Some facts about zero divisors of triangular infinite matrices

We are interested in the elements that are zero divisors in T_infty(F) - the ring of N by N upper triangular matrices over a field F. It is known that a matrix from T_infty(F) is a left zero divisor if and only if it contains at least one zero on the main diagonal. The problem when an infinite triangular matrix is a right zero divisor stays unsolved. In the paper we give some sufficient conditions for a matrix from T_infty(F) to be a right zero divisor. We also present some properties of infinite matrices that help us in investigating the problem

Some facts about zero divisors of triangular infinite matrices

We are interested in the elements that are zero divisors in T_infty(F) - the ring of N by N upper triangular matrices over a field F. It is known that a matrix from T_infty(F) is a left zero divisor if and only if it contains at least one zero on the main diagonal. The problem when an infinite triangular matrix is a right zero divisor stays unsolved. In the paper we give some sufficient conditions for a matrix from T_infty(F) to be a right zero divisor. We also present some properties of infinite matrices that help us in investigating the problem

Podgrupy grupy Vershika-Kerova

Tematem przedłożonej rozprawy jest grupa Vershika-Kerova. Celem pracy jest opis jej podgrup, które są zdefiniowane analogicznie jak podgrupy grup macierzy skończonego wymiaru oraz które są związane z ważnymi terminami pojawiającymi się w teorii grup. Badania dotyczą podgrup wolnych, komutantów, a także podgrup parabolicznych grupy Vershika-Kerova lub pewnych jej podgrup. Rozdział pierwszy stanowi krótkie wprowadzenie do tematu. Definiujemy macierz nieskończoną oraz działania na macierzach nieskończonych. Wskazujemy własności wprowadzonego działania mnożenia, a następnie przykłady grup macierzy nieskończonego, w tym grupy Vershika-Kerova. Zamieszczamy tu również informacje dotyczące generatorów grup macierzowych, głównie skończenie wymiarowych. Rozdział kończymy zaprezentowaniem pewnych zastosowań macierzy nieskończonych oraz zagadnień z nimi związanych. Rozdział drugi poświęcony jest dolnemu ciągowi centralnemu i ciągowi komutantów. Rozpatrujemy tu najpierw grupy macierzy, których elementy w skończonej liczbie wierszy różnią się od macierzy jednostkowej, a następnie grupę macierzy nieskończonych trójkątnych, których elementy w każdym wierszu mają skończoną liczbę współczynników niczcrowych. Dla tychże grup wskazujemy komutant, a następnie uogólniając nasze metody, opisujemy dolny ciąg centralny oraz ciąg komutantów omawianych grup. Z przeprowadzonych dowodów wnioskujemy, że szerokość wszystkich wskazanych komutantów jest skończona. Wyniki zaprezentowane w tym rozdziale zostały opublikowane w pracy [39]. Rozdział trzeci dotyczy grup wolnych. Ponieważ grupy macierzy skończenie wymiarowych unitrójkątnych nie zawierają żadnych podgrup wolnych, może wydawać się interesującym znalezienie takich podgrup w grupie macierzy nieskończonych unitrójkątnych. Rozpatrujemy tu podgrupy generowane przez dwie macierze. Wskazujemy warunek konieczny, by generowana grupa była wolna rangi 2. Dla pewnej szczególnie prostej postaci generatorów formułujemy warunek konieczny i wystarczający, by otrzymana grupa była wolna. Następnie wskazujemy kolejne rodziny podgrup wolnych grupy macierzy nieskończonych unitrójkątnych. Wskazane w tym rozdziale metody są uogólnieniem rezultatów z artykułu [40]. W rozdziale czwartym koncentrujemy się na podgrupach parabolicznych. Podgrupy te zawierają wszystkie macierze górnotrójkątne. Zostały one opisane zarówno dla przypadku pełnej grupy liniowej (dowolnego wymiaru skończonego) jak i grupy Vcrshika-Kerova. Wykazano, że są one ściśle związane z pierścieniem nad którym zdefiniowane są nasze macierze, a dokładniej z ideałami tego pierścienia. Aby rozwinąć te badania, wprowadzamy grupę, która w tej rozprawie nazywana jest specjalną grupą Vershika-Kerova, a która jest analogonem specjalnej grupy liniowej w grupie macierzy nieskończonych. Udowodniamy, że dla grupy tej opis jej podgrup parabolicznych jest analogiczny jak dla grupy Vershika-Kerova. Wyniki przytoczone w tym rozdziale zostały opisane w pracy [24]. Powszechnie wiadomym jest, że struktura grupy macierzy zależy od pierścienia nad którym macierze te są zdefiniowane. Przedstawione w różnych rozdziałach rezultaty pozostają prawdziwe dla różnych klas pierścieni. Aby nie zakłócać rozważań dotyczących grupy komentarzami dotyczącymi własności pierścieni, pozwalamy sobie na zamieszczenie krótkiego dodatku (Dodatek A), w którym zebrane są definicje oraz parę przykładów pierścieni, które pojawiają się w tekście

Maps on upper triangular matrices preserving zero products

summary:Consider $\mathcal T_n(F)$---the ring of all $n\times n$ upper triangular matrices defined over some field $F$. A map $\phi$ is called a zero product preserver on ${\mathcal T}_n(F)$ in both directions if for all $x,y\in {\mathcal T}_n(F)$ the condition $xy=0$ is satisfied if and only if $\phi (x)\phi (y)=0$. In the present paper such maps are investigated. The full description of bijective zero product preservers is given. Namely, on the set of the matrices that are invertible, the map $\phi$ may act in any bijective way, whereas for the zero divisors and zero matrix one can write $\phi$ as a composition of three types of maps. The first of them is a conjugacy, the second one is an automorphism induced by some field automorphism, and the third one transforms every matrix $x$ into a matrix $x'$ such that $\{y\in \mathcal T_n(F)\colon xy=0\}=\{y\in \mathcal T_n(F)\colon x'y=0\}$, $\{y\in \mathcal T_n(F)\colon yx=0\}=\{y\in \mathcal T_n(F)\colon yx'=0\}$

Decay of the elements of the inverses of some triangular Toeplitz matrices

Banded lower triangular N×N Toeplitz matrices A are considered. A sufficient condition for the elements of A −1 to decay to 0 fast is given. Moreover, some bounds of the norms of these inverses are also found

Inteligentny system kontroli i zabezpieczenia domu

W pracy przedstawiona została propozycja systemu IoT, którego celem jest ochrona domu przed zniszczeniami wynikającymi z ewentualnych awarii instalacji wodnej oraz wystąpienia ekstremalnych warunków atmosferycznych. W ramach systemu stworzona została infrastruktura elektroniczna oraz system informatyczny bazujący na metodach sztucznej inteligencji. Infrastruktura elektroniczna została zbudowana w oparciu o istniejące moduły platformy Arduino oraz Raspberry Pi.The paper presents a proposal of an IoT system. The main goal is to protect the house against damage resulting from possible failures of the water installation and the occurrence of extreme weather conditions. As part of the system, an electronic infrastructure and an information system based on artificial intelligence methods have been created. The electronic infrastructure was built on the basis of the existing modules of the Arduino and Raspberry Pi platforms

Use of Machine Learning Methods for Predicting Amount of Bioethanol Obtained from Lignocellulosic Biomass with the Use of Ionic Liquids for Pretreatment

The study objective was to model and predict the bioethanol production process from lignocellulosic biomass based on an example of empirical study results. Two types of algorithms were used in machine learning: artificial neural network (ANN) and random forest algorithm (RF). Data for the model included results of studying bioethanol production with the use of ionic liquids (ILs) and different enzymatic preparations from the following biomass types: buckwheat straw and biomass from four wastelands, including a mixture of various plants: stems of giant miscanthus, common nettle, goldenrod, common broom, fireweed, and hay (a mix of grasses). The input variables consisted of different ionic liquids (imidazolium and ammonium), enzymatic preparations, enzyme doses, time and temperature of pretreatment, and type of yeast for alcoholic fermentation. The output value was the bioethanol concentration. The multilayer perceptron (MLP) was used in the artificial neural networks. Two model types were created; the training dataset comprised 120 vectors (14 elements for Model 1 and 11 elements for Model 2). Assessment of the optimum random forest was carried out using the same division of experimental points (two random datasets, containing 2/3 for training and 1/3 for testing) and the same criteria used for the artificial neural network models. Data for mugwort and hemp were used for validation. In both models, the coefficient of determination for neural networks was <0.9, while for RF it oscillated around 0.95. Considering the fairly large spread of the determination coefficient, two hybrid models were generated. The use of the hybrid approach in creating models describing the present bioethanol production process resulted in an increase in the fit of the model to R2 = 0.961. The hybrid model can be used for the initial classification of plants without the necessity to perform lengthy and expensive research related to IL-based pretreatment and further hydrolysis; only their lignocellulosic composition results are needed