Prym varieties and the canonical map of surfaces of general type

Let X be a smooth complex surface of general type such that the image of the canonical map $\phi$ of X is a surface $\Sigma$ and that $\phi$ has degree $\delta\geq 2$. Let $\epsilon\colon S\to \Sigma$ be a desingularization of $\Sigma$ and assume that the geometric genus of S is not zero. Beauville has proved that in this case S is of general type and $\epsilon$ is the canonical map of S. Beauville has also constructed the only infinite series of examples $\phi:X\to \Sigma$ with the above properties that was known up to now. Starting from his construction, we define a {\em good generating pair}, namely a pair $(h:V\to W, L)$ where h is a finite morphism of surfaces and L is a nef and big line bundle of W satisfying certain assumptions. We show that by applying a construction analogous to Beauville's to a good generating pair one obtains an infinite series of surfaces of general type whose canonical map is 2-to-1 onto a canonically embedded surface. In this way we are able to construct more infinite series of such surfaces. In addition, we show that good generating pairs have bounded invariants and that there exist essentially only 2 examples with $\dim |L|>1$. The key fact that we exploit for obtaining these results is that the Albanese variety P of V is a Prym variety and that the fibre of the Prym map over P has positive dimension.Comment: 40 pages, LaTeX 2.0

Localization of Atiyah classes

We construct the Atiyah classes of holomorphic vector bundles using (1,0)-connections and developing a Chern–Weil type theory, allowing us to effectively compare Chern and Atiyah forms. Combining this point of view with the Čech–Dolbeault cohomology, we prove several results about vanishing and localization of Atiyah classes, and give some applications. In particular, we prove a Bott type vanishing theorem for (not necessarily involutive) holomorphic distributions. As an example we also present an explicit computation of the residue of a singular distribution on the normal bundle of an invariant submanifold that arises from the Camacho–Sad type localization

Frazioni, ingranaggi e orologi lunari

L'articolo riporta proposte di laboratorio didattico rivolte a insegnanti della scuola secondaria di primo grado, descrivendo brevemente alcuni brevi percorsi didattici basati sulla manipolazione e sulla costruzione di ingranaggi. L'obiettivo principale della attività didattica presentata è quello di consolidare la nozione di frazione, sperimentare e illustrare alcune proprietà delle operazioni tra frazioni, motivare e operare l'approssimazione di frazioni o decimali tramite frazioni a denominatore controllato. Attraverso lo studio di alcuni semplici meccanismi costituiti da treni di ruote dentate il laboratorio permette la visualizzazione e la sperimentazione delle proprietà della moltiplicazione tra frazioni

A general approach to index theorems for holomorphic maps and foliations

Let M be a smooth complex manifold, and S(subset of M) be a compact irreducible subvariety with dim(C) S > 0. Let be given either a holomorphic map f : M -> M with f(|S) = id(S), f not equal id(M), or a holomorphic foliation F on M: we describe an approach that can be applied to both map and foliation in order to obtain index theorems

Formal normal forms for holomorphic maps tangent to the identity

We describe a procedure for constructing formal normal forms of holomorphic maps with a hypersurface of fixed points, and we apply it to obtain a complete list of formal normal forms for 2-dimensional holomorphic maps tangential to a curve of fixed points

Dalla costruzione di un videogioco agli algoritmi decisionali di scelta

L’articolo descrive l’attività svolta in una classe seconda di liceo scientifico durante le ore di didattica a distanza (DAD): nata come progetto conclusivo del percorso di informatica svolto durante il biennio, l’attività ha favorito la riflessione su numerosi argomenti di matematica e sulle strategie del pensiero. Seguendo, in particolare, le indicazioni di Bright et al. (1985), la proposta didattica si basa su un gioco, che svolge il ruolo di strumento didattico per coinvolgere attivamente e appassionare i ragazzi. Il gioco utilizzato, Mastermind, si presta a essere progettato e programmato in linguaggi informatici; esso consente di introdurre elementi di insiemistica, logica e combinatoria e ne favorisce la sperimentazione. La ricerca delle strategie vincenti permette di parlare di algoritmi di scelta decisionali. Il gioco coinvolge due giocatori: uno dei due giocatori sceglie un codice formato da una sequenza di quattro colori scelti da un insieme di sei. Il secondo giocatore ha l’obiettivo di indovinare il codice in un numero limitato di mosse; per ciascun tentativo riceve una risposta che lo aiuta. L’attività didattica è stata finalizzata alla progettazione e all’implementazione in Python di un videogioco basato sulle regole di Mastermind. Sono state considerate due versioni del videogioco: la prima è quella in cui il codice segreto è scelto dal pc, mentre la seconda prevede che sia il pc ad indovinare il codice segreto scelto dal giocatore. Questa ultima versione è molto più interessante dal punto di vista algoritmico e didattico; inoltre, a differenza della prima, non è così diffusa sulla rete. Tale versione viene indicata con il nome reverse, perché in essa i ruoli sono invertiti. Il laboratorio proposto prevede una prima fase di gioco online, che favorisce la riflessione sulle strategie di gioco: si evidenziano le competenze di matematica necessarie, si esplicita una descrizione delle strategie di risposta utilizzate inizialmente in modo intuitivo e si analizzano le procedure che determinano la scelta dei tentativi. Questa fase è fondamentale per la comprensione dell’algoritmo risolutivo della versione reverse. Viene infine presentato, discusso e implementato l’algoritmo di scelta minimax proposto una decina di anni or sono da Knuth. In classe, gli studenti hanno prima progettato il videogioco in cui il codice è scelto dal pc; la codifica in Python ha fornito spunti per introdurre molti elementi di informatica e rafforzare concetti di matematica. Poi, in un secondo momento è stata implementata la versione reverse. La possibilità di lavorare ciascuno dal proprio pc ha favorito la riuscita del progetto in regime DAD, più che se si fosse svolto in presenza; seppur da remoto, non è mancata l’interazione tra studenti e la produzione del progetto è stata organizzata in gruppi di lavoro

Poincaré-Bendixson theorems for meromorphic connections and holomorphic homogeneous vector fields

We first study the dynamics of the geodesic flow of a meromorphic connection on a Riemann surface, and prove a Poincare-Bendixson theorem describing recurrence properties and omega-limit sets of geodesics for a meromorphic connection on P(1) (C). We then show how to associate to a homogeneous vector field Q in C(n) a rank 1 singular holomorphic foliation F of P(n-1) (C) and a (partial) meromorphic connection del(0) along F so that integral curves of Q are described by the geodesic flow of del(0) along the leaves of F, which are Riemann surfaces. The combination of these results yields powerful tools for a detailed study of the dynamics of homogeneous vector fields. For instance, in dimension two we obtain a description of recurrence properties of integral curves of Q, and of the behavior of the geodesic flow in a neighborhood of a singularity, classifying the possible singularities both from a formal point of view and (for generic singularities) from a holomorphic point of view. We also get examples of unexpected new phenomena, we put in a coherent context scattered results previously known, and we obtain (as far as we know for the first time) a complete description of the dynamics in a full neighborhood of the origin for a substantial class of holomorphic maps tangent to the identity. Finally, as an example of application of our methods we study in detail the dynamics of quadratic homogeneous vector fields in C(2)

Hexapawn: impariamo ad imparare (un esempio di Machine Learning)

Il gioco Hexapawn, inventato nel 1962 da Martin Gardner e pubblicato sulla rubrica Mathematical Games della rivista Scientific American, permette di sperimentare, discutere e realizzare una procedura attraverso la quale un automa migliora il proprio modo di giocare in base all’esito delle partite disputate. Si illustra una attività didattica correlat