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Covariance estimation using h-statistics in Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo methods
We present novel Monte Carlo (MC) and multilevel Monte Carlo (MLMC) methods
for determining the unbiased covariance of random variables using h-statistics.
The advantage of this procedure lies in the unbiased construction of the
estimator's mean square error in a closed form. This is in contrast to the
conventional MC and MLMC covariance estimators, which are based on biased mean
square errors defined solely by upper bounds, particularly within the MLMC.
Finally, the numerical results of the algorithms are demonstrated by estimating
the covariance of the stochastic response of a simple 1D stochastic elliptic
PDE such as Poisson's model
Scale-invariant multilevel Monte Carlo method
In this paper, the scale-invariant version of the mean and variance
multi-level Monte Carlo estimate is proposed. The optimization of the
computation cost over the grid levels is done with the help of a novel
normalized error based on t-statistic. In this manner, the algorithm
convergence is made invariant to the physical scale at which the estimate is
computed. The novel algorithm is tested on the linear elastic example, the
constitutive law of which is described by material uncertainty including both
heterogeneity and anisotropy
Stochastische Materialmodellierung und Multi-Fidelity-Quantifizierung der Unsicherheit von makroskopischem Knochengewebe
In this thesis, the simulation of macroscopic bone tissue is studied in a probabilistic framework, where special emphasis is given to how to model and generate random material tensors that are symmetric and positive definite (SPD). The goal of this thesis is to discuss and propose a novel procedureâknown as the fully controlled stochastic material modelling approachâfor modelling random second-order SPD material tensors that extends the capability of the existing, random scaling-only, procedure by parametrizing/controlling the directional uncertainty, given that a specific class of material invariance for the entire random ensemble is prescribed. In addition, a scenario of fluctuating material symmetry around the FrĂ©chet mean of random SPD tensors is developed, in which the mean tensor belongs to a higher order of material symmetry, whereas each realisation belongs to a lower order. Another focus of this thesis is on using a variance reduction technique known as the multilevel Monte Carlo method (MLMC) to efficiently assess the impact of material uncertainty on system response by determining statistics like mean and variance. As the convergence of the classical MLMC algorithm strongly depends on the solution magnitude, a novel scale-invariant version of the multilevel Monte Carlo procedureâcalled the scale-invariant multilevel Monte Carlo method (SMLMC)âis proposed. Finally, a 2D and 3D model of steady-state heat conduction in a human proximal femur is investigated as an example, with a spatially constant random thermal conductivity tensor. Furthermore, the random elastic tensor/matrix field of a 2D linear elastic material model is simulated.In dieser Arbeit wird die Simulation von makroskopischem Knochengewebe in einem probabilistischen Rahmen untersucht, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf der Modellierung und Erzeugung von zufĂ€lligen Materialtensoren liegt, die symmetrisch und positiv definit sind (SPD). Ziel dieser Arbeit ist es, ein neuartiges Verfahren - bekannt als vollstĂ€ndig kontrollierter stochastischer Materialmodellierungsansatz - fĂŒr die Modellierung zufĂ€lliger SPD- Materialtensoren zweiter Ordnung zu diskutieren und vorzuschlagen, das die Möglichkeiten des bestehenden, nur auf Zufallsskalierung basierenden Verfahrens durch Parametrisierung/Kontrolle der Richtungsunsicherheit erweitert, da eine bestimmte Klasse von Materialinvarianz fĂŒr das gesamte Zufallsensemble vorgeschrieben ist. DarĂŒber hinaus wird ein Szenario fluktuierender materieller Symmetrie um den FrĂ©chet-Mittelwert zufĂ€lliger SPD- Tensoren entwickelt, bei dem der mittlere Tensor zu einer höheren Ordnung der materiellen Symmetrie gehört, wĂ€hrend jede Realisation zu einer niedrigeren Ordnung gehört. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Verwendung einer Varianzreduzierungstechnik, die als Multilevel-Monte-Carlo-Methode (MLMC) bekannt ist, um den Einfluss der Materialunsicherheit auf die Systemreaktion durch die Bestimmung von Statistiken wie Mittelwert und Varianz effizient zu bewerten. Da die Konvergenz des klassischen MLMC-Algorithmus stark von der LösungsgröĂe abhĂ€ngt, wird eine neuartige skaleninvariante Version des Multilevel-Monte-Carlo-Verfahrens - die skaleninvariante Multilevel-Monte- Carlo-Methode (SMLMC) - vorgeschlagen. SchlieĂlich wird als Beispiel ein 2D- und 3D-Modell der station Ìaren WĂ€rmeleitung in einem menschlichen proximalen Oberschenkelknochen mit einem rĂ€umlich konstanten zufĂ€lligen WĂ€rmeleitfĂ€higkeitstensor untersucht. DarĂŒber hinaus wird das zufĂ€llige elastische Tensor/Matrixfeld eines linear- elastischen 2D-Materialmodells simuliert