Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: una propuesta didáctica para 2º de ESO

En el presente trabajo presentado se recoge una propuesta didáctica de los Sistemas deEcuaciones Lineales con 2 incógnitas, para segundo curso de Educación Secundaria Obligatoria. En esta memoria aparecen varias secciones, con el objetivo de dotar de total sentido a la propuesta didáctica del objeto que estamos tratando. Se recoge la definición de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con 2 incógnitas (tanto científica como escolar) y se observan y estudian los campos de problemas, técnicas y tecnologías asociados al objeto. También se hace una contextualización del objeto, estudiando cómo se presenta de forma escolar así como la preparación del alumnado para abordar el estudio del mismo. Se proponen una serie de problemas asociados al objeto para su mayor comprensión, algunos que serán la razón de ser de conceptos esenciales del objeto y otros más específicos, asociados a consolidar el conocimiento del mismo. Finalmente se recoge una secuenciación didáctica en la que se organizan y se ponen en práctica todos los conceptos del objeto estudiados.<br /

Órbitas de sistemas cuasi-keplerianos

En esta Memoria se van a estudiar una familia de sistemas cuasi-keplerianos, es decir, sistemas keplerianos perturbados en los que la perturbación puede describirse por medio de una fuerza central conservativa (más concretamenete, por medio de potencias naturales del recíproco de la distancia). Este problema, originalmente de orden diferencial 6, admite una integral primera vectorial de orden 3, la integral del momento angular, que permite demostrar que el movimiento transcurre en un plano, y reducir la complejidad diferencial del problema a orden 3. Al tratar este problema en coordenadas polares planas obtenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales desacopladas, una de orden uno y una de orden dos, que trataremos mediante una transformación de Binet, que combina un cambio de variable dependiente y otro de variable independiente, resultando una ecuación diferencial de segundo orden llamada ecuación de Binet, y representará a un oscilador unidimensional débilmente no lineal. Un oscilador débilmente no lineal, o cuasi-lienal, se puede describir mediante la ecuación de un oscilador armónico simple al que se añaden términos no lineales de pequeña magnitud llamados perturbaciones. Trataremos este tipo de problema mediante un método de promedios, el método de Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky, en adelante KBM, que busca una solución desarrollada en serie de potencias de un pequeño parámetro, y donde la parte de orden cero de la solución coincide con la solución del oscilador armónico simple. Resolviendo la ecuación del oscilador armónico simple e invirtiendo la transformación de Binet en la variable dependiente, la órbita del problema de Kepler toma la forma de la ecuación polar de una cónica en coordenadas polares planas. Podemos caracterazar el movimiento kepleriano elíptico por un conjunto de seis constantes o elementos orbitales que describen la geometría y la dinámica de la órbita: el semieje mayor y la excentricidad caracterizan el tamaño y la forma de la cónica solución del problema. El ángulo del nodo y la inclinación representan la posición del plano orbital con respecto a un sistema de referencia inercial. El argumento del periastro indica la orientación del eje de la cónica en el plano de la órbita. Finalmente, la época de paso por el periastro caracteriza cinemática y la dinámica del problema. En los sistemas cuasi-keplerianos se conserva el tamaño, la forma y el plano de movimiento de la órbita, pero no el argumento del periastro, que experimenta variaciones seculares, fenómeno denominado precesión del periastro. Tras aplicar el método KBM a la ecuación de Binet del problema cuasi-kepleriano e invertir el cambio de variable dependiente, la órbita aproximada del movimiento cuasi-kepleriano adopta la forma de la ecuación de una cónica en coordenadas polares planas más pequeños términos relacionados con la perturbación, donde la parte que no depende de las perturbaciones coincide con la órbita del problema de Kepler. Interesa, a continuación, calcular la precesión del periastro, que se particularizará al caso del avance del perihelio de un planeta debido a la influencia de efectos relativistas. Se comprueba que, en términos de primer orden, el modelo post-newtoniano no relativista de Manev proporciona los mismos resultados que el modelo relativista propuesto por Einstein. Por último, podremos describir una aproximación a la trayectoria cuasi-kepleriana, al menos formalmente, ya que la solución aproximada de la órbita nos permite dar una relación entres la variables angulares de la órbita y el tiempo