitz numbers with completed cycles are deformed differently from the standard matrix model examples.Comment: 36 page

Scale factors for conversion of forces on disc cutters for the main domestic and foreign methods

Purpose. Disc cutter is an important tool which is used in tunneling to destroy the rock during excavation as it directly influences rock-breaking efficiency, advance rate and economy of a project. Thus, it is of critical importance to have a reliable and accurate method for making predictions on cutting forces during rock destruction by disc cutters. Russian (including Soviet) research in the field is limited by studying small-diameter and/or wedge-shaped disc cutters which are not currently used. This paper is meant to coordinate domestic research by Baron and Glatman with the most widely used and fully accepted foreign theoretical and semi-empirical methods (by Roxborough and Phillips, Bilgin and Phillips, and Rostami and Ozdemir) that have proven accurate and reliable for TBM (tunnel boring machine) performance prediction. Methods. The analysis of methods includes a brief review, a series of numerical experiments, which were performed for disc cutters with diameters 160 and 483 mm, and a comparison with the use of graphs. Then by approximation of the data obtained in this way, we have derived formulas for converting values of cutting forces gained by foreign methods into the values suitable for the same conditions and the domestic method. Findings. The method by Baron and Glatman itself could not be used for TBM performance prediction and tunneling planning nowadays. The approach based on the scale factors could be used for correlating any of the represented methods. Scale factors depend on the depth of cut (DOC) for rolling forces or on DOC and disc cutter diameter for normal forces. Originality. The analysis has also shown that mutual arrangement of the graph lines for all figures remains unchanged. The invariance of the relative positioning and trends of the graph lines allowed to assume that it is possible to introduce scale factors which help to convert values from one method into the values of other methods. The scale factor, which enables to relate domestic method and the main foreign methods, is determined by consecutive division of the calculated values obtained via the method of Baron and Glatman by the values used in other considered methods. Practical implications. The results could be used in TBM designing and in tunneling projects.Мета. Дискова шарошка – основний інструмент, що застосовується для оснащення тунелепрохідницьких комплексів. Від правильності вибору інструменту залежить ефективність руйнування гірських порід, а отже, швидкість ведення гірничопрохідницьких робіт і техніко-економічні показники проекту. Таким чином, надзвичайно важливо мати надійні та точні розрахункові методи прогнозування зусиль, що виникають при руйнуванні гірських порід дисковими шарошками. Однак дослідження на пострадянському просторі у даній галузі знань обмежуються вивченням клиновидних шарошок невеликого діаметру, які в даний час практично не застосовуються. Представлена робота виконана з метою аналізу умови відповідності найвідомішого вітчизняного методу Барона-Глатмана та основних зарубіжних розрахункових методів, розроблених такими вченими як Роксборо і Філліпс, Більгін і Філліпс, Ростамі і Оздемір. Методика. Аналіз міститься в короткому огляді методів, серії чисельних експериментів, які були виконані для шарошок діаметром 160 і 483 мм (малого та великого діаметру), і порівняння результатів із використанням графіків. Шляхом апроксимації отриманих у результаті численних експериментів даних були визначені вирази (масштабні коефіцієнти) для перерахунку значень, отриманих із використанням зарубіжних методів, до значень за методом Барона-Глатмана для тих же умов. Результати. В існуючому вигляді метод Барона-Глатмана не може бути використаний для проектування тунелепрохідницької техніки або прогнозування ефективності її застосування. Підхід на основі масштабних коеф-коефіцієнтів може бути використаний для співвіднесення будь-яких з розглянутих методів між собою. Масштабні коефіцієнти залежать тільки від глибини різання для зусиль перекочування, глибини різання й діаметра шарошки для нормальних зусиль. Наукова новизна. Аналіз також показав, що взаємне розташування ліній графіка для всіх фігур залишається незмінним. Інваріантність відносного позиціонування і ліній трендів графіків дозволяє зробити припущення про можливість введення масштабних коефіцієнтів, які дозволяють приводити значення від одного методу до значень інших методів. Визначення масштабного коефіцієнта, що дозволяє зв’язати вітчизняний метод з основними іноземними методами, здійснюється шляхом послідовного розподілу розрахункових значень, отриманих за методом Барона і Глатмана на значення для інших розглянутих методів. Практична значимість. Отримані результати можуть бути використані при проектуванні тунелепрохідницьких комплексів та організації тунелепрохідницьких робіт.Цель. Дисковая шарошка – основной инструмент, применяемый для оснащения тоннелепроходческих комплексов. От правильности выбора инструмента зависит эффективность разрушения горных пород, а, следовательно, скорость ведения горнопроходческих работ и технико-экономические показатели проекта. Таким образом, чрезвычайно важно иметь надежные и точные расчетные методы прогнозирования усилий, возникающих при разрушении горных пород дисковыми шарошками. Однако исследования на постсоветском пространстве в данной области знаний ограничиваются изучением клиновидных шарошек относительно небольшого диаметра, которые в настоящее время практически не применяются. Представленная работа выполнена с целью анализа соответствия самого известного отечественного метода Барона-Глатмана и основных зарубежных расчетных методов, разработанных такими учеными как Роксборо и Филлипс, Бильгин и Филлипс, Ростами и Оздемир. Методика. Анализ состоит в кратком обзоре методов, серии численных экспериментов, которые были выполнены для шарошек диаметром 160 и 483 мм (малого и большого диаметра), и сравнении результатов с использованием графиков. Путем аппроксимации полученных в результате численных экспериментов данных были определены выражения (масштабные коэффициенты) для пересчета значений, полученных с использованием зарубежных методов, к значениям по методу Барона-Глатмана для тех же условий. Результаты. В существующем виде метод Барона-Глатмана не может быть использован для проектирования тоннеллепроходческой техники или прогнозирования эффективности ее применения. Подход на основе масштабных коэффициентов может быть использован для соотнесения любых из рассмотренных методов между собой. Масштабные коэффициенты зависят только от глубины резания для усилий перекатывания, глубины резания и диаметра шарошки для нормальных усилий. Научная новизна. Анализ также показал, что взаимное расположение линий графика для всех фигур остается неизменным. Инвариантность относительного позиционирования и трендов линий графиков позволяет сделать предположение о возможности введения масштабных коэффициентов, которые позволяют приводить значения от одного метода к значениям других методов. Определение масштабного коэффициента, позволяющего связать отечественный метод с основными иностранными методами, осуществляется путем последовательного деления расчетных значений, полученных по методу Барона и Глатмана на значения для других рассмотренных методов. Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании тоннелепроходческих комплексов и организации тоннелепроходческих работ.The authors express their deepest gratitude to the management and personnel of LLC “SOEZ” (Tula, Russia) for assistance and consultations during the research