Quants cops cal escartejar? : Un problema de probabilitats i teoria de grups

El problema de què ens ocuparem és molt curt d'enunciar: tenim un joc de cartes, quants cops cal escartejar-les de manera que quedin ben remenades? La resolució, però, serà llarga i tindrà molts ingredients: caldrà definir què vol dir que les cartes quedin ben remenades, buscar models de les diferents maneres d'escartejar i, un cop ben traduït tot al llenguatge matemàtic, cercar la manera d'atacar el problema. La resolució, que s'ha obtingut en els darrers deu anys, es pot dur a terme utilitzant tècniques molt diverses: a més del càlcul de probabilitats, es poden utilitzar diferents eines algebraiques o d'anàlisi funcional. He escollit presentar la via original d'atac del genial matemàtic americà Persi Diaconis, que utilitza la teoría de representació de grups, ja que m'ha semblat que és la que millor s'adapta a ser explicada -a grans trets, això sí- en una hora, i que a més utilitza resultats coneguts a partir del segon curs de la carrera de matemàtiques

Approximating Mills ratio

Consider the Mills ratio f(x) =1 − Φ(x)/φ(x), x ≥ 0, where φ is the density function of the standard Gaussian law and Φ its cumulative distribution. We introduce a general procedure to approximate f on the whole [0, ∞) which allows to prove interesting properties where f is involved. As applications we present a new proof that 1/f is strictly convex, and we give new sharp bounds of f involving rational functions, functions with square roots or exponential terms. Also Chernoff type bounds for the Gaussian Q-function are studied

Mandelbrot i l'atzar

En aquest article analitzem la contribució de Benoît Mandelbrot, considerat el pare de la geometria fractal, a diferents aplicacions de les matemàtiques en àmbits on intervé l'atzar, com ara la lingüística, la hidrologia, les finances o l'enginyeria del teletrànsit. En fer-ho, introduïm alguns conceptes i relacions bàsics del seu treball, desenvolupat al llarg de més de mig segle, que han passat a formar part del cos del coneixement científic general. Incidim principalment en la llei de potència, l'autosimilitud, la memòria llarga i les cues pesades. També presentem amb cert detall el moviment brownià fraccionari, que Mandelbrot va donar a conèixer a la comunitat científica en un famós article de 1968. El moviment brownià fraccionari és el procés estocàstic més simple que gaudeix de les propietats d'autosimilitud i de memòria llarga, cosa que el fa idoni com a model en moltes situacions

Maxima of Gamma random variables and other Weibull like distributions and the Lambert W function

Agraïments: The second author by the European Space Agency (ESA) through the DINGPOS contract AO/1-5328/06/NL/GLC, and by the Spanish Government and Generalitat de Catalunya through grants TEC2011-28219In some applied problems of signal processing, the maximum of a sample of _2(m) random variables is computed and compared with a threshold to assess certain properties. It is well known that this maximum, conveniently normalized, converges in law to a Gumbel random variable; however, numerical and simulation studies show that the norming constants that are usually suggested are inaccurate for moderate or even large sample sizes. In this paper, we propose, for Gamma laws (in particular, for a _2(m) law) and other Weibull-like distributions, other norming constants computed with the asymptotics of the Lambert W function that significantly improve the accuracy of the approximation to the Gumbel law

A new look at the Heston characteristic function

A new expression for the characteristic function of log-spot in Heston model is presented. This expression more clearly exhibits its properties as an analytic characteristic function and allows us to compute the exact domain of the moment generating function. This result is then applied to the volatility smile at extreme strikes and to the control of the moments of spot. We also give a factorization of the moment generating function as product of Bessel type factors, and an approximating sequence to the law of log-spot is deduced

Quants cops cal escartejar? : Un problema de probabilitats i teoria de grups

El problema de què ens ocuparem és molt curt d'enunciar: tenim un joc de cartes, quants cops cal escartejar-les de manera que quedin ben remenades? La resolució, però, serà llarga i tindrà molts ingredients: caldrà definir què vol dir que les cartes quedin ben remenades, buscar models de les diferents maneres d'escartejar i, un cop ben traduït tot al llenguatge matemàtic, cercar la manera d'atacar el problema. La resolució, que s'ha obtingut en els darrers deu anys, es pot dur a terme utilitzant tècniques molt diverses: a més del càlcul de probabilitats, es poden utilitzar diferents eines algebraiques o d'anàlisi funcional. He escollit presentar la via original d'atac del genial matemàtic americà Persi Diaconis, que utilitza la teoría de representació de grups, ja que m'ha semblat que és la que millor s'adapta a ser explicada -a grans trets, això sí- en una hora, i que a més utilitza resultats coneguts a partir del segon curs de la carrera de matemàtiques

Matemàtiques i finances

Abans de parlar de finances repassarem la noció de joc just. Per a començar, cal dir que tots els jocs del casino (excepte el BlackJack si s'hi sap jugar bé) són -lleugerament- favorables al casino: en un sol dia passen molts jugadors; alguns guanyen, altres perden, però el casino aprofita el seu petit avantatge per a anar guanyant diners, de forma lenta però segura (en cas contrari, qui voldria instal·lar un casino?)