A low complexity algorithm for non-monotonically evolving fronts

A new algorithm is proposed to describe the propagation of fronts advected in the normal direction with prescribed speed function F. The assumptions on F are that it does not depend on the front itself, but can depend on space and time. Moreover, it can vanish and change sign. To solve this problem the Level-Set Method [Osher, Sethian; 1988] is widely used, and the Generalized Fast Marching Method [Carlini et al.; 2008] has recently been introduced. The novelty of our method is that its overall computational complexity is predicted to be comparable to that of the Fast Marching Method [Sethian; 1996], [Vladimirsky; 2006] in most instances. This latter algorithm is O(N^n log N^n) if the computational domain comprises N^n points. Our strategy is to use it in regions where the speed is bounded away from zero -- and switch to a different formalism when F is approximately 0. To this end, a collection of so-called sideways partial differential equations is introduced. Their solutions locally describe the evolving front and depend on both space and time. The well-posedness of those equations, as well as their geometric properties are addressed. We then propose a convergent and stable discretization of those PDEs. Those alternative representations are used to augment the standard Fast Marching Method. The resulting algorithm is presented together with a thorough discussion of its features. The accuracy of the scheme is tested when F depends on both space and time. Each example yields an O(1/N) global truncation error. We conclude with a discussion of the advantages and limitations of our method.Comment: 30 pages, 12 figures, 1 tabl

The Einstein constraint equations on compact 3-dimensional manifolds

The relevance of the Einstein constraint equations in physics is first presented. They arise in the initial-value formulation of general relativity, and must be satisfied by the metric and the extrinsic curvature of a Cauchy surface. Propagating the resulting tensor fields with the evolution equations is then equivalent to solving Einstein's field equation. The constraint equations consist of a system of two coupled nonlinear second-order PDEs. Well-posedness of the system is addressed, following the work of Y. Choquet-Bruhat. Some brief comments about global solutions are made.The conformal method is introduced. Using this approach, along with York splitting, the constraint equations now consist of a semilinear elliptic equation and a linear elliptic system that have to be solved for the conformal factor and a vector field.The main part of the thesis addresses the questions of existence and uniqueness of solutions to the Einstein constraint equations on three-dimensional compact Cauchy surfaces without boundary. The Yamabe classification turns out to be a key tool, and is presented. Then follows a thorough literature review of the results in the cases where the mean curvature, which is part of the prescribed data, is constant or near-constant. Recent articles on the case where the mean curvature is far-from-constant are discussed qualitatively. We then turn to a specific toy-model investigated by D.Maxwell where a family of three-parameters is used to consider different regimes on a Yamabe-null manifold. A similar approach is then used to explicitly work out some existence and uniqueness results on a Yamabe-positive manifold.Tout d'abord, le rôle des équations de contraintes d'Einstein en physique est présenté. Ces équations font partie de la formulation du problème de Cauchy de la relativité générale, et doivent être satisfaites par la métrique, ainsi que par la courbure extrinsèque moyenne d'une surface de Cauchy. Déterminer la propagation de ces champs tensoriels par les équations d'évolution équivaut à la résolution de l'équation de champ d'Einstein. Les équations de contraintes d'Einstein consistent en un système de deux EDP couplées non-linéaires de deuxième ordre. Le travail d'Y. Choquet-Bruhat démontrant que le problème est bien posé, est résumé. S'ensuivent quelques brefs commentaires concernants les solutions globales. La méthode conforme est exposée. L'utilisation de cette technique combinée à la décomposition de York tranforme les équations de contrainte en une équation semi-linéaire elliptique et un système linéaire elliptique, ayant pour inconnues le facteur conforme et un champ vectoriel.L'essentiel de la présente thèse se concentre sur les questions d'existence et d'unicité des solutions des équations de contraintes d'Einstein sur les variétés compactes tridimensionelles sans frontière. À cet effet, la classification de Yamabe est un outil important. Une revue de la littérature est alors détaillée dans les cas où la courbure moyenne, qui est une donnée prescrite, est constante, ou 'proche-de-constante'. Puis vient une présentation qualitative d'articles récents traitant du cas où la courbure moyenne est 'loin-de-constante'. On s'attarde ensuite sur un cas spécifique étudié par D.Maxwell, dans lequel une famille de trois paramètres est utilisée pour passer d'un régime à l'autre sur une variété Yamabe-nulle. Une approche similaire est ensuite utilisée pour obtenir des résultats d'existence et d'unicité explicites sur une variété Yamabe-positive

Fast marching algorithms for non-monotonically evolving fronts

The focus of this thesis is on the design of an algorithm that captures the non-monotone propagation of fronts, when advection occurs in the direction of the outward normal to the front with speed F. The scheme is required to be efficient, in the sense that its computational complexity compares with the complexity of the Fast Marching Method of Sethian. It must also capture topological changes as well as singularities of the front. The evolution is non-monotone when the speed along the front changes sign. In the first part of the thesis, it is assumed that F does not depend on the front: It is a prescribed function of space and time. Two algorithms solving this problem are presented. Both consider the set M := { (x,t) : x belongs to the front at time t } traced out by the front as it evolves. The first approach builds M using the Fast Marching Method in regions where the speed is bounded away from zero. When F is close to 0, a collection of so-called sideways partial differential equations is used.Their solutions locally describe the evolving front and depend on both space and time. The well-posedness and geometric properties of those equations are addressed. A stable and convergent finite-differences discretisation is then proposed. When tested with a variety of examples, the scheme is found to be first-order accurate. The complexity is estimated to compare with that of the Fast Marching Method. In the second approach, it is argued that a small enough neighbourhood of M is the image of a function psi (going from Rn to R) where psi solves a Dirichlet problem.A fast marching algorithm is presented where each point is computed using a finite-differences discretisation of such a problem. The location of the points is determined by an optimisation problem. The output is a directed graph whose vertices sample M. The monotonicity, stability and convergence of the scheme are addressed. Bounds on the computational complexity are established, and verified to be on par with the Fast Marching Method on monotone as well as non-monotone examples. Examples are presented where the algorithm is shown to be globally first-order accurate. In the final part of the thesis, the speed F equals the mean curvature of the front: The resulting motion is commonly known as Mean Curvature Flow. Extensions of the second scheme to model this problem are discussed.Cette thèse porte sur le développement d'un algorithme modélisant la propagation non-monotone de fronts, lorsque l'advection a lieu dans la direction de la normale au front à une vitesse F.L'algorithme se doit d'être rapide dans le sens où la complexité numérique doit être comparable à celle de la méthode dite de "Fast Marching" (MFM) de Sethian. Il doit également fidèlement reproduire les changements de topologie ainsi que les singularités du front. L'évolution est non-monotone à partir du moment où la vitesse le long du front change de signe. Dans un premier temps, la vitesse F est présumée indépendante du front : il s'agit d'une fonction donnée de l'espace et du temps. Deux algorithmes traitant du problème décrit ci-dessus sont présentés. Chacun d'eux bâtit un échantillonnage de l'ensemble M := { (x,t) : x appartient au front au temps t }. La première approche construit l'ensemble M à l'aide de la MFM dans les voisinages où la vitesse est bornée loin de zéro. Quand F est approximativement égale à 0, un ensemble d'équations aux dérivées partielles dites sideways est utilisé. Leurs solutions décrivent localement l'évolution du front, et dépendent à la fois de l'espace et du temps. Les propriétés géométriques de ces équations sont soulignées. Il est également démontré qu'elles sont bien posées. Une discrétisation stable et convergente utilisant les différences finies est ensuite donnée. L'algorithme de premier ordre qui en résulte est testé à l'aide d'une série d'exemples. La complexité numérique est estimée comme étant comparable à celle de la MFM. La deuxième approche démontre que chaque voisinage suffisamment petit de M est l'image d'une fonction psi (allant de Rn vers R), où psi est la solution d'un problème de Dirichlet. Un algorithme de type Fast Marching est alors proposé, où chaque point est calculé à l'aide d'une version discrète du problème de Dirichlet utilisant les différences finies. La position des points est déterminée par un problème d'optimisation. L'algorithme bâtit un graphe orienté dont les sommets échantillonnent M. La monotonicité, la stabilité, ainsi que la convergence du schéma numérique sont avérées. Une borne supérieure de la complexité computationelle est établie et testée comme étant du même ordre que celle de la MFM, et ce peu importe la monotonicité de l'évolution. Les exemples présentés attestent de la précision de premier ordre de la méthode. Dans la partie finale de la thèse, la vitesse F est égale à la courbure moyenne du front : dans ce contexte, l'évolution est connue sous le nom d'écoulement à Courbure Moyenne. Les modifications apportées à l'algorithme pour modéliser ce problème sont présentées

Impact of baseline platelet count in patients undergoing primary percutaneous coronary intervention in acute myocardial infarction (from the CADILLAC trial).

Despite the well-recognized role of platelets in the pathogenesis of acute myocardial infarction (AMI) and in the vascular responses to angioplasty, the relation between platelet count and outcomes after primary percutaneous coronary intervention (PCI) in AMI is unknown. We therefore determined the effect of baseline platelet count on clinical and angiographic outcomes of patients with AMI undergoing primary PCI. In the prospective, randomized CADILLAC trial, platelet count on admission was available in 2,021 of 2,082 patients (97.0%). Angiographic results and outcomes at 30 days and 1 year were stratified by quartiles of platelet count. Median platelet count was 231 x 10(9)/L (range 38 to 709). Primary PCI angiographic success rates were independent of platelet count. The 30-day incidence of target vessel thrombosis or reocclusion increased steadily across the higher quartiles of baseline platelet count (0.2%, 0.6%, 1.0%, and 2.0%, p = 0.027). At 1 year, patients with a baseline platelet count \u3eor=234 versus10(9)/L had higher rates of death or reinfarction (8.9% vs 4.5%,

Relation between late patency of the infarct-related artery, left ventricular function, and clinical outcomes after primary percutaneous intervention for acute myocardial infarction (CADILLAC trial).

The importance of sustained patency of the infarct-related artery after primary percutaneous coronary intervention for acute myocardial infarction is controversial. We examined serial measures of left ventricular function and clinical outcomes in 280 patients with an initially occluded infarct artery in whom Thrombolysis In Myocardial Infarction trial grade 3 flow was achieved and routine follow-up angiography was performed 7 months after percutaneous coronary intervention. Reocclusion of the infarct artery was associated with decreased event-free survival, and the degree of restenosis was an independent predictor of the lack in improvement in left ventricular ejection fraction over time

Impact and determinants of left ventricular function in patients undergoing primary percutaneous coronary intervention in acute myocardial infarction.

We evaluated the prognostic effect of baseline left ventricular function and the determinants of its recovery after acute myocardial infarction (AMI) treated by primary angioplasty. Left ventriculography was performed during the index procedure in 1,620 of 2,082 patients (78%) who underwent primary angioplasty for AMI in the CADILLAC trial. One-year survival rate was significantly lower in patients whose baseline left ventricular ejection fraction (LVEF) wasor =40% (89.0% vs 97.2%, respectively,