Verallgemeinerte Tikhonov-Regularisierung: Topologische Aspekte und notwendige Bedingungen

A central point in the theory of inverse problems is describing nearness in the data space. Based on the assumption that describing nearness and convergence in terms of real valued functionals, this thesis discusses prametrics as similarity measure and studies properties of thereby constructed sequential convergence structures and topologies. In particular, it pursues the question, when the sequential convergence structure induced by a prametric is topological. In this case the prametric topology is maximal amongst all inducing topologies. In addition, the present thesis aims at necessary conditions to form a Tikhonov type regularization method from the involved mathematical objects. As preliminary work, essential terms are adapted to a mixed setting of sequential convergence spaces and topological spaces. Further, a standard set of sufficient conditions is extended to sequential convergence spaces and it is studied, when these conditions are satisfiable in a purely topological setting. There for so called bottom slice topologies are constructed, which are themselves promising candidates for a data space topology. Finally a closer look on the example of Bregman distance based Bregman prametrics is taken.Ein zentraler Punkt in der Theorie inverser Probleme ist die Beschreibung von Nähe im Datenraum. Ausgehend von der These, dass eine Beschreibung von Nähe und Konvergenz durch reellwertige Funktionale wünschenswert ist, werden Prametriken als Ähnlichkeitsmaß diskutiert und Eigenschaften daraus konstruierter sequentieller Konvergenzstrukturen und Topologien untersucht. Insbesondere wird der Frage nachgegangen, wann die von einer Prametrik induzierte sequentielle Konvergenzstruktur topologisch ist. In diesem Fall ist die prametrische Topologie eine maximale induzierende Topologie. Weiter zielt die Arbeit auf notwendige Bedingungen an Diskrepanz- und Regularisierungsfunktional, sowie topologische Strukturen auf Urbild- und Datenraum ab, um daraus ein Regularisierungsverfahren vom Tikhonov-Typ realisieren zu können. Als Vorarbeit dazu werden hierfür zentrale Begriffe an ein gemischtes Setting aus Topologien und sequentiellen Konvergenzräumen adaptiert. Des Weiteren wird ein Satz von hinreichenden Standardbedingungen für von Prametriken induzierte sequentielle Konvergenzstrukturen im Datenraum erweitert und dessen Erfüllbarkeit in einem rein topologische Rahmen untersucht. Dafür werden sogenannte Bottom-Slice-Topologien konstruiert, die auch für sich selbst als Kandidaten Topologien auf dem Datenraum interessant sind. Abschließend werden auf verallgemeinerten Bregmanabständen basierende Bregmanprametriken näher untersucht

Necessary conditions for variational regularization schemes

We study variational regularization methods in a general framework, more precisely those methods that use a discrepancy and a regularization functional. While several sets of sufficient conditions are known to obtain a regularization method, we start with an investigation of the converse question: How could necessary conditions for a variational method to provide a regularization method look like? To this end, we formalize the notion of a variational scheme and start with comparison of three different instances of variational methods. Then we focus on the data space model and investigate the role and interplay of the topological structure, the convergence notion and the discrepancy functional. Especially, we deduce necessary conditions for the discrepancy functional to fulfill usual continuity assumptions. The results are applied to discrepancy functionals given by Bregman distances and especially to the Kullback-Leibler divergence.Comment: To appear in Inverse Problem