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Une méthode d'éléments finis adaptative pour les écoulements instationnaires complexes
Résumé
Nous présentons dans cette thèse le développement d’une procédure générale de résolution
des écoulements instationnaires de fluides Newtoniens, construite à partir de la méthode
des éléments finis. Ces travaux s’identifiant toutefois davantage à une preuve de concept, la
procédure a été formulée dans un contexte 2D uniquement. Cette procédure a pour objectif
général de répondre à la difficulté rarement mentionnée de simuler tant adéquatement
qu’efficacement cette classe d’écoulements. Pour ce faire, des méthodes adaptatives en espace
(adaptation de maillage) et en temps (intégration temporelle adaptative), dont la pertinence
a été longuement éprouvée au cours de travaux de recherche antérieurs, sont mises à profit.
Se faisant, nous entendons apporter des garanties de précision sur les résultats obtenus, et
optimiser le coût de calcul en cours de simulation. La procédure adaptative ainsi mise en
place est complètement automatique. Aucune intervention de l’utilisateur n’est donc requise
entre l’instant initial et final de l’intervalle de temps simulé. Des procédures similaires ont
déjà été proposées dans la littérature, mais l’originalité de celle exposée dans ces pages réside
dans le choix et le fonctionnement de ses composantes. Nous avons Ă©galement mis un
accent tout particulier sur la question du transfert d’une solution éléments finis entre deux
maillages. Cette opération intervenant après chaque adaptation de maillage, il convient de
pouvoir contrôler les inévitables erreurs qui en résultent.
L’adaptation du maillage, combinant une méthode de type h et une méthode de type r,
permet d’ajuster localement la finesse du maillage au cours de la simulation, tout en préservant
sa qualité d’ensemble. La méthode de type h repose sur une estimation de l’erreur
spatiale (commise sur chaque élément du domaine de calcul), déduite d’une reconstruction
des gradients de la solution éléments finis sur des patchs nodales. Selon le nombre de variables
dépendantes actives pour le problème simulé, l’erreur spatiale peut s’exprimer sous la forme
d’une ou plusieurs norme(s) d’erreur (approche mononorme et multinorme, respectivement).
L’usage d’un opérateur de transition, dont la formulation vise une équidistribution de l’erreur
élémentaire pour chaque norme d’erreur, permet de déterminer la taille optimale de chaque
élément du maillage. Qui plus est, nous avons utilisé la formulation de l’opérateur de transition
pour identifier les éléments du maillage les plus problématiques, soient ceux dont la
taille optimale est sensiblement différente de leur taille courante. En retirant uniquement du
maillage courant ces éléments et leurs voisins, nous générons ainsi des poches (ou cavités) que
nous discrétisons à nouveau avec des éléments d’une taille plus adaptée. Un mailleur frontal
est utilisé pour conduire cette dernière opération. La méthode d’adaptation de maillage de
type r, résultant de la combinaison de plusieurs méthodes de relaxation de maillage, est finalement appliquée pour maintenir la qualité d’ensemble des éléments du maillage. Ici encore,
nous proposons une formulation locale de cette deuxième méthode d’adaptation, en nous appuyant
sur une métrique de qualité élémentaire bien choisie. La relaxation du maillage peut
ainsi être réalisée uniquement dans les régions du domaine qui le nécessitent. Dans l’ensemble
nous proposons et utilisons donc une méthode d’adaptation locale du maillage, de type hr.
Cette approche va dans le sens de la réduction des erreurs de transfert, puisqu’aucun transfert
de la solution n’est nécessaire sur les éléments préservés par l’adaptation locale du maillage.
De la même façon, cette approche accélère la génération des différents maillages. Par ailleurs,
des critères d’arrêt sont utilisés pour déclencher automatiquement les cycles d’adaptation de
maillage lorsque cela s’avère nécessaire. Ces critères nécessitent une estimation de l’erreur
spatiale à chaque pas de temps, et impliquent la surveillance de plusieurs quantités scalaires
dérivant de cette estimation.
L’intégration temporelle adaptative repose quant à elle sur un intégrateur temporel
hp-adaptatif, basé sur les méthodes BDF. Il dispose de deux mécanismes principaux. En
premier lieu, une estimation de l’erreur de troncature locale permet d’ajuster la taille h du
pas de temps à l’issue de chaque pas de temps convergé. Dans l’éventualité où la cible renseignée
pour cette erreur ne serait pas atteinte, la solution du pas de temps courant peut ĂŞtre
rejetée, afin d’intégrer à nouveau le pas de temps avec une valeur réduite de h. Un second
mécanisme permet d’ajuster l’ordre p de l’intégrateur temporel (soit le nombre de pas de la
méthode BDF) en fonction de considérations fournies par un indicateur de stabilité. L’ordre
de l’intégrateur est au demeurant toujours compris en 1 et 3. Ce deuxième mécanisme régule
l’utilisation de la méthode d’ordre 3, qui ne possède pas la propriété de stabilité absolue. Les
méthodes BDF d’ordre 2 et 3 n’étant pas auto-démarrantes, nous proposons dans ces travaux
une approche permettant, postérieurement à chaque adaptation de maillage, de relancer
l’intégrateur temporel en conservant les dernières valeurs de h et p utilisées. Pour cela, nous
procédons au transfert de la solution associée à plusieurs pas de temps antérieurs. Cette approche
assure également une forme de continuité pour les mécanismes adaptifs, qui peuvent
ainsi opérer à l’issue du premier pas de temps réalisé après une adaptation du maillage.
Le transfert de la solution d’un maillage à l’autre a été étudié pour plusieurs méthodes
de transfert : l’interpolation linéaire, l’interpolation consistante, et trois formulations de la
projection de Galerkin (ou projection L2). La première formulation de la projection de Galerkin
repose sur l’usage d’un maillage auxiliaire (le supermesh), construit par intersection du
maillage courant et du maillage résultant de son adaptation. Lorsque la frontière du domaine
de calcul est composée exclusivement de segments de droite, cette formulation permet de minimiser
l’erreur de transfert en norme L2, en plus de conserver les intégrales sur le domaine
des variables dépendantes. La deuxième formulation de la projection de Galerkin appliquedes quadratures de Gauss sur l’élément de référence, directement à partir des éléments du
maillage adapté. Bien que globalement moins précise cette deuxième formulation, moyennant
l’usage d’un nombre suffisant de points de Gauss, permet néanmoins l’obtention de résultats
plus précis à proximité des frontières du domaine (ou des interfaces entre fluides) lorsque
celles-ci sont courbes. Partant de ce constat, nous avons également proposé une troisième
formulation de la projection, qualifiée d’hybride car issue de la combinaison des deux premières
formulations. La deuxième formulation est appliquée sur tous les éléments de bord
du maillage adapté, tandis que les éléments restants sont traités via la première formulation.
De plus, nous avons implémenté une projection de Galerkin 1D pour post-traiter la solution
transférée sur les frontières du domaine de calcul. Nous nous sommes aussi intéressés à une
situation particulière : l’usage conjoint d’éléments isoparamétriques d’ordre 2 et d’une formulation
ALE des équations de Navier-Stokes. Dans cette situation les éléments du maillage
courant, au moment de l’adaptation de maillage, sont délimités par des portions de paraboles.
Assurer un transfert de solution suffisamment précis dans ces conditions est une tâche extrêmement
ardue. Nous proposons donc dans ces travaux une stratégie visant à contourner en
partie cette difficulté. La construction d’un maillage hybride, comportant tant des éléments
sub-paramétriques qu’isoparamétriques, est préconisée. Finalement, nous avons développé un
transfert local de la solution, afin de tirer avantage de l’adaptation locale du maillage. Cette
approche permet une réduction substantielle du coût de calcul lié au transfert de la solution,
rendant d’autant plus viable la projection de Galerkin.
Faisant suite à une description détaillée des différentes méthodes évoquées, de nombreux
résultats de vérification et d’analyse sont également présentés dans cette thèse. Nous avons
vérifié en profondeur l’implémentation éléments finis de travail, ainsi que l’implémentation
de certains outils développés dans le courant de nos travaux, dont la projection de Galerkin.
Plusieurs solutions manufacturées ont été utilisées pour ce faire. Des études de convergence
ont été menées pour l’erreur spatiale et temporelle, mais aussi pour l’erreur résultant du
transfert d’une solution entre deux maillages. Cette dernière étude a démontré la supériorité
de la projection de Galerkin vis-à -vis des méthodes d’interpolation. Nous avons également
analysé le comportement des composantes de notre méthode d’adaptation de maillage locale.
La formations des poches à remailler, et la relaxation locale du maillage ont notamment été
étudiées.
Nous illustrons finalement l’utilisation de notre procédure de résolution en considérant quatre
écoulements instationnaires différents : un écoulement laminaire autour d’un cylindre circulaire,
un jet laminaire impactant sur une paroi chauffée, un écoulement turbulent dans un
canal subissant une brusque variation de section (marche descendante), et l’instabilité de
Rayleigh-Taylor entre deux fluides séparés par une interface explicite. La variété de ces problèmes, et la richesse de la physique impliquée dans chacun d’eux, nous a permis d’éprouver
la robustesse et la pertinence des composantes de notre procédure de résolution. Les résultats
montrent que la méthode d’adaptation de maillage locale et les critères d’arrêt employés sont
particulièrement efficaces pour assurer la capture très progressive des régions critiques dans
l’écoulement, tout en sauvegardant une large partie des éléments du maillage à chaque adaptation.
La projection de Galerkin a également permis des transferts de solution de qualité,
facilitant ainsi le contrôle du niveau de l’erreur spatiale au cours de la simulation. L’intégrateur
temporel adaptif, bien qu’ayant démontré sa force lors de l’usage d’un maillage fixe,
a cependant vu son fonctionnement sensiblement perturbé par les adaptations de maillage.
Nous avons systématiquement observé une recrudescence de l’erreur de troncature locale lors
des reprises du calcul. En conséquence, la taille h du pas de temps s’en est trouvée réduite
à l’issue du premier pas de temps, après plusieurs rejets de celui-ci. Les erreurs commises
lors du transfert de la solution, mais aussi le fait qu’une solution transférée n’est pas pleinement
convergée sur le maillage adapté, en sont la cause. Pour ces mêmes raisons, nous
avons constatĂ© que l’indicateur de stabilitĂ© verrouillait, en tout temps ou presque, l’accès Ă
la méthode BDF d’ordre 3. Il est à noter que ces limites ne font que brider l’efficacité de
notre procédure. La précision des résultats n’est en revanche pas affectée. La réduction automatique
de h lors des reprises permet au contraire de limiter considérablement les erreurs
de nature itérative. Au demeurant, l’adaptation de la taille h du pas de temps s’est avérée
efficace dans l’ensemble. En l’état, notre procédure de résolution peut donc être appliquée
pour simuler précisément, efficacement, et automatiquement des écoulements complexes de
portée industrielle, mais aussi des écoulements faisant intervenir des mécanismes physiques
plus fondamentaux. De plus, les écoulements considérés peuvent être monophasiques, ou
polyphasiques à phases séparées.
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Abstract
We present in this thesis the development of a general solving procedure for unsteady flows
of Newtonian fluids, based on the finite element method. However, as this work is more
like a proof of concept, the procedure has been designed in a 2D context only. The overall
objective of this procedure is to address the neglected difficulty of simulating such flows
both accurately and efficiently. To this end, adaptive methods in space (mesh adaption) and
in time (adaptive temporal integration), the relevance of which has been proven in many
former works, are used. In doing so, we intend to guarantee the accuracy of the results,
and to optimize the computing cost of the simulation. The adaptive procedure thus set up
is completely automatic. Indeed, no user intervention is needed during the simulation, as
the mesh adaption cycles are triggered automatically. Similar procedures have already been
suggested in the literature, but the innovation of ours lies in the choice of its components and
in the way they work. We have also emphasized a lot the issues resulting from the transfer
of a finite element solution between two meshes. As this operation occurs after each mesh
adaption, it is essential to control the errors that arise inevitably.
Mesh adaption cycles, performed with a h-adaptive and a r-adaptive methods, allow to
locally adjust the mesh size during the simulation, while preserving its overall quality. The
h-adaptive method relies on an estimate of the spatial error (committed on each element
of the computational domain), derived from a gradient recovery method. Depending on the
multiphysics nature of the simulated problem, the spatial error can be translated into one or
several error norm(s). Then a transition operator, formulated so to equidistribute the spatial
error over the elements of the domain, is used to compute the optimal size of each element of
the mesh. Moreover, we used the transition operator to identify the most problematic elements
in the mesh, i.e. those whose the optimal size is significantly different from their current size.
By removing only these elements and their neighbors from the current mesh, we create pockets
(also called cavities) that we can discretize again with elements of a more suitable size. An
advancing front meshing tool is used to carry out this last step. The r-adaptive method,
which is a combination of several mesh relaxation procedures, is finally applied to maintain
the mesh overall quality. Here again, we propose a local formulation of this second method,
based on a well-chosen quality metric. The mesh relaxation can thus be carried out only in
the regions of the domain that require it the most. Altogether, we are therefore proposing
and using a local hr-adaptive mesh adaption method. This approach reduces transfer errors,
since a transfer of the solution is only necessary on the elements that do not have an exact
match in the previous mesh. This approach also makes the mesh generation more efficient.In addition, stopping criteria are used to automatically trigger mesh adaption cycles when
necessary. These criteria imply the monitoring of several scalar quantities derived from an
estimate of the spatial error at each time step.
Adaptive time integration is carried out with a hp-adaptive time integrator, based on the
BDF methods. It has two main mechanisms. First, an estimate of the local truncation error
is used to adjust the time step-size h at the end of each converged time step. In the event
that this error is too large, the solution of the current time step can be rejected, so it can
be computed again with a smaller h value. A second mechanism allows to adjust the time
integrator order p (i.e. the number of steps involved in the BDF method). This is done using
a stability indicator. Still, the order of the integrator can only vary between 1 and 3. This
second mechanism enables a safe use of the method of order 3, kwown to be conditionnaly
stable only. Since the BDF methods of order 2 and 3 are not self-starting, we propose in this
work an approach to relaunch the time integration efficiently after each mesh adaption. This
approch aims at restarting the temporal integration with the last used values of h and p.
To do so, we transfer not only the last solution but also those of previous time steps. This
approach also makes sure that the adaptive mechanisms can operate immediately after each
mesh adaption cycle.
The solution transfer from one mesh to another has been studied for several transfer methods
: linear interpolation, consistent interpolation, and three formulations of the Galerkin
projection (also known as L2 projection). The first formulation of the Galerkin projection
makes use of an auxiliary mesh (the supermesh), obtained by intersection of the current
mesh and the mesh resulting from its adaption. When the boundary of the computational
domain is composed exclusively of line segments, this formulation allows to minimize
the transfer error computed in L2 norm, in addition to conserving the integral values of
the dependent variables. The second formulation of the Galerkin projection applies Gauss
quadrature rules on the reference element, directly from the elements of the adapted mesh.
Although globally less accurate, this second formulation, with the use of a sufficient number
of Gauss points, nevertheless provides more accurate results close to the domain boundaries
(or fluid interfaces) when these are curved. Based on this observation, we have also proposed
a third formulation of the projection, called hybrid because it is a combination of the first
two : the second one is applied on all the edge elements of the adapted mesh, while the remaining
elements are treated with the first one. Besides, we have implemented a 1D Galerkin
projection to post-process the transferred solution on the boundaries of the computational
domain. We also addressed a particular situation : the use of an ALE formulation of the
Navier-Stokes equations together with isoparametric elements of order 2. In this situation
elements of the current mesh end up being delimited by portions of parabolas at the time amesh adaption cycle goes off. Ensuring a sufficiently accurate solution transfer under these
conditions is an extremely difficult task. We therefore propose in this work a strategy to
partially circumvent this difficulty. The construction of a hybrid mesh, including both subparametric
and isoparametric elements, is recommended. Finally, we have developed a local
transfer of the solution, in order to take advantage of our local mesh adaption method. This
approach allows a substantial reduction of the solution transfer computational cost, making
the Galerkin projection all the more viable.
Many verification and analysis activites where carried out as parts of this research project.
Following a detailed description of the different methods already mentioned, this thesis also
presents some of the results we thereby obtained. We have verified in depth the finite element
implementation, as well as the implementation of some tools developed in the course of our
work, the Galerkin projection included. Several manufactured solutions have been desgined to
perform this task. Convergence studies were conducted for the spatial and temporal errors,
but also for the error arising from the solution transfer between two meshes. The latter
study demonstrated the superiority of the Galerkin projection over interpolation methods.
We have also analyzed the behavior of the components of our local mesh adaption method.
In particular, the formation of the pockets to be remeshed, and the local mesh relaxation
were studied.
We finally illustrate the use of our solving procedure by considering four different unsteady
flows : a laminar flow around a circular cylinder, a laminar impinging jet on a heated wall, a
turbulent flow in a channel undergoing a sudden variation of section (backward facing step),
and the Rayleigh-Taylor instability between two fluids separated by an explicit interface.
The variety of these problems, and the complexity of the physics involved in each of them,
allowed us to assess our procedure robustness and relevance. The results show that the
local mesh adaption method and the stopping criteria used are particularly effective when it
comes to gradually capture the critical regions in the flow, while saving a large part of the
mesh elements at each adaption. The Galerkin projection also resulted in accurate solution
transfers, making it easier to control the global spatial error during the simulation. The
adaptive temporal integrator has however seen its functioning appreciably disturbed by the
mesh adaptions.We have systematically observed a recrudescence of the local truncation error
each time the computation was resumed. As a result, the time step-size h was automalically
reduced following the completion of the first time step, which thus has to be computed again
several times. The errors made during the transfer of the solution, but also the fact that a
transferred solution is not fully converged on the adapted mesh, are the cause. For these same
reasons, we noted that the stability indicator locked, at all times or almost, the access to the
BDF method of order 3. It should be noted that these limitations only prevent our solvingprocedure from being even more efficient. As a matter of fact, the decrease of the time step-size
h acts as a shield against iterative errors, and thus increases the results accuracy. Moreover,
the adaption of the step-size h proved to be quite effective on the whole. As it stands,
our solving procedure can therefore be applied to accurately, efficiently and automatically
compute complex flows of industrial scope, but also flows involving more fundamental physical
mechanisms. In addition, the flows considered can either be monophasic, or multiphasic with
segregated phases
- …