Covariance estimation using h-statistics in Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo methods

We present novel Monte Carlo (MC) and multilevel Monte Carlo (MLMC) methods for determining the unbiased covariance of random variables using h-statistics. The advantage of this procedure lies in the unbiased construction of the estimator's mean square error in a closed form. This is in contrast to the conventional MC and MLMC covariance estimators, which are based on biased mean square errors defined solely by upper bounds, particularly within the MLMC. Finally, the numerical results of the algorithms are demonstrated by estimating the covariance of the stochastic response of a simple 1D stochastic elliptic PDE such as Poisson's model

Scale-invariant multilevel Monte Carlo method

In this paper, the scale-invariant version of the mean and variance multi-level Monte Carlo estimate is proposed. The optimization of the computation cost over the grid levels is done with the help of a novel normalized error based on t-statistic. In this manner, the algorithm convergence is made invariant to the physical scale at which the estimate is computed. The novel algorithm is tested on the linear elastic example, the constitutive law of which is described by material uncertainty including both heterogeneity and anisotropy

Stochastische Materialmodellierung und Multi-Fidelity-Quantifizierung der Unsicherheit von makroskopischem Knochengewebe

In this thesis, the simulation of macroscopic bone tissue is studied in a probabilistic framework, where special emphasis is given to how to model and generate random material tensors that are symmetric and positive definite (SPD). The goal of this thesis is to discuss and propose a novel procedure—known as the fully controlled stochastic material modelling approach—for modelling random second-order SPD material tensors that extends the capability of the existing, random scaling-only, procedure by parametrizing/controlling the directional uncertainty, given that a specific class of material invariance for the entire random ensemble is prescribed. In addition, a scenario of fluctuating material symmetry around the Fréchet mean of random SPD tensors is developed, in which the mean tensor belongs to a higher order of material symmetry, whereas each realisation belongs to a lower order. Another focus of this thesis is on using a variance reduction technique known as the multilevel Monte Carlo method (MLMC) to efficiently assess the impact of material uncertainty on system response by determining statistics like mean and variance. As the convergence of the classical MLMC algorithm strongly depends on the solution magnitude, a novel scale-invariant version of the multilevel Monte Carlo procedure—called the scale-invariant multilevel Monte Carlo method (SMLMC)—is proposed. Finally, a 2D and 3D model of steady-state heat conduction in a human proximal femur is investigated as an example, with a spatially constant random thermal conductivity tensor. Furthermore, the random elastic tensor/matrix field of a 2D linear elastic material model is simulated.In dieser Arbeit wird die Simulation von makroskopischem Knochengewebe in einem probabilistischen Rahmen untersucht, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf der Modellierung und Erzeugung von zufälligen Materialtensoren liegt, die symmetrisch und positiv definit sind (SPD). Ziel dieser Arbeit ist es, ein neuartiges Verfahren - bekannt als vollständig kontrollierter stochastischer Materialmodellierungsansatz - für die Modellierung zufälliger SPD- Materialtensoren zweiter Ordnung zu diskutieren und vorzuschlagen, das die Möglichkeiten des bestehenden, nur auf Zufallsskalierung basierenden Verfahrens durch Parametrisierung/Kontrolle der Richtungsunsicherheit erweitert, da eine bestimmte Klasse von Materialinvarianz für das gesamte Zufallsensemble vorgeschrieben ist. Darüber hinaus wird ein Szenario fluktuierender materieller Symmetrie um den Fréchet-Mittelwert zufälliger SPD- Tensoren entwickelt, bei dem der mittlere Tensor zu einer höheren Ordnung der materiellen Symmetrie gehört, während jede Realisation zu einer niedrigeren Ordnung gehört. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Verwendung einer Varianzreduzierungstechnik, die als Multilevel-Monte-Carlo-Methode (MLMC) bekannt ist, um den Einfluss der Materialunsicherheit auf die Systemreaktion durch die Bestimmung von Statistiken wie Mittelwert und Varianz effizient zu bewerten. Da die Konvergenz des klassischen MLMC-Algorithmus stark von der Lösungsgröße abhängt, wird eine neuartige skaleninvariante Version des Multilevel-Monte-Carlo-Verfahrens - die skaleninvariante Multilevel-Monte- Carlo-Methode (SMLMC) - vorgeschlagen. Schließlich wird als Beispiel ein 2D- und 3D-Modell der station ̈aren Wärmeleitung in einem menschlichen proximalen Oberschenkelknochen mit einem räumlich konstanten zufälligen Wärmeleitfähigkeitstensor untersucht. Darüber hinaus wird das zufällige elastische Tensor/Matrixfeld eines linear- elastischen 2D-Materialmodells simuliert