Основные квазинормальные формы для двухкомпонентных систем параболических уравнений

The article includes principal quasinormal forms of singular pertubed parabolic equations systems in critical cases.Приводится перечень основных квазинормальных форм, которые возникают при анализе динамики нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений в случаях, близких к критическим в задачах об устойчивости

Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона

We discuss the dynamics of the Hutchinson’s equation and its generalizations. An estimate of the global stability region of a positive steady state is obtained. The main results refer to existence, stability and asymptotics of a slow oscillating solution. New asymptotic methods are applied to a problem of dynamical properties of ODE system describing Belousov — Zhabotinsky reaction.Рассматривается вопрос о поведении решений уравнения Хатчинсона и его обобщений. Получены результаты об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости положительного состояния равновесия. Основные утверждения касаются вопросов существования, устойчивости и асимптотики медленно осциллирующего периодического решения. В качестве приложения разработанных новых асимптотических методов рассмотрена задача о динамических свойствах системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей известную реакцию Белоусова — Жаботинского

Динамика квазилинейной краевой задачи, обобщающей уравнение с большим запаздыванием

We have built a quasinormal form for the evolution equation that generalizes the equation with large delay.Построена квазинормальная форма для эволюционного уравнения, обоб- щающего дифференциальное уравнение с большим запаздыванием

Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых

Relaxation oscillations in a first order differential equation with two delays are considered. On the basis of a special asymptotic big parameter method the problem of studying dynamics of an equation is reduced to the analysis of nonlinear mappings. Each cycle of these mappings corresponds to a periodic solution of the initial equation with the same stability.Исследуются релаксационные колебания в уравнении первого порядка с двумя запаздываниями. На основе специального асимптотического метода большого параметра, разработанного автором, вопрос о динамике решений сводится к анализу решений нелинейных отображений. Для каждого цикла таких отображений построены соответствующие периодические решения исходного уравнения с наследованием свойств устойчивости

Релаксационные колебания в моделях многовидовых сообществ

Some families of mathematical models of biological populations are considered. Invariant ratios between the parameters which characterize this or that population are revealed. Dynamic properties of models are investigated on the assumption that one or several populations are strongly prolific, which means that the corresponding malthusian coefficients are rather great. On the basis of a special asymptotic method developed by the author a problem of behavior of initial system solutions can be reduced to a significantly simpler problem of dynamics of the finite-dimensional mappings received. In particular, it is shown that irregular relaxation vibrations are typical for the solutions of these mappings and, as a result, for the solution of the initial equation systems. It is interesting to note that these viabrations are of big amplitudes.Рассматриваются семейства математических моделей биологических популяций. Выявлены инвариантные соотношения между параметрами, характеризующими ту или иную популяцию. Исследуются динамические свойства моделей в предположении, что одна или несколько популяций являются сильно плодовитыми, т.е. соответствующие мальтузианские коэффициенты достаточно велики. На основе разработанного автором специального асимптотического метода задачу о поведении решений исходных систем удается свести к существенно более простой задаче о динамике полученных конечномерных отображений. В частности, показано, что для решений этих отображений, а значит, и исходных систем уравнений характерны нерегулярные релаксационные ко- лебания. Интересно отметить, что амплитуды таких колебаний являются достаточно большими

Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник–жертва»

A new asymptotic method for investigating complex relaxation oscillations of a system with delay was offered. Applying it, we can reduce the problem of predator-prey system dynamics to problem of one-dimensional maps analysis. Some conclusions of biological nature based on the asymptotic analysis were made. Предложен новый метод асимптотического исследования сложных релаксационных колебаний в системе с запаздыванием. Применяя его, удается задачу о динамике в системе «хищник–жертва» свести к анализу одномерного отображения. На основании асимптотического анализа сформулированы выводы биологического характера

Динамика логистического уравнения с запаздыванием и запаздывающим управлением

Dynamical properties of a logistic equation with delay and delay control are studied by asymptotic methods. It is shown that effective control of characteristics of relaxation cycle is possible. A new method for studying the dynamics in the case of suffitiently large delay control coeffitient is worked out. It is found that the original problem of the dynamics of equations with delays is reduced to the problem of non-local dynamics of special nonlinear boundary value problems of parabolic type.Асимптотическими методами исследуются динамические свойства логистического уравнения с запаздыванием и с запаздывающим управлением. Показана возможность эффективного управления характеристиками релаксационного цикла. Разработан новый метод исследования динамики при условии, что коэффициент запаздывающего управления является достаточно большим. Установлено, что исходная задача о динамике уравнения с запаздываниями редуцируется к задаче о нелокальной динамике специальных нелинейных краевых задач параболического типа

Мультистабильность в модели лазера с большим запаздыванием

A dynamical model of laser generation based on monomode balance equations with delay is studied. Methods of a local analysis are used to build sets of quasinormal forms in the neighborhood of parame^ters bifurcation values. The possibility of the coexistence of a large number of steady oscillating states is shown.Исследуется модель динамики генерации лазера, основанная на одномо-довых балансных уравнениях с запаздывающим аргументом. Методами локального анализа построены континуальные наборы семейств квазинормальных форм в окрестности бифуркационных значений параметров. Показана возможность сосуществования большого числа установившихся осциллирующих режимов

Локальная динамика логистического уравнения, содержащего запаздывание

We considered a logistic equation with delay and studied its local dynamics. The critical cases have been found in the problem of the equilibrium state stability. We applied standard Andronov-Hopf biffurcation methods for delay differential equations and an asymptotic method, developed by one of the authors, based on the construction of special evolution equations that define the local dynamics equations with delay. It is shown that all solutions of the equation tend to an equilibrium state or result in a single stable cycle. The results of numerical modelling are presented in this paper. The study has proved that analytical and numerical modeling results have a good correlation.Рассматривается логистическое уравнение с добавлением слагаемого, ха- рактеризующего запаздывание. Исследуется локальная динамика этого уравнения. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия. Используются стандартные бифуркационные методы Андронова– Хопфа для уравнений с запаздыванием и разработанный одним из авторов асимптотический метод, основанный на построении специальных эволюционных уравнений, которые и определяют локальную динамику уравнений, содержащих запаздывание. Показано, что в зависимости от одного из параметров уравнения либо все решения стремятся к состоянию равновесия, либо выходят на единственный устойчивый цикл. Приведены результаты численного исследования. Отмечено хорошее совпадение результатов численного моделирования с утверждениями аналитического плана