Invariant affine connections on three-dimensional homogeneous spaces with nonsolvable transformation group

© 2014, Pleiades Publishing, Ltd. The aim of this paper is to describe all invariant affine connections on three-dimensional homogeneous spaces with nonsolvable transformation group. We present complete local classification of homogeneous spaces, it is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras. We describe all invariant affine connections together with their curvature and torsion tensors, holonomy algebras

Normal connections on three-dimensional manifolds with solvable transformation group

© 2016, Pleiades Publishing, Ltd.The purpose of the work is the classification of three-dimensional homogeneous spaces, allowing a normal connection, description of invariant affine connections on those spaces together with their curvature and torsion tensors, holonomy algebras. We consider only the case, when Lie group is solvable. The local classification of homogeneous spaces is equivalent to the description of the effective pairs of Lie algebras. We study the holonomy algebras of homogeneous spaces and find when the invariant connection is normal. Studies are based on the use of properties of the Lie algebras, Lie groups and homogeneous spaces and they mainly have local character

Structures on Three-dimensional Pseudo-Riemannian Spaces

The problem of establishing links between the curvature and the topological structure of a manifold is one of the important problems of the geometry. In general, the purpose of the research of manifolds of various types is rather complicated. Therefore, it is natural to consider this problem in a narrower class of pseudo-Riemannian manifolds, for example, in the class of homogeneous pseudo-Riemannian manifolds. For all three-dimensional pseudo-Riemannian homogeneous spaces, it is determined under what conditions the space is Ricci-flat, Einstein, Ricci-parallel, locally-symmetric or conformally-flat. In addition, for all these spaces, Levi-Cevita connections, curvature and torsion tensors, holonomy algebras, scalar curvatures, Ricci tensors are written out in explicit form. The results can find applications in mathematics and physics, since many fundamental problems in these fields are reduced to the study of invariant objects on homogeneous spaces

СВЯЗНОСТИ НА НЕРЕДУКТИВНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С НЕРАЗРЕШИМОЙ ГРУППОЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

When does a homogeneous space allow an invariant affine connection? If at least one invariant connection exists, then the space is isotropy-faithful, but the isotropy-faithfulness is insufficient for the space in order to have invariant connections. If a homogeneous space is reductive, then the space allows an invariant connection. The purpose of the work is to describe invariant affine connections on three-dimensional non-reductive homogeneous spaces together with their curvature and torsion tensors, holonomy algebras. We concerned the case, when the Lie group of transformations is unsolvable and a stabilizer is solvable. The basic notions, such as an isotropy-faithful pair, a reductive space, an affine connection, curvature and torsion tensors, holonomy algebra are defined. A local description of three-dimensional non-reductive homogeneous spaces with an unsolvable Lie group of transformations and a solvable stabilizer, allowing affine connections, is given. A local classification of homogeneous spaces is equivalent to that of the effective pairs of the Lie algebras. All invariant affine connections on those spaces are described, curvature and torsion tensors, holonomy algebras are found. Studies are based on the use of properties of the Lie algebras, Lie groups and homogeneous spaces. They are mainly local in character. В каком случае однородное пространство допускает инвариантную аффинную связность? Если существует хотя бы одна инвариантная связность, то пространство является изотропно-точным, но обратное неверно. Если однородное пространство является редуктивным, то пространство всегда допускает инвариантную связность. Целью данной работы является описание инвариантных аффинных связностей на трехмерных нередуктивных однородных пространствах, их тензоров кривизны и кручения, алгебр голономии. В работе рассматривается случай неразрешимой группы Ли преобразований с разрешимым стабилизатором. Определены основные понятия: изотропно-точная пара, редуктивное пространство, аффинная связность, тензор кручения, тензор кривизны, алгебра голономии. Приведено в явном виде локальное описание всех трехмерных нередуктивных однородных пространств с неразрешимой группой преобразований и разрешимым стабилизатором, допускающих инвариантные аффинные связности. Локальная классификация таких пространств эквивалентна описанию соответствующих эффективных пар алгебр Ли. Описаны в явном виде все инвариантные аффинные связности на найденных однородных пространствах, а также тензоры кривизны, кручения, алгебры голономии указанных связностей. Исследования основаны на использовании свойств алгебр Ли, групп Ли и однородных пространств и носят, главным образом, локальный характер. Особенностью методики, представленной в работе, является использование чисто алгебраического подхода к описанию однородных пространств и связностей на них, а также сочетание различных методов дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли и теории однородных пространств.

Трехмерные редуктивные и симметрические однородные пространства и связности на них

В каком случае однородное пространство допускает инвариантную аффинную связность? Если существует хотя бы одна инвариантная связность, то пространство является изотропно-точным, но обратное неверно. Если однородное пространство является редуктивным, то оно всегда допускает инвариантную связность. Найдены трехмерные редуктивные и симметрические однородные пространства (а также трехмерные изотропно-точные однородные пространства, не являющиеся редуктивными), получены все инвариантные аффинные связности на каждом таком пространстве, определено, при каких условиях связность является эквиаффинной, выделены канонические связности и естественные связности без кручения, описаны также тензоры кривизны, кручения, алгебры голономии, тензоры Риччи

Equiaffine Connections on Three-Dimensional Pseudo-Riemannian Spaces

The question of description equiaffine connections on a smooth manifold is studied. In general, the purpose of the research is quite complicated. Therefore, it is natural to consider this problem in a narrower class of pseudo-Riemannian manifolds, for example, in the class of homogeneous pseudo-Riemannian manifolds. In this paper for all three-dimensional Riemannian and pseudo-Riemannian homogeneous spaces, it is determined under what conditions the connection is equiaffine (locally equiaffine). In addition, equiaffine (locally equiaffine) connections, torsion tensors and Ricci tensors are written out in explicit form

Four-dimensional homogeneous spaces with almost symplectic structure. The real case

Целью данной работы является описание четырехмерных изотропно-точных однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой над полем действительных чисел. В публикации определены основные понятия: почти симплектическая структура, изотропное представление, изотропно-точная пара, комплексификация алгебры Ли, антиинволюция, вещественная форма. Приведен алгоритм классификации изотропно-точных однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой. Описано нахождение вещественных форм как подалгебр линейных алгебр Ли, так и изотропно-точных пар и проведено в явном виде описание четырехмерных изотропно-точных почти симплектических однородных пространств в вещественном случае. Особенностью методов, представленных в работе, является применение чисто алгебраического подхода к описанию однородных пространств и структур на них. Полученные результаты могут быть применены в работах по дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям, топологии, а также в других разделах математики и физики, а алгоритмы, приведенные в работе, могут быть компьютеризованы и использованы для решения аналогичных задач в больших размерностях. The purpose of the work is a description of four-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces with an invariant non-degenerate almost symplectic structure over the field of real numbers. It defines the basic concepts: almost symplectic structure, isotropic representation, isotropically-faithful pair, complexification of Lie algebra, anti-involution, real form. The algorithm for classifying isotropically-faithful homogeneous spaces with an invariant non-degenerate almost symplectic structure is presented. Finding real forms of both subalgebras of linear Lie algebras and isotropically-faithful pairs is described, and an explicit description of four-dimensional isotropically-faithful almost symplectic homogeneous spaces in the real case is given. The features of the methods presented in the work are the application of a purely algebraic approach to the description of homogeneous spaces and structures on them. The results obtained in the paper can be used in works on differential geometry, differential equations, topology, as well as in other areas of mathematics and physics. The algorithms given in the work can be computerized and used for the decision of similar problems in large dimensions

Affine connections on three-dimensional homogeneous spaces

We describe all local three-dimensional homogeneous spaces, allowing affine connections, it is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras, and all invariant affine connections on the spaces together with their curvature, torsion tensors and holonomy algebras. We use the algebraic approach for description of connections, methods of the theory of Lie groups, Lie algebras and homogeneous spaces

Three-dimensional homogeneous spaces with invariant affine connections

In the work we describe all local three-dimensional homogeneous spaces, allowing affine connections, it is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras, and all invariant affine connections on the spaces together with their curvature, torsion ten-sors and holonomy algebras. We use the algebraic approach for description of connections, methods of the theory of Lie groups, Lie algebras and homoge-neous spaces

Invariant affine connections on three-dimensional homogeneous spaces with nonsolvable transformation group

© 2014, Pleiades Publishing, Ltd. The aim of this paper is to describe all invariant affine connections on three-dimensional homogeneous spaces with nonsolvable transformation group. We present complete local classification of homogeneous spaces, it is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras. We describe all invariant affine connections together with their curvature and torsion tensors, holonomy algebras