Dynamic transient analysis of the reactor core barrel due to sudden rupture of the recirculation line piping

We have analyzed sudden rupture of the primary cooling loop which causes a water hammer event for the reactor core barrel. Assuming that core barrel is a thin shell, we have performed dynamic stress and strain calculations in the frequency domain. The Duhamel integral was used to calculate the transient response of a shell to an impulse load caused by the water hammer event. The results obtained were used to estimate structural stability of the core barre

Application of exponential functions in weighted residuals method in structural mechanics. Part II: static and vibration analysis of rectangular plate

Дослідження є продовженням наших зусиль щодо застосування спеціально побудованих наборів послідовних експоненціальних функцій як пробних (базисних) функцій в методі зважених нев’язок (МЗН) на прикладі класичних задач конструкційної механіки. Стаття не направлена на отримання нових результатів, а присвячена обґрунтуванню ефективності запропонованого методу. Розглядаються статична деформація та вільні коливання ізотропної тонкостінної квадратної пластини. Особливістю роботи є вибір вагових (перевірочних) функцій втрьох варіантах: як пробних функцій (метод Гальоркіна, МГ); як функцій, що є результатом застосування диференціального оператора до пробних функцій (метод найменших квадратів, МНК); як функцій, які є добутком других похідних від пробних функцій по x і y (метод моментів, ММ). Розв’язок будується як добуток двох незалежних множин функцій відносно координат x та y. Кожна множина є комбінацією п'яти послідовних експоненціальних функцій, де перший коефіцієнт дорівнює 1, а чотири інші коефіцієнти визначаються з граничних умов на протилежних сторонах пластини. Довільним параметром в методі є коефіцієнт масштабування в показниках, розумний діапазон якого ретельно досліджено і показано його вплив на результати. Статична деформація досліджена на прикладі простої шарнірно-опертої пластини, коли зовнішнє навантаження або симетричне і зосереджене поблизу центру пластини, або зміщене від центра добудь-якої кутової точки. Продемонстровано, що результати сходяться до точного рішення швидше, ніж у класичному методі Нав'є. ММ та МНК дають кращу точність при визначенні згинаючих моментів, ніж МГ. Запропонований метод застосований до аналізу вільних коливань пластини, точність результатів визначення власних частот є відмінною навіть при невеликій кількості членів ряду. Проаналізовано порівняно складний випадок – вільні коливання защемленої на всіх сторонах пластини, досягнуто дуже хороших результатів щодо ефективності та точності.The paper is continuation of our efforts on application of the properly constructed sets of exponential functions as the trial (basic) functions in weighted residuals method, WRM, on example of classical tasks of structural mechanics. The purpose of thispaper is justification of new method’s efficiency as opposed to getting new results. So, static deformation and free vibration of iso-tropic thin – walled plate are considered here. Another peculiarity of paper is choice of weight (test) functions, where three options are investigated: it is the same as trial one (Galerkin method); it is taken as results of application of differential operator to trial function (least square method); it equals to the second derivative of trial function with respect to both x and y coordinate (moment method). Solution is considered as product of two independent sets of functions with respect to x or y coordinates. Each set is the combination of five consequent exponential functions, where coefficient at first function is equal to one, and four other coefficients are to satisfy two boundary conditions at each opposite boundary. The only arbitrary value in this method is the scaling factor at exponents, the reasonable range of which was carefully investigated and was shown to have a negligible impact on results. Static deformation was investigated on example of simple supported plate when outer loading is either symmetrical and concentrated near the center or is shifted to any corner point. It was demonstrated that results converge to correct solution much quickly than in classical Navier method, while moment method seems to be a best choice. Then method was applied to free vibration analysis, andagain the accuracy of results on frequencies and mode shape were excellent even at small number of terms. At last the vibration of relatively complicated case of clamped-clamped plate was analyzed and very encouraged results as to efficiency and accuracy were achieved.Данное исследование является продолжением наших усилий по применению специально построенных наборов последовательных экспоненциальных функций как пробных (базисных) функций в методе взвешенных невязок (МВН) на примере классических задач структурной механики. Статья ненаправлена на получение новых результатов, а посвящена обоснованию эффективности предлагаемого метода. Рассматриваются статическая деформация и свободные колебания изотропной тонкостенной квадратной пластины. Особенностью работы является выбор весовых (поверочных) функций в трех вариантах: как пробных функций (метод Галеркина, МГ); как функций, являющихся результатом применения диффе-ренциального оператора к пробным функций (метод наименьших квадратов, МНК); как функций, являющихся произведениями вторых производных от пробных функций по x и y (методмоментов, ММ). Решение строится как произведение двух независимых множеств функций относительно координат x и y. Каждое множество представляет собой комбинацию пяти последовательных экспоненциальных функций, в которой первый коэффициент равен 1, а четыре другие коэффициента определяются из граничных условий на противоположных сторонах пластины. Произвольным параметром в методе является коэффициент масштабирования в показателях, разумный диапазон которого тщательно исследовался, и показано его влияние на результаты. Статическая деформация исследована на примере простой шарнирно-опертой пластины, когда внешняя нагрузка или симметрична и сосредоточена в близи центра пластины, или смещена от центра к произвольной угловой точке. Продемонстрировано, что результаты сходятся к точному решению быстрее, чем в классическом методе Навье. ММ и МНК дают лучшую точность при определении изгибающих моментов, чем МГ. Предложенный метод применен к анализу свободных колебаний пластины, точность результатов определения собственных частот является отличной даже при небольшом количестве членов ряда. Проанализированы сравнительно сложный случай - свободные колебания защемленной по всем сторонам пластины, достигнуты очень хорошие результаты по эффективности и точности

Application of exponential functions in weighted residuals method in structural mechanics. Part 1: axisymmetrical shell problem

Метод зважених нев’язок набув широкої популярності протягом останніх років, особливо завдяки застосуванню в методах скінчених елементів. Він полягає в наближеному виконанні диференціальних рівнянь, тоді як граничні умови мають виконуватись точно. Ця мета досягається правильним вибором множин пробних (базових) функцій, які дають нев’язки. Нев’язки множать навагові функції та мінімізують, інтегруючи по всій області задачі. Множина пробних і вагових функцій визначає особливість та переваги кожного конкретного методу. Найбільш популярним є вибір пробних і вагових функцій у вигляді тригонометричних або поліноміальних функцій. У двовимірних задачах часто використовуються так звані “балочні функції”, які є рішеннями більш простих одновимірних задач для балки. В даній методичній роботі ми досліджуємо можливість використання множин функцій, побудованих на послідовних експо-ненціальних функціях, які точно задовольняють граничним умовам. Метод досліджено на прикладі простої осесиметричної задачі оболонки, точне рішення якої відоме для будь-якого навантаження. Для кількох прикладів розподіленого або концентрованого навантаження запропонований метод порівнюється з аналогічним методом Нав'є, в якому використовуються тригонометричні функції. Також ретельно досліджується правильний вибір вагових функцій. Зазначається, що запропоновані множини симетричних чи антисиметричних експоненціальних функцій мають хорошу перспективу для застосування в більш складних задачах структурної механіки.Weighted residuals method gained a wide popularity during last years especially due to its application in finite element methods. Its goal is in approximate satisfaction of the governingfferential equations while boundary conditions are to be fulfilled exactly. This goal is achieved by the proper choice of the sets of so-called trial (basic) functions which give the residuals. Residuals are multiplied by weight functions and minimized by integration over the whole area of task. In fact, they determine the peculiarity and advantages of each particular method. Most popular is the choice of trial and weight (test) function as the trigonometric and polynomial functions. In 2D applications so-called “beam functions” are often used, which are solutions of much simpler 1D problems for beam. In this methodological paper we explore the possibility of using the sets of functions constructed on the consequent exponential func-tions, which satisfy boundary conditions. The method is investigated on example of very simple 1D axisymmetrical task for shell, where exact solution exists for any loading. For several examples of distributed or concentrated loading the proposed method is compared with similar Navier’s method, which is the expansion on trigonometric functions. Also the proper choice of weight functions is carefully investigated. It is noted, that proposed sets (symmetrical or asymmetrical) of exponential functions has a good perspective in applica-tion for more complicated problems in structural mechanics.Метод взвешенных невязок приобрел широкую популярность в последние годы, особенно благодаря применению в методах конечных элементов. Он состоит в приближенном выполнении дифференциальных уравнений, тогда как граничные условия должны выполняться точно. Эта цель достигается правильным выбором множества пробных (базовых) функ-ций, которые дают невязки. Невязки умножают навесовые функциии минимизируют, интегрируя по всей области задачи. Множество пробных и весовых функций определяет особенность и преимущества каждого конкретного метода. Наиболее популярным является выбор пробных и весовых функций в виде тригонометрических и липолиномиальных функций. Вдвумерных задачах часто используются так называемые "балочные функции", которые являются решениями более простых одномерных задач для балки. В данной методической работе мы исследуем возможность использования множеств функций, построенных на последовательных экспоненциальных функциях, которые точно удовлетворяют граничным условиям. Метод исследован на примере простой осесимметричной задачи оболочки, точное решение которой известно для любой нагрузки. Для нескольких примеров распределенной или концентрированной нагрузки предложенный метод сравн ивается с аналогичным методом Навье, в котором используются тригонометрические функции. Также тщательно исследуется правильный выбор весовых функций. Отмечается, что предложенные множества симметричных или антисимметричных экспоненциальных функций имеют хорошую перспективу для применения в более сложных задачах структурной механики

Application of exponential functions in weighted residuals method in structural mechanics. Part 3: infinite cylindrical shell under concentrated force

Рішення для циліндричної оболонки під дією зосередженої сили є однією з основних проблем, яка дозволяє розглянути багато інших випадків навантаження та геометрії. Існуючі рішення базувались на спрощених припущеннях, і діапазони їх точності досі залишаються невідомими. Загальна ідея полягає в розкладі їх у ряди Фур'є за окружною координатою. Це зводить задачу до диференційного рівняння 8-го порядку відносно осьової координати. Проте знаходження відповідних 8 власних функцій та точне співвідношення 8 констант інтегрування з граничними умовами все ще перевищують можливості аналітичної обробки. У цій роботі ми застосовуємо затухаючі експоненційні функції у галеркінській версії методу зважених нев’язок (МЗН) до вказаного вище рівняння 8-го порядку. Отже, ми будуємо набори базисних функцій, кожна з яких задовольняє граничним умовам, а також окружному і осьовому рівнянням рівноваги. Останні дають взаємозалежності між коефіцієнтами окружних та осьових переміщень з радіальними. Що стосується радіальної рівноваги, то вона задовольняється лише приблизно за рахунок мінімізації нев’язок. Подібним чином ми розробили методику застосування Нав'є-подібної версії МЗН. Результати та особливості застосування МЗН детально обговорюються для концентрованого навантаження виду cos2, що методологічно є найскладнішим випадком, оскільки воно охоплює найбільшу відстань над циліндром. Рішення для нього чітко демонструє два типи поведінки - довгохвильову та короткохвильову, аналітична методика їх побудови була розроблена першим автором в іншій роботі, і тут успішно порівняна. Цей приклад демонструє відмінну точність двох напів аналітичних методів, Нав’є та МЗН. Було показано, що метод Нав'є, хоч і є простішим у реалізації, все ж вимагає набагато більше доданків (принаймні, на два порядки), ніж метод зважених нев’язок з використанням експоненційних функцій.Solution for cylindrical shell under concentrated force is a fundamental problem which allow to consider many other cases of loading and geometries. Existing solutions were based on simplified assumptions, and the ranges of accuracy of them still remains unknown. The common idea is the expansion of them into Fourier series with respect to circumferential coordinate. This reduces the problem to 8th order even differential equation as to axial coordinate. Yet the finding of relevant 8 eigenfunctions and exact relation of 8 constant of integrations with boundary conditions are still beyond the possibilities of analytical treatment. In this paper we apply the decaying exponential functions in Galerkin-like version of weighted residual method to above-mentioned 8th order equation. So, we construct the sets of basic functions each to satisfy boundary conditions as well as axial and circumferential equilibrium equations. The latter gives interdependencies between the coefficients of circumferential and axial displacements with the radial ones. As to radial equilibrium, it is satisfied only approximately by minimizations of residuals. In similar way we developed technique for application of Navier like version of WRM. The results and peculiarities of WRM application are discussed in details for cos2 concentrated loading, which methodologically is the most complicated case, because it embraces the longest distance over the cylinder. The solution for it clearly exhibits two types of behaviors – long-wave and short-wave ones, the analytical technique of treatment of them was developed by first author elsewhere, and here was successfully compared. This example demonstrates the superior accuracy of two semi analytical WRM methods. It was shown that Navier method while being simpler in realization still requires much more (at least by two orders) terms than exponential functions.Решение для цилиндрической оболочки под действием сосредоточенной силы является одной из фундаментальных проблем, которая позволяет рассматривать многие другие случаи нагружения и геометрии. Существующие решения были основаны на упрощенных предположениях, и диапазоны их точности до сих пор остаются неизвестными. Общей идеей является разложение их в ряд Фурье по окружной координате. Это сводит задачу к дифференциальному уравнению 8-го порядка по осевой координате. Тем не менее, поиск соответствующих 8 собственных функций и точной связи 8 констант интегрирования с граничными условиями все еще находится за пределами возможностей аналитического решения. В этой статье мы применяем затухающие экспоненциальные функции в галеркинской версии метода взвешенных невязок (МВН) к указанному уравнению 8-гопорядка. Наборы базисных функций строятся так, что каждая из них удовлетворяет граничным условиям, а так же уравнениям осевого и окружного равновесия. Последние дают в заимозависимости коэффициентов окружных и осевых перемещений с радиальными. Что касается радиального равновесия, то оно достигается только приближенно за счет минимизации невязок. Аналогичным образом мы разработали методику применения Навье-подобной вер-сии МВН. Подробно обсуждаются результаты и особенности применения МВН для сосредоточенной нагрузки вида cos2, которая методически является наиболее сложным случаем, поскольку охватывает наибольшее расстояние по цилиндру. Решение для него явно демонстрирует два типа поведения - длинноволновое и коротковолновое, аналитическая методика их построения была разработана первым автором в другой работе, и здесь было успешно проведено сравнение. Этот пример демонстрирует превосходную точность двух полуаналитических методов, Навьеи МВН. Показано, что метод Навье, будучи более простым в реализации, все же требует гораздо больше слагаемых (по крайней мере, на два порядка), чем метод взвешенных невязок с использованием экспоненциальных функций

Вплив розвитку поздовжніх зміщень ґрунту на напружений стан підземних ділянок трубопроводів в зонах шахтних виробіток

The paper deals with stress-strain state calculation of buried pipelines in the areas of coal mining. The effective algorithm for axial strain and displacement calculation based on notions of basic and correction solution was developed. The basic solution is algebraically corrected after each iteration step for correction solution, which obtained by numerically efficient transfer matrix method. A numerical iterative procedure for taking into account of the history of longitudinal soil displacements during mining is developed. It was found that the ignoring of the history of longitudinal soil displacements can cause to a significant underestimation of the stress state of the pipeline.В статье рассматривается расчет напряженного состояния подземных трубопроводов в районах шахтных выработок. Разработан эффективный алгоритм расчета осевых деформаций и смещений на основе понятий базового и корректирующего решений. Базовое решение алгебраически исправляется после каждого шага итерации для решения коррекции, которое получается с помощью численно эффективного метода передаточной матрицы. Разработана численная итерационная процедура учета истории продольных перемещений грунта при выработке шахтных лав. Обнаружено, что игнорирование истории продольных перемещений грунта может привести к значительной недооценке напряженного состояния трубопровода.Шахтні виробітки можуть представляти значну загрозу цілісності трубопроводів. Існують три складові, які кількісно визначають розподіл напружень вздовж трубопроводу - функція переміщення ґрунту по осі трубопроводу; фізичний закон взаємодії ґрунту і труби через їх відносні зсуви; осьова деформація стінок труби як реакція на осьові напруження. Всі три з них, як правило, добре зрозумілі, однак прогнозування напружень у таких трубопроводах залишається значною проблемою. Насамперед це пов’язано з наступними факторами. По-перше, дуже нелінійний закон взаємодії труба-ґрунт при великій протяжності трубопроводу; по-друге, зазвичай історія розвитку зміщень земної поверхні в процесі відпрацювання шахтних виробіток не враховується, хоча вона може відігравати важливе значення. В даній роботі представлено ефективний алгоритм розрахунку осьових сил та переміщень на основі понять базового та корекційного розв'язків. Виконано модернізацію алгоритму шляхом введення історії розвитку поздовжніх зміщень ґрунту під час відпрацювання шахтної виробітки. Наведено приклади розрахунку напруженого стану газопроводу поздовжнього орієнтованого (паралельного) відносно напрямку шахтної виробітки. Показано вплив врахування історії розвитку поздовжніх зміщень ґрунту на напружений стан газопровод