Remarks on the Cauchy functional equation and variations of it

This paper examines various aspects related to the Cauchy functional equation $f(x+y)=f(x)+f(y)$, a fundamental equation in the theory of functional equations. In particular, it considers its solvability and its stability relative to subsets of multi-dimensional Euclidean spaces and tori. Several new types of regularity conditions are introduced, such as a one in which a complex exponent of the unknown function is locally measurable. An initial value approach to analyzing this equation is considered too and it yields a few by-products, such as the existence of a non-constant real function having an uncountable set of periods which are linearly independent over the rationals. The analysis is extended to related equations such as the Jensen equation, the multiplicative Cauchy equation, and the Pexider equation. The paper also includes a rather comprehensive survey of the history of the Cauchy equation.Comment: To appear in Aequationes Mathematicae (important remark: the acknowledgments section in the official paper exists, but it appears before the appendix and not before the references as in the arXiv version); correction of a minor inaccuracy in Lemma 3.2 and the initial value proof of Theorem 2.1; a few small improvements in various sections; added thank

Analiza termomechaniczna TMA

Praca omawia podstawy teoretyczne i zasady prowadzenia pomiarów termomechanicznych. Przedstawiono wyniki badań termomechanicznych wybranych metali nieżelaznych i ich stopów. Dokonano określenia zmian objętości próbek i wyznaczenia współczynnika liniowej rozszerzalności cieplnej w funkcji temperatury. Analizowano przebieg przemian fazowych i ich skutki

Nieizotermiczne wyżarzanie stopu aluminium AA7075 - efekty strukturalne i mechaniczne

Calorimetric and dilatometric tests were performed on AA7075 aluminum alloy annealed at constant heating rate of 15 degree Celsjus/min in temperature range 20-470 degree Celsjus and discussed in relation to the hardness test and structure observation results. The samples were machined from furnace cooled material (FC), furnace cooled and deformed (FCD) material, solution treated (ST) material and solution treated and deformed (STD) material. It was found that the nucleation and growth of transition η and stable η (MgZn2) phases caused remarkable reduction of thermal expansion coefficient αt , whereas both the dissolution of phase and formation of GP zones were accompanied by an increase of αt value. While η phase started to dissolve at 250 degree Celsjus, a widespread endothermic effect was observed on DSC curves. Dissolution of η particles at high annealing temperatures was accompanied by the solid solution hardening of the alloy. Mentioned hardening process was overlapped by expected material softening that was ascribed to recovery and recrystallization processes. Because of superposition the solution hardening and recrystallization softening, recrystallization temperature could not be precisely defined on the basis of simple hardness measurements.W pracy przedstawiono wyniki badań kalorymetrycznych, dylatometrycznych i pomiarów twardości stopu aluminium AA7075 poddanego nieizotermicznemu wyżarzaniu (nagrzewaniu ze stała prędkością) w zakresie temperatur 20-470 stopni Celsjusza. Badania objęły cztery stany metalurgiczne materiału: wolno studzony z piecem (FC), wolno studzony z piecem i odkształcony (FCD), przesycony (ST) oraz przesycony i odkształcony (STD). Stwierdzono, ze wydzielanie fazy pośredniej η' i równowagowej η(MgZn2) powoduje wyraźne obniżenie współczynnika rozszerzalności cieplnej αt , natomiast zarówno rozpuszczanie fazy η, jak i formowanie stref GP prowadzi do jego wzrostu. Rozpuszczanie fazy η rozpoczyna sie w temperaturze 250 stopni Celsjusza i towarzyszy mu rozległy efekt endotermiczny, a w zaawansowanym stadium rozpuszczania η także wzrost twardości przesycanych próbek, będący rezultatem umocnienia roztworowego stopu. Umocnienie roztworowe zakłóca tym samym efekt oczekiwanego mięknięcia materiału wskutek rekrystalizacji, co w konsekwencji utrudnia dokładna ocenę temperaturowego zakresu rekrystalizacji w oparciu o pomiary twardości