Spectral analysis and an area-preserving extension of a piecewise linear intermittent map

We investigate spectral properties of a 1-dimensional piecewise linear intermittent map, which has not only a marginal fixed point but also a singular structure suppressing injections of the orbits into neighborhoods of the marginal fixed point. We explicitly derive generalized eigenvalues and eigenfunctions of the Frobenius--Perron operator of the map for classes of observables and piecewise constant initial densities, and it is found that the Frobenius--Perron operator has two simple real eigenvalues 1 and $\lambda_d \in (-1,0)$, and a continuous spectrum on the real line $[0,1]$. From these spectral properties, we also found that this system exhibits power law decay of correlations. This analytical result is found to be in a good agreement with numerical simulations. Moreover, the system can be extended to an area-preserving invertible map defined on the unit square. This extended system is similar to the baker transformation, but does not satisfy hyperbolicity. A relation between this area-preserving map and a billiard system is also discussed.Comment: 12 pages, 3 figure

Właściwości termiczne kompozytów Ti-Al-C uzyskanych z wykorzystaniem metody udarowego zagęszczania na gorąco

Hot shock compaction method was utilized for the consolidation of MAX phase composites consisting of Ti, Al and C. This paper presents the production of dense, crack-free composites by combining the combustion synthesis with explosive detonation. Another objective is to investigate various properties of the obtained shock-compacts. The shock compacted materials were post-annealed at 1173 K for releasing the shock-induced strain. As a result, these compacts had strong interparticle bonding strength and few macro cracks. Intermetallic compounds (TiAl, Ti2Al and Ti3Al) and non-oxide ceramics (TiC and Ti4Al2C2) were detected in as-synthesized and annealed materials by X-ray diffraction experiments. Also, lamella structures of Ti4Al2C2 phase were observed by SEM. It was known that the coefficient of thermal expansion increased with increasing temperature, and decreased with increasing TiC content.Metodę udarowego zagęszczania na gorąco wykorzystano do konsolidacji fazy MAX kompozytów na bazie Ti, Al oraz C. Celem przeprowadzonych badań było wytworzenie zagęszczonych, wolnych od pęknięć kompozytów oraz analiza ich właściwości. Zagęszczone z wykorzystaniem technik udarowych materiały wstępnie wyżarzono w 1173 K w celu usunięcia skutków odkształcenia udarowego. Uzyskany materiał charakteryzował się silnym wiązaniem międzycząsteczkowym, ale zaobserwowano równie występowanie mikropęknięć. W syntezowanych i wyżarzonych materiałach, wykorzystaniem techniki dyfrakcji promieni rentgenowskich stwierdzono obecność związków międzymetalicznych typu TiAl, Ti2Al oraz Ti3Al, a także ceramik wolnych od tlenków typu TiC oraz Ti4Al2C2. Przy pomocy SEM analizowanor ównież warstwową strukturę fazy Ti4Al2C2. Zaobserwowano również, iż współczynnik wydłużenia cieplnego wzrastał wraz ze wzrostem temperatury i obniżał się wraz ze zmniejszaniem się koncentracji TiC