Mit Erklärvideos und Simulationen Kovariation in Bayesianischen Situationen trainieren

Häufig werden aktuell Corona-Selbsttests durchgeführt, um festzustellen, ob man mit SARS-CoV-2 infiziert ist. Die Struktur in diesen Situationen ist exemplarisch für Bayesianische Situationen, die sich durch eine binäre Hypothese H (z. B. infiziert vs. nicht infiziert) und ein binäres Indiz I zu dieser Hypothese (z. B. ein positives vs. negatives Testergebnis) auszeichnen (Zhu & Gigerenzer, 2006). Bayesianisches Denken umfasst dann die Fähigkeit, in solchen Situationen argumentieren zu können. In einer solchen Bayesianischen Situation sind typischerweise drei Wahrscheinlichkeiten gegeben bzw. notwendig, um mit der Formel von Bayes rechnen zu können

Von Baumdiagrammen über Doppelbäume zu Häufigkeitsnetzen – kognitive Überlastung oder didaktische Unterstützung?

In stochastischen Situationen mit zwei dichotomen Merkmalen erlauben weder die schulüblichen Baumdiagramme noch Vierfeldertafeln die simultane Darstellung sämtlicher in der Situation möglicher Wahrscheinlichkeiten. Das im vorliegenden Beitrag vorgestellte Netz hat die Kapazität, alle vier möglichen Randwahrscheinlichkeiten, alle vier Schnittwahrscheinlichkeiten sowie alle acht bedingten Wahrscheinlichkeiten gleichzeitig darzustellen. Darüber hinaus ist – aufgrund der Knoten-Ast-Struktur des Netzes – die simultane Darstellung von Wahrscheinlichkeiten und absoluten Häufigkeiten mit dieser Visualisierung ebenfalls möglich. Bei der sukzessiven Erweiterung des typischen Baumdiagramms zunächst zum Doppelbaum und schließlich zum Netz sinkt der Inferenzgrad (d. h. weniger kognitive Schritte sind erforderlich) z. B. für Fragen nach bedingten Wahrscheinlichkeiten, aber gleichzeitig steigt die Komplexität der Darstellung und somit die extrinsische kognitive Belastung. Im vorliegenden Artikel erfolgt zunächst ein theoretischer Vergleich dieser Knoten-Ast-Strukturen. Eine anschließende Studie illustriert, dass sich die sukzessive Erweiterung bereits vollständig ausgefüllter Diagramme positiv auf die Performanz von N = 269 Schülerinnen und Schülern auswirkt. Obwohl Häufigkeitsdoppelbäume und Häufigkeitsnetze den Schülerinnen und Schülern gänzlich unbekannt waren, unterstützten diese Visualisierungen die Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der Aufgaben am meisten. In stochastic situations with two dichotomous events, neither typical tree diagrams nor 2 × 2 tables allow the simultaneous representation of all possible probabilities in the situation. The net diagram presented in this paper has the capacity to represent all four possible marginal probabilities, all four joint probabilities, and all eight conditional probabilities simultaneously. Furthermore, due to the node-branch structure of the frequency net, the simultaneous representation of probabilities and absolute frequencies is also possible with this visualization. With the successive extension of the typical tree diagram to the double tree and finally to the net diagram, the inference degree, e.g., for questions about conditional probabilities, decreases (i.e., less mental steps are required), however, at the same time the complexity of the representation increases and thus the extrinsic cognitive load. In the present article, a theoretical comparison of these node-branch-structures is made. Furthermore, we demonstrate with an empirical study that the successive extension of these node-branch structures, which were already completely worked out, positively affects the performance of N = 269 students. Although frequency double trees and frequency nets were entirely unfamiliar to the students, these visualizations provided the best support to the students in completing the tasks

Mehr Äste – mehr Panik? Extrinsische kognitive Belastung bei Baumdiagrammen, Doppelbäumen und Häufigkeitsnetzen

Für den Stochastikunterricht stehen eine Reihe von Visualisierungen zur Verfügung, um Situationen mit zwei dichotomen Merkmalen (z. B. Merkmal 1: Gesundheitsstatus mit den Ausprägungen krank vs. gesund; Merkmal 2: Testergebnis mit den Ausprägungen Test positiv vs. Test negativ) zu illustrieren: Baumdiagramme, Vierfeldertafeln, Einheitsquadrate, Doppelbäume, Netzdiagramme und viele mehr. Schulisch werden vor allem Vierfeldertafeln mit absoluten oder relativen Häufigkeiten (bzw. Wahrscheinlichkeiten) und Baumdiagramme mit relativen Häufigkeiten an den Ästen eingesetzt. Da Knoten-Ast-Strukturen wie Baumdiagramme das Potential besitzen, sowohl absolute Häufigkeiten in den Knoten (vgl. Abb. 1) als auch relative Häufigkeiten an den entsprechenden Ästen darzustellen, stehen Baumdiagramme sowie die erweiterten Knoten-Ast-Strukturen Doppelbaum (Wassner, 2004) und Netzdiagramm (Binder et al., 2020; Binder et al., in review) im Fokus des vorliegenden Beitrags. Diese Verbindungsmöglichkeit der beiden Repräsentationen ist entscheidend, weil es einerseits die Aufgabe von Mathematiklehrkräften ist, das Wahrscheinlichkeitskalkül zu vermitteln und andererseits ein Verständnis von Wahrscheinlichkeiten durch die Präsentation von absoluten Häufigkeiten unterstützt werden kann (Gigerenzer & Hoffrage, 1995; Binder et al., 2015). Überdies können Knoten-Ast-Strukturen „curricular mitwachsen“, indem mit entsprechenden Visualisierungen gearbeitet wird, die zunächst nur absolute Häufigkeiten in den Knoten enthalten, in der Sekundarstufe I können dann relative Häufigkeiten an den Ästen ergänzt werden und in höheren Klassen schließlich auch entsprechende Wahrscheinlichkeiten

Measuring people’s covariational reasoning in Bayesian situations

Previous research on Bayesian reasoning has typically investigated people’s ability to assess a posterior probability (i.e., a positive predictive value) based on prior knowledge (i.e., base rate, true-positive rate, and false-positive rate). In this article, we systematically examine the extent to which people understand the effects of changes in the three input probabilities on the positive predictive value, that is, covariational reasoning. In this regard, two different operationalizations for measuring covariational reasoning (i.e., by single-choice vs. slider format) are investigated in an empirical study with N = 229 university students. In addition, we aim to answer the question wheter a skill in “conventional” Bayesian reasoning is a prerequisite for covariational reasoning

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Schnittwahrscheinlichkeiten GLEICHZEITIG visualisieren: Das Häufigkeitsnetz

Sowohl die Darstellung statistischer Informationen mit absoluten Häufigkeiten als auch die Visualisierung der Informationen haben sich als positiv für das Verständnis von bedingten Wahrscheinlichkeiten herausgestellt – gerade in Bezug auf sogenannte Bayesianische Aufgabenstellungen. Aus unterrichtlicher Sicht ist diese Erkenntnis jedoch nur von eingeschränktem Nutzen, da im Stochastikunterricht nicht nur Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten adressiert werden, sondern beispielsweise auch zu Schnittwahrscheinlichkeiten. Beim Einsatz von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen ergibt sich daraus ein ganz entscheidender Nachteil: Es existieren Aufgabenklassen, die vorzugsweise mit Vierfeldertafeln gelöst werden können und Aufgabenklassen, in denen Baumdiagramme strategisch von Vorteil sind. Der vorliegende Beitrag stellt daher eine neue Visualisierung vor, die es erstmals ermöglicht, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Schnittwahrscheinlichkeiten gleichzeitig zu visualisieren: Das Häufigkeitsnetz

Sechs verschiedene Darstellungsarten für "25%" - und wie man sie ineinander umrechnen kann

Es gibt unterschiedliche numerische Darstellungsformen von relativen Häufigkeiten wie z. B. „25 %“, „1 von 4“ oder „Jeder Vierte“, von denen jedoch nur einige in der Schule ausführlich behandelt werden. Im vorliegenden Beitrag sollen diese Darstellungsformen vorgestellt und anschließend zwei verschiedene Möglichkeiten erläutert werden, wie deren wechselseitige Umrechnungen im Unterricht thematisiert werden können. Bei beiden Varianten werden dabei die Anzahl der zu lernenden Umrechnungen reduziert, indem einmal die gewöhnlichen Brüche und einmal die natürlichen Häufigkeiten ins Zentrum gestellt werden