О гипотезе Лассака для выпуклого тела

In 1993 M. Lassak formulated (in the equivalent form) the following conjecture. If we can inscribe a translate of the cube $[0,1]^n$ into a convex body $C \subset R^n$, then $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\omega_i} \geq 1$. Here $\omega_i$ denotes the width of $C$ in the direction of the ith coordinate axis. The paper contains a new proof of this statement for n = 2. Also we show that if a translate of $[0,1]^n$ can be inscribed into the n-dimensional simplex, then for this simplex holds $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\omega_i} = 1$.В 1993 г. М. Лассак сформулировал (в эквивалентном виде) следующую гипотезу. Если в выпуклое тело $C \subset R^n$ можно вписать транслят куба $[0,1]^n$, то $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\omega_i} \geq 1$. Здесь $\omega_i$ - ширина $C$ в направлении i-й координатной оси. В статье даётся новое доказательство этого утверждения для n = 2. Также мы показываем, что для n-мерного симплекса, в который можно вписать транслят $[0,1]^n$, справедливо $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\omega_i} = 1$

Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции

We prove some new inequalities for the norms of projections due to the polynomial interpolation of continuous functions of n variables.Доказываются новые геометрические оценки для проекторов, связанных с полиномиальной интерполяцией непрерывных функций n переменных

Об одной задаче для симплекса и куба в Rⁿ

Let S be a nondegenerate simplex in Rⁿ. Denote by α(S) the minimal σ > 0 such that the unit cube Qn:= [0, 1]ⁿ is contained in a translate of σS. In the case α(S) ≠ 1 the translate of α(S)S containing Qn is a homothetic copy of S with the homothety center at some point x ∈ Rⁿ . We obtain the following computational formula for x. Denote by x (j) (j = 1, . . . , n+ 1) the vertices of S. Let A be the matrix of order n+ 1 with the rows consisting of the coordinates of x (j) ; the last column of A consists of 1’s. Suppose that A−1 = (lIj ). Then the coordinates of x are the numbersxk = Pn+1 j=1 ( Pn i=1 |lij |) x (j) k − 1 Pn i=1 Pn+1 j=1 |lij | − 2 (k = 1, . . . , n).Since α(S) ≠ 1, the denominator from the right-hand part of this equality is not equal to zero. Also we give the estimates for norms of projections dealing with the linear interpolation of continuous functions defined on Qn.Пусть S — невырожденный симплекс в Rⁿ. Обозначим через α(S) минимальное σ > 0 такое, что единичный куб Qn := [0, 1]ⁿ принадлежит трансляту σS. В случае α(S) ≠ 1 транслят α(S)S, содержащий Qn, есть образ S при гомотетии с центром в некоторой точке x ∈ Rⁿ . В статье получена следующая формула для вычисления x. Обозначим через x (j) (j = 1, . . . , n + 1) вершины S. Пусть A — матрица порядка n + 1, строки которой содержат координаты x (j) ; последний столбец A состоит из 1. Предположим, что A¯¹ = (lij). Тогда координаты x суть числаxk = Pn+1 j=1 ( Pn i=1 |lij |) x (j) k − 1 Pn i=1 Pn+1 j=1 |lij | − 2 (k = 1, . . . , n).В силу условия α(S) ≠ 1 знаменатель, стоящий в правой части этого равенства, отличен от нуля. Приводятся также оценки для норм проекторов при линейной интерполяции непрерывных функций, заданных на Qn

О геометрических характеристиках n-мерного симплекса

We prove and discuss some propositions for geometric characteristics of an n-dimensional simplex. Also we note the connection with linear interpolation on the cube [0; 1]^n.Доказываются и обсуждаются некоторые соотношения для геометрических характеристик n-мерного симплекса. Отмечается связь с линейной интерполяцией на кубе [0,1]n

О числовых характеристиках симплекса и их оценках

Let $n\in {\mathbb N}$, and let $Q_n=[0,1]^n$ be the $n$-dimensionalunit cube. For a nondegenerate simplex $S\subset {\mathbb R}^n$, by$\sigma S$ we denote the homothetic image of $S$with the center of homothety in the center of gravity of S and theratio of homothety $\sigma$. We apply the followingnumerical characteristics of the simplex.Denote by $\xi(S)$ the minimal \sigma>0 with the property$Q_n\subset \sigma S$. By $\alpha(S)$ we denote the minimal\sigma>0 such that $Q_n$ is contained in a translateof a simplex $\sigma S$.By $d_i(S)$ we mean the $i$th axial diameter of $S$, i.\,e.the maximum length of a segment contained in $S$ and parallelto the $i$th coordinate axis. We apply the computationalformulae for$\xi(S)$, $\alpha(S)$, $d_i(S)$ which have been proved by the firstauthor. In the paper we discuss the case $S\subset Q_n$.Let$\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}.$Earlier the first author formulated the conjecture:{\it if$\xi(S)=\xi_n$, then $\alpha(S)=\xi(S)$.} He proved this statementfor $n=2$ and the case when $n+1$ is an Hadamard number, i.\,e.there exists an Hadamard matrix of order $n+1$. The followingconjecture is a strongerproposition: {\it for each $n$,there exist $\gamma\geq 1$, not depending on $S\subset Q_n$, such that$\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).$}By $\varkappa_n$ we denote the minimal$\gamma$ with such a property.If $n+1$ is an Hadamard number, then the precise value of $\varkappa_n$is 1. The existence of $\varkappa_n$ for other $n$was unclear. In this paper with the use of computer methods we obtainan equality$$\varkappa_2 = \frac{5+2\sqrt{5}}{3}=3.1573\ldots$$Also we prove a new estimate$$\xi_4\leq \frac{19+5\sqrt{13}}{9}=4.1141\ldots,$$which improves the earlier result $\xi_4\leq \frac{13}{3}=4.33\ldots$Our conjecture is that $\xi_4$ is precisely$\frac{19+5\sqrt{13}}{9}$. Applying this valuein numerical computations we achive the value$$\varkappa_4 = \frac{4+\sqrt{13}}{5}=1.5211\ldots$$Denote by $\theta_n$ the minimal normof interpolation projection on the space of linear functions of $n$variables as an operator from$C(Q_n)$in $C(Q_n)$. It is known that, for each $n$,$$\xi_n\leq \frac{n+1}{2}\left(\theta_n-1\right)+1,$$and for $n=1,2,3,7$ here we have an equality.Using computer methods we obtain the result $\theta_4=\frac{7}{3}$.Hence, the minimal $n$ such that the above inequality has a strong formis equal to 4.%, a principal architecture of common purpose CPU and its main components are discussed, CPUs evolution is considered and drawbacks that prevent future CPU development are mentioned. Further, solutions proposed so far are addressed and new CPU architecture is introduced. The proposed architecture is based on wireless cache access that enables reliable interaction between cores in multicore CPUs using terahertz band, 0.1-10THz. The presented architecture addresses the scalability problem of existing processors and may potentially allow to scale them to tens of cores. As in-depth analysis of the applicability of suggested architecture requires accurate prediction of traffic in current and next generations of processors we then consider a set of approaches for traffic estimation in modern CPUs discussing their benefits and drawbacks. The authors identify traffic measurements using existing software tools as the most promising approach for traffic estimation, and use Intel Performance Counter Monitor for this purpose. Three types of CPU loads are considered including two artificial tests and background system load. For each load type the amount of data transmitted through the L2-L3 interface is reported for various input parameters including the number of active cores and their dependences on number of cores and operational frequency.Пусть $n\in {\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$ --- $n$-мерныйединичный куб. Для невырожденного симплекса $S\subset {\mathbb R}^n$ через$\sigma S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести $S$с~коэффициентом гомотетии $\sigma$. В работе рассматриваются следующие числовые характеристики симплекса. Обозначим через $\xi(S)$ минимальное \sigma>0, такое что $Q_n\subset \sigma S$. Через $\alpha(S)$ обозначим минимальное \sigma>0, при котором $Q_n$ принадлежит трансляту симплекса $\sigma S$.Пусть $d_i(S)$ --- \linebreak $i$-й осевой диаметр $S$, т.\,е. максимальная длина отрезка, принадлежащего $S$ и параллельного $i$-й координатной оси. Применяются формулы для вычиcления $\xi(S)$, $\alpha(S)$, $d_i(S)$, полученные ранее первым автором. В~статье рассматривается случай $S\subset Q_n$.Пусть $\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}.$В работах первого автора была сформулирована гипотеза: если $\xi(S)=\xi_n$, то $\alpha(S)=\xi(S)$. Это утверждение было доказано им для $n=2$ и~случая, когда $n+1$ --- число Адамара, т.\,е. существует матрица Адамара порядка $n+1$. Более сильным утверждением является следующая гипотеза: для любого $n$ существует константа $\gamma \geq 1$, не зависящая от $S\subset Q_n$, с которой выполняется неравенство $\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).$Минимальное $\gamma$ c этим свойством обозначается через $\varkappa_n$.Если $n+1$ --- число Адамара, то точное значение $\varkappa_n$ равно 1.Существование $\varkappa_n$ для других $n$ было неясным. В работе с помощью компьютерных методов устанавливается, что $$\varkappa_2 = \frac{5+2\sqrt{5}}{3}=3.1573\ldots$$Доказывается новая оценка$$\xi_4\leq \frac{19+5\sqrt{13}}{9}=4.1141\ldots,$$улучшающая прежний результат $\xi_4\leq \frac{13}{3}=4.33\ldots$Высказывается предположение, что $\xi_4$ в точности равно$\frac{19+5\sqrt{13}}{9}$. Использование этого значения в компьютерных вычислениях даёт значение$$\varkappa_4 = \frac{4+\sqrt{13}}{5}=1.5211\ldots$$Пусть $\theta_n$ --- минимальная величина нормы интерполяционного проектора на пространство линейных функций $n$ переменных как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$. Известно, что при любом $n$$$\xi_n\leq \frac{n+1}{2}\left(\theta_n-1\right)+1,$$причём для $n=1,2,3,7$ в этом соотношении достигается равенство.Применение компьютера даёт результат $\theta_4=\frac{7}{3}$.Отсюда следует, что минимальное значение $n$, при котором в последнем соотношении выполняется строгое неравенство, равно 4

Principles and Criteria of Phytocenotic Diversity Conservation (Through the Example of European Countries and Russia)

The article presents the review of currently existing views on the problem of phytocoenotic diversity protection in European countries and Russia. The principles and criteria for the identification of rare plant communities in need of protection, used by scientists from different countries are described. The authors had defined already published works of a monographic nature and projects, containing the information on the phytocenotic diversity of Europe in need of protection, and Green Books, published in the Russian Federation. Special attention is paid to the determination process of plant communities. It is noted that nowadays there is no single concept for the creation of Green Books. The phytocenosis protection inventories created in European countries that have a legislative basis, the Russian Green Books include vegetation monitoring data and have no legal basis

Structure phase states formation of Ti-Y surface layer by electro explosion and electron-beam treatment

A titanium-yttrium composite surface layer is formed on pure titanium surface by electro explosion and electron-beam treatments. The composite consists of titanium-rich and yttrium-rich eutectic microstructures. Both eutectics are in non-equilibrium state with their chemical constitution deviation from that in equilibrium phase diagram. The surface layer increases the surface hardness by three times, decreases the friction coefficient by 3 times and reduces the ware rate by 4 times in comparison with that of the surface of pure titanium

On Some Results in the Geometry of Convex Bodies and their Applications

We give a survey of some results in the geometry of convex bodies and their applications.</p

On Geometric Characteristics of an <i>n</i>-Dimensional Simplex

We prove and discuss some propositions for geometric characteristics of an n-dimensional simplex. Also we note the connection with linear interpolation on the cube [0; 1]^n

On Some Results in the Geometry of Convex Bodies and their Applications

We give a survey of some results in the geometry of convex bodies and their applications