Conditionally Heteroskedastic Factor Models: Identification and Instrumental Variables Estimation

This paper provides a semiparametric framework for modelling multivariate conditional heteroskedasticity. First, we show that stochastic volatility factor models with possibly cross-correlated disturbances cannot be identified from returns conditional variance structure only, except when strong restrictions on the support of the probability distribution of latent factors volatility are maintained. Second, we provide an alternative way to maintain identifying restrictions through either higher order moments or through a specification of risk premiums based on constant prices of factor risks. In both cases, identification is obtained with conditional moment restrictions which pave the way for instrumental variables estimation and inference. A preliminary step of determination of the number of factors and identification of mimicking portfolios is proposed through a sequence of GMM overidentification tests which encompass Engle and Kozicki (1993) tests for common features. Cet article propose un cadre semi-paramétrique adapté à la modélisation de l'hétéroscédasticité conditionnelle multivariée. Nous montrons d'abord qu'un modèle factoriel à volatilité stochastique ne peut pas être identifié seulement à partir de la structure de variance conditionnelle des rendements, sauf si l'on impose des restrictions importantes au support de la loi de probabilité des facteurs latents. Nous proposons ensuite des restrictions alternatives permettant d'identifier le modèle de volatilité multivariée. Ces restrictions portent soit sur les moments d'ordre supérieur, soit sur une spécification de la prime de risque fondée sur un prix constant du risque des facteurs. Dans les deux cas, l'identification du modèle est obtenue à partir de restrictions sur les moments conditionnels, ce qui permet l'estimation par variables instrumentales. Une étape préliminaire de détermination du nombre de facteurs et d'identification de portefeuilles représentatifs est proposée. Elle est fondée sur une séquence de tests de sur-identification qui englobe les tests de caractéristiques communes d'Engle et Kozicki (1993).asset pricing, stochastic volatility, conditional factor models, multivariate conditional heteroskedasticity, common features, multiperiod conditional moment restrictions, Generalized Method of Moments., évaluation d'actifs financiers, volatilité stochastique, modèles conditionnels à facteurs, hétéroscédasticité conditionnelle multivariée, caractéristiques communes, restrictions de moments conditionnels avec retards, Méthode des Moments Généralisés

On the Efficient Use of the Informational Content of Estimating Equations: Implied Probabilities and Euclidean Empirical Likelihood

A number of information-theoretic alternatives to GMM have recently been proposed in the literature. For practical use and general interpretation, the main drawback of these alternatives, particularly in the case of conditional moment restrictions, is that they rely on high dimensional convex optimization programs. The main contribution of this paper is to analyze the informational content of estimating equations within the unified framework of least squares projections. Improved inference by control variables, shrinkage of implied probabilities and information-theoretic interpretations of continuously updated GMM are discussed in the two cases of unconditional and conditional moment restrictions. Plusieurs méthodes alternatives à GMM basées sur un critère d'information ont récemment été proposées. Pour leur utilisation pratique et leur interprétation, le principal défaut de ces alternatives, particulièrement dans le cas de restrictions de moments conditionnels, est de faire appel à des programmes d'optimisation convexe de très grande dimension. La contribution principale de cet article est d'analyser le contenu informatif d'équations estimantes dans le cadre unifié de projections de moindres carrés. L'amélioration de l'inférence par variables de contrôle, le calcul des probabilités impliquées et les interprétations informationnelles des différentes versions de GMM sont discutés dans les deux cadres de moments conditionnels et inconditionnels.empirical likelihood, continuously updated GMM, information, control variables, semiparametric efficiency, higher order asymptotics, minimum chi-square, vraisemblance empirique, GMM avec révision continue, information, variables de contrôle, efficacité semi-paramétrique, théorie asymptotique à l'ordre supérieur, chi-deux minimum

Iterative and Recursive Estimation in Structural Non-Adaptive Models

An inference method, called latent backfitting is proposed. It appears well suited for econometric models where the structural relationships of interest define the observed endogenous variables as a known function of unobserved state variables and unknown parameters. This nonlinear state space specification paves the way for iterative or recursive EM-like strategies. In the E-steps the state variables are forecasted given the observations and a value of the parameters. In the M-steps these forecasts are used to deduce estimators of the unknown parameters from the statistical model of latent variables. The proposed iterative/recursive estimation is particularly useful for latent regression models and for dynamic equilibrium models involving latent state variables. Practical implementation issues are discussed through the example of term structure models of interest rates. Nous proposons une méthode d'inférence appelée «latent backfitting». Cette méthode est spécialement conçue pour les modèles économétriques dans lesquels les relations structurelles d'intérêt définissent les variables endogènes observées comme une fonction connue des variables d'états non observées et des paramètres inconnus. Cette spécification espace-état non linéaire ouvre la voie à des stratégies itératives ou récursives de type EM. Dans l'étape E, les variables d'état sont prédites à partir des observations et des valeurs des paramètres. Dans l'étape M, ces prévisions sont utilisées pour déduire des estimateurs des paramètres inconnus à partir du modèle statistique des variables latentes. L'estimation itérative/récursive proposée est particulièrement utile pour les modèles avec équation de régression latente et les modèles dynamiques d'équilibre utilisant des variables d'état latentes. Les questions relatives à l'application de ces méthodes sont analysées à travers l'exemple des modèles de structure par termes des taux d'intérêt.Asset Pricing Models, Latent Variables, Estimation, Iterative or Recursive Algorithms, Modèles d'évaluation d'actifs financiers, variables latentes, estimation, algorithmes itératifs ou récursifs

Short Run and Long Run Causality in Time Series: Inference

We propose methods for testing hypothesis of non-causality at various horizons, as defined in Dufour and Renault (1998, Econometrica). We study in detail the case of VAR models and we propose linear methods based on running vector autoregressions at different horizons. While the hypotheses considered are nonlinear, the proposed methods only require linear regression techniques as well as standard Gaussian asymptotic distributional theory. Bootstrap procedures are also considered. For the case of integrated processes, we propose extended regression methods that avoid nonstandard asymptotics. The methods are applied to a VAR model of the U.S. economy. Nous proposons des méthodes pour tester des hypothèses de non-causalité à différents horizons, tel que défini dans Dufour et Renault (1998, Econometrica). Nous étudions le cas des modèles VAR en détail et nous proposons des méthodes linéaires basées sur l'estimation d'autorégressions vectorielles à différents horizons. Même si les hypothèses considérées sont non linéaires, les méthodes proposées ne requièrent que des techniques de régression linéaire de même que la théorie distributionnelle asymptotique gaussienne habituelle. Dans le cas des processus intégrés, nous proposons des méthodes de régression étendue qui ne requièrent pas de théorie asymptotique non standard. L'application du bootstrap est aussi considérée. Les méthodes sont appliquées à un modèle VAR de l'économie américaine.time series; Granger causality; indirect causality; multiple horizon causality; autoregression; autoregressive model; vector autoregression; VAR; stationary process; nonstationary process;integrated process; unit root; extended autoregression; bootstrap; Monte Carlo; macroeconomics;money; interest rates; output; inflation, séries chronologiques; causalité; causalité indirecte; causalité à différents horizons; autorégression; modèle autorégressif; autorégression vectorielle; VAR; processus stationnaire; processus non stationnaire; processus intégré; racine unitaire; autorégression étendue; bootstrap; Monte Carlo; macroéconomie; monnaie; taux d'intérêt; production; inflation

Risk Aversion, Intertemporal Substitution, and Option Pricing

This paper develops a general stochastic framework and an equilibrium asset pricing model that make clear how attitudes towards intertemporal substitution and risk matter for option pricing. In particular, we show under which statistical conditions option pricing formulas are not preference-free, in other words, when preferences are not hidden in the stock and bond prices as they are in the standard Black and Scholes (BS) or Hull and White (HW) pricing formulas. The dependence of option prices on preference parameters comes from several instantaneous causality effects such as the so-called leverage effect. We also emphasize that the most standard asset pricing models (CAPM for the stock and BS or HW preference-free option pricing) are valid under the same stochastic setting (typically the absence of leverage effect), regardless of preference parameter values. Even though we propose a general non-preference-free option pricing formula, we always keep in mind that the BS formula is dominant both as a theoretical reference model and as a tool for practitioners. Another contribution of the paper is to characterize why the BS formula is such a benchmark. We show that, as soon as we are ready to accept a basic property of option prices, namely their homogeneity of degree one with respect to the pair formed by the underlying stock price and the strike price, the necessary statistical hypotheses for homogeneity provide BS-shaped option prices in equilibrium. This BS-shaped option-pricing formula allows us to derive interesting characterizations of the volatility smile, that is, the pattern of BS implicit volatilities as a function of the option moneyness. First, the asymmetry of the smile is shown to be equivalent to a particular form of asymmetry of the equivalent martingale measure. Second, this asymmetry appears precisely when there is either a premium on an instantaneous interest rate risk or on a generalized leverage effect or both, in other words, whenever the option pricing formula is not preference-free. Therefore, the main conclusion of our analysis for practitioners should be that an asymmetric smile is indicative of the relevance of preference parameters to price options.Dans le présent article, on propose un cadre stochastique général et un modèle d’évaluation d’actifs financiers à l’équilibre qui mettent en évidence les rôles respectifs de l’élasticité de substitution intertemporelle et de l’aversion pour le risque dans le prix de marché des options. Nous précisons en particulier les conditions statistiques sous lesquelles les formules d’évaluation d’options dépendent ou non explicitement des paramètres de préférence, en particulier quand ces paramètres ne sont pas cachés dans les prix de l’actif sous-jacent et d’une obligation, comme c’est le cas dans les modèles standards de Black et Scholes (BS) ou de Hull et White (HW). Plusieurs effets de causalité instantanée, du type effet de levier, expliquent l’occurrence non redondante des paramètres de préférence dans les prix d’options. On prouve aussi que les modèles d’évaluation d’actifs financiers les plus classiques (CAPM pour les actions, BS ou HW où les prix d’options ne font pas apparaître les paramètres de préférence) sont fondés sur les mêmes hypothèses stochastiques (typiquement l’absence d’effet de levier), indépendamment des valeurs des paramètres de préférence. Même si notre formule générale d’évaluation d’options dépend dans certains cas explicitement des paramètres de préférence, on n’oublie pas que la formule BS est dominante à la fois comme modèle théorique de référence et comme instrument de gestion. Une autre contribution de l’article est la validation théorique de ce rôle de référence. Ainsi, dans la mesure où on accepte une propriété essentielle des prix d’options, à savoir leur homogénéité de degré un par rapport au couple formé par le prix de l’actif sous-jacent et le prix d’exercice, on peut montrer que les hypothèses statistiques nécessaires et suffisantes pour l’homogénéité donnent à l’équilibre des prix d’options qui conservent l’essentiel de la forme fonctionnelle de BS. Cette forme fonctionnelle nous permet de mettre en évidence certaines propriétés importantes du « sourire » de volatilité, c’est-à-dire de la représentation graphique des volatilités implicites de BS en fonction de la position de l’option par rapport à la monnaie. On montre d’abord que l’asymétrie de ce sourire est équivalente à une forme particulière d’asymétrie de la mesure de martingale équivalente. Enfin, cette asymétrie correspond précisément au cas où il existerait soit une prime sur un risque instantané de taux d’intérêt, soit un effet de levier généralisé, soit les deux, en d’autres termes lorsque la formule d’évaluation d’options dépend explicitement des paramètres de préférence. En conclusion, le message principal pour la gestion d’options résultant de notre analyse est que l’évidence d’une asymétrie dans le sourire de volatilité signale l’importance de la prise en compte des paramètres de préférence dans les formules d’évaluation d’options

Latent Variable Models for Stochastic Discount Factors

Latent variable models in finance originate both from asset pricing theory and time series analysis. These two strands of literature appeal to two different concepts of latent structures, which are both useful to reduce the dimension of a statistical model specified for a multivariate time series of asset prices. In the CAPM or APT beta pricing models, the dimension reduction is cross-sectional in nature, while in time-series state-space models, dimension is reduced longitudinally by assuming conditional independence between consecutive returns, given a small number of state variables. In this paper, we use the concept of Stochastic Discount Factor (SDF) or pricing kernel as a unifying principle to integrate these two concepts of latent variables. Beta pricing relations amount to characterize the factors as a basis of a vectorial space for the SDF. The coefficients of the SDF with respect to the factors are specified as deterministic functions of some state variables which summarize their dynamics. In beta pricing models, it is often said that only the factorial risk is compensated since the remaining idiosyncratic risk is diversifiable. Implicitly, this argument can be interpreted as a conditional cross-sectional factor structure, that is, a conditional independence between contemporaneous returns of a large number of assets, given a small number of factors, like in standard Factor Analysis. We provide this unifying analysis in the context of conditional equilibrium beta pricing as well as asset pricing with stochastic volatility, stochastic interest rates and other state variables. We address the general issue of econometric specifications of dynamic asset pricing models, which cover the modern literature on conditionally heteroskedastic factor models as well as equilibrium-based asset pricing models with an intertemporal specification of preferences and market fundamentals. We interpret various instantaneous causality relationships between state variables and market fundamentals as leverage effects and discuss their central role relative to the validity of standard CAPM-like stock pricing and preference-free option pricing.En finance, les modèles à variables latentes apparaissent à la fois dans les théories d'évaluation des actifs financiers et dans l'analyse de séries chronologiques. Ces deux courants de littérature font appel à deux concepts différents de structures latentes qui servent tous deux à réduire la dimension d'un modèle statistique de séries temporelles sur les prix ou les rendements de plusieurs actifs. Dans les modèles CAPM ou APT, où l'évaluation est fonction de coefficients bêtas, la réduction de dimension est de nature transversale, tandis que dans les modèles de séries chronologiques espace-état, la dimension est réduite longitudinalement en supposant l'indépendance conditionnelle entre les rendements consécutifs, étant donné un petit nombre de variables d'état. Dans ce texte, nous utilisons le concept de facteur d'actualisation stochastique (SDF) ou noyau de valorisation comme principe unificateur en vue d'intégrer ces deux concepts de variables latentes. Les relations de valorisation avec coefficients bêtas reviennent à caractériser les facteurs comme une base d'un espace vectoriel pour le SDF. Les coefficients du SDF par rapport aux facteurs sont spécifiés comme des fonctions déterministes de certaines variables d'état qui résument leur évolution dynamique. Dans ces modèles d'évaluation à coefficients bêtas, on dit souvent que seul le risque factoriel est compensé puisque le risque résiduel idiosyncratique est diversifiable. Implicitement, cet argument peut être interprété comme une structure factorielle transversale conditionnelle, c'est-à-dire une indépendance conditionnelle entre les rendements contemporains d'un grand nombre d'actifs, étant donné un petit nombre de facteurs, comme dans l'analyse factorielle standard. Nous établissons cette analyse unificatrice dans le contexte des modèles conditionnels d'équilibre à coefficients bêtas de même que dans des modèles d'évaluation des actifs financiers avec volatilité stochastique, taux d'intérêt stochastiques et autres variables d'état. Nous adressons la question générale de la spécification économétrique des modèles dynamiques d'évaluation des actifs financiers qui regroupent la littérature moderne des modèles à facteurs conditionnellement hétéroscédastiques, ainsi que les modèles d'équilibre d'évaluation des actifs financiers avec une spécification intertemporelle des préférences et des processus fondamentaux du marché. Nous interprétons diverses relations de causalité instantanées entre les variables d'état et les processus fondamentaux du marché comme des effets de levier et discutons le rôle central qu'elles jouent dans la validité des modèles de référence tels que le CAPM pour les actions ou les modèles d'évaluation sans paramètres de préférence pour les options

Quadratic M-Estimators for ARCH-Type Processes

This paper addresses the issue of estimating semiparametric time series models specified by their conditional mean and conditional variance. We stress the importance of using joint restrictions on the mean and variance. This leads us to take into account the covariance between the mean and the variance and the variance of the variance, that is, the skewness and kurtosis. We establish the direct links between the usual parametric estimation methods, namely, the QMLE, the GMM and the M-estimation. The ususal univariate QMLE is, under non-normality, less efficient than the optimal GMM estimator. However, the bivariate QMLE based on the dependent variable and its square is as efficient as the optimal GMM one. A Monte Carlo analysis confirms the relevance of our approach, in particular, the importance of skewness.Cet article s’intéresse à l’estimation des modèles semiparamétriques de séries temporelles définis par leur moyenne et variance conditionnelles. Nous mettons en exergue l’importance de l’utilisation jointe des restrictions sur la moyenne et la variance. Ceci amène à tenir compte de la covariance entre la moyenne et la variance ainsi que de la variance de la variance, autrement dit la \"skewness\" et la \"kurtosis\". Nous établissons les liens directs entre les méthodes paramétriques usuelles d’estimation, à savoir l’EPMV (estimateur du pseudo maximum de vraisemblance), les GMM et les M-estimateurs. L’EPMV usuel est, dans le cas de la non-normalité, moins efficace que l’estimateur GMM optimal. Néanmoins, l’EPMV bivarié, basé sur le vecteur composé de la variable dépendante et de son carré, est aussi efficace que l’estimateur GMM optimal. Une analyse Monte Carlo confirme la pertinence de notre approche, en particulier l’importance de la \"skewness\"

Aggregations and Marginalization of GARCH and Stochastic Volatility Models

The GARCH and Stochastic Volatility paradigms are often brought into conflict as two competitive views of the appropriate conditional variance concept : conditional variance given past values of the same series or conditional variance given a larger past information (including possibly unobservable state variables). The main thesis of this paper is that, since in general the econometrician has no idea about something like a structural level of disaggregation, a well-written volatility model should be specified in such a way that one is always allowed to reduce the information set without invalidating the model. To this respect, the debate between observable past information (in the GARCH spirit) versus unobservable conditioning information (in the state-space spirit) is irrelevant. In this paper, we stress a square-root autoregressive stochastic volatility (SR-SARV) model which remains true to the GARCH paradigm of ARMA dynamics for squared innovations but weakens the GARCH structure in order to obtain required robustness properties with respect to various kinds of aggregation. It is shown that the lack of robustness of the usual GARCH setting is due to two very restrictive assumptions : perfect linear correlation between squared innovations and conditional variance on the one hand and linear relationship between the conditional variance of the future conditional variance and the squared conditional variance on the other hand. By relaxing these assumptions, thanks to a state-space setting, we obtain aggregation results without renouncing to the conditional variance concept (and related leverage effects), as it is the case for the recently suggested weak GARCH model which gets aggregation results by replacing conditional expectations by linear projections on symmetric past innovations. Moreover, unlike the weak GARCH literature, we are able to define multivariate models, including higher order dynamics and risk premiums (in the spirit of GARCH (p,p) and GARCH in mean) and to derive conditional moment restrictions well suited for statistical inference. Finally, we are able to characterize the exact relationships between our SR-SARV models (including higher order dynamics, leverage effect and in-mean effect), usual GARCH models and continuous time stochastic volatility models, so that previous results about aggregation of weak GARCH and continuous time GARCH modeling can be recovered in our framework.Les paradigmes GARCH et Volatilité Stochastique sont souvent opposés comme deux points de vue concurrents sur ce que serait un concept adéquat de variance conditionnelle : variance conditionnelle au passé du processus lui-même ou variance conditionnelle à une information passée plus large (incluant éventuellement des variables d'état non observables). La thèse principale de cet article est que, puisqu'en général l'économètre n'a pas d'idée sur ce que pourrait être un niveau structurel de désagrégation, un modèle de volatilité bien formulé devrait être spécifié de façon à ce que l'on puisse toujours réduire la filtration d'information sans invalider le modèle. De ce point de vue, le débat entre modèles à variables d'état observables (dans l'esprit GARCH) ou non observables (dans l'esprit état-mesure) est non pertinent. On met en exergue dans cet article un processus à volatilité stochastique autorégressive en racine carré (SR-SARV) qui reste conforme à la tradition GARCH d'une dynamique ARMA pour le carré des innovations, mais affaiblit la structure GARCH pour obtenir les propriétés requises d'invariance vis-à-vis des différents types d'agrégation. Il apparaît que le défaut d'invariance du modèle GARCH usuel est dû à deux hypothèses très restrictives : corrélation linéaire parfaite entre le carré de l'innovation et la variance conditionnelle d'une part, relation de proportionnalité entre la variance conditionnelle de la variance conditionnelle future et le carré de la variance conditionnelle d'autre part. En relâchant ces hypothèses grâce à une approche état-mesure, on parvient à démontrer des résultats d'agrégation sans renoncer au concept de variance conditionnelle (et aux effets de levier associés), à la différence du modèle GARCH faible récemment proposé et qui, lui, obtient les résultats d'agrégation en remplaçant les espérances conditionnelles par des projections linéaires sur les innovations passées supposées de loi symétrique. Un autre avantage de l'approche SR-SARV par rapport au modèle GARCH faible est de permettre des généralisations multivariées, incluant même éventuellement des dynamiques d'ordre supérieur et de primes de risque (dans l'esprit de GARCH(p,p) et de GARCH-M) et de fournir des restrictions de moments conditionnels qui peuvent être avantageusement exploitées pour l'inférence statistique. Enfin, nous caractérisons les relations d'inclusion entre nos modèles SR-SARV (y compris dans le cas de dynamique d'ordre supérieur, d'effet en moyenne et d'effet de levier) et les différentes classes de modèles GARCH et de modèles de diffusion à volatilité stochastique. Ces caractérisations impliquent que les résultats déjà disponibles dans la littérature au sujet de l'agrégation des GARCH faibles et de leur lien avec les modèles de diffusion apparaissent comme des corollaires des résultats de cet article

Temporal Aggregation of Volatility Models

In this paper, we consider temporal aggregation of volatility models. We introduce a semiparametric class of volatility models termed square-root stochastic autoregressive volatility (SR-SARV) and characterized by an autoregressive dynamic of the stochastic variance. Our class encompasses the usual GARCH models and various asymmetric GARCH models. Moreover, our stochastic volatility models are characterized by observable multiperiod conditional moment restrictions. The SR-SARV class is a natural extension of the weak GARCH models. Our extension has four advantages: i) we do not assume that the fourth moment is finite; ii) we allow for asymmetries (skewness, leverage effect) that are excluded by the weak GARCH models; iii) we derive conditional moment restrictions which are useful for non-linear inference; iv) our framework allows us to study temporal aggregation of IGARCH models and non-linear models such as EGARCH and Exponential SV in discrete and continuous time. Dans cet article, nous considérons l'agrégation temporelle des modèles de volatilité. Nous introduisons une classe de modèles de volatilité semi-paramétrique dénommée SR-SARV et caractérisée par une variance stochastique ayant une dynamique autorégressive. Notre classe contient les modèles GARCH usuels ainsi que plusieurs variantes asymétriques. De plus, nos modèles à volatilité stochastique sont caractérisés par des moments conditionnels observables et à plusieurs horizons. La classe des modèles SR-SARV est une généralisation naturelle des modèles GARCH faibles. Notre extension présente quatre avantages: i) nous ne supposons pas que le moment d'ordre quatre est fini; ii) nous permettons des asymétries (de type skewness et effet de levier) qui sont exclues par les modèles GARCH faibles; iii) nous dérivons des restrictions sur des moments conditionnels utiles pour l'inférence non-linéaire; iv) notre cadre de travail nous permet d'étudier l'agrégation temporelle des modèles IGARCH ainsi que des modèles non linéaires comme le modèle EGARCH et les modèles exponentiels à volatilité stochastique en temps discret et continu.GARCH, stochastic volatility, state-space, SR-SARV, aggregation, asset returns, diffusion processes, infinitesimal generator, Eigenfunctions, GARCH, volatilité stochastique, espace-état, SR-SARV, agrégation, rendements d'actifs, processus de diffusion, générateur infinitésimal, fonctions propres