Computation of a universal deformation ring

We compute the universal deformation ring of an odd Galois two dimensional representation of Gal$(M/Q)$ with an upper triangular image, where $M$ is the maximal abelian pro-$p$-extension of $F_{\infty}$ unramified outside a finite set of places S, $F_{\infty}$ being a free pro-$p$-extension of a subextension $F$ of the field $K$ fixed by the kernel of the representation. We establish a link between the latter universal deformation ring and the universal deformation ring of the representation of Gal$(K_S/Q)$, where $K_S$ is the maximal pro-$p$-extension of $K$ unramified outside $S$. We then give some examples. This paper was accepted for publication in the Mathematical Proceedings of the Cambridge philosophical society (May 99)

La structure des représentations universelles modulo p pour GL2

Cette thèse se propose de donner des contributions originales à l'étude des représentations lisses du groupe linéaire général à coefficients dans une extension finie F de Qp. Dans les chapitres I et II, l'on suppose F = Qp. On démontre l existence d'une filtration naturelle GL2(Zp)-équivariante sur les représentations supersingulières et sur les séries principales modérément ramifiées, ce qui nous permet de donner une description détaillée de ces objets : on en déduit leur infiltration par le GL2(Zp)-socle ainsi que l'espace de leurs invariants selon certains sous-groupes de congruences principaux. On en déduit également, dans le chapitre III, la structure exhaustive des restrictions des représentations supersingulières pour GL2(Qp) aux sous-groupes provenant des extensions quadratiques de Qp. Dans le chapitre IV on suppose F non ramifié sur Qp. On décrit de manière précise la structure Iwahori des représentations universelles pour GL2(F) à l'aide d'une base naturellement adaptée aux calculs sur les vecteurs de Witt. On donne une interprétation euclidienne de ce résultat qui révèle la nature fractale de ces objets et nous permet d'en déduire leur filtration par le Iwahori socle. On obtient au passage la structure Iwahori pour les séries principales modérément ramifiées et une injection naturelle d'une certaine induite compacte dans les représentations universelles.This Ph.D. thesis wants to give original contributions to the study of smooth representations of the general linear group with coefficients in a finite extension F of Qp. In chapters I and II we assume F = Qp. We show the existence of a natural GL2(Zp)-equivariant filtration on supersingular representations and on principal tamely ramified series as well, letting us give a detailed description of such objects: we deduce their GL2(Zp)-socle filtration and their invariant spaces under some principal congruence subgroups. In chapter III we deduce the structure of supersingular representations of GL2(Qp) restricted to the subgroups issued from quadratic extensions of Qp. In chapter IV we assume F unramified over Qp. We give a precise description of the Iwahori structure for the universal representations of GL2(F) thanks to a basis which fits naturally for computations with Witt vectors. We give these results an Euclidean interpretation revealing the fractal structure for the universal objects and which let us deduce their Iwahori-socle filtration. As a byproduct, we get the Iwahori-structure for tamely ramified principal series as well as a natural injection of certain compact inductions into the universal representations.VERSAILLES-BU Sciences et IUT (786462101) / SudocSudocFranceF