Multiple noncommutative tori and Hopf algebras

We derive the Kac-Paljutkin finite-dimensional Hopf algebras as finite fibrations of the quantum double torus and generalize the construction for quantum multiple tori.Comment: 18 pages; AMSLaTeX (major revision, the construction of dual rewritten using approach of multiplier Hopf algebras, references added

Algebraische Beschreibung von Symmetrien: das Modell der Nichtkommutativen Multi-Tori

In der Nichtkommutativen Geometrie werden Räume und Strukturen durch Algebren beschrieben. Insbesondere werden hierbei klassische Symmetrien durch Hopf-Algebren und Quantengruppen ausgedrückt bzw. verallgemeinert. Wir zeigen in dieser Arbeit, daß der bekannte Quantendoppeltorus, der die Summe aus einem kommutativen und einem nichtkommutativen 2-Torus ist, nur den Spezialfall einer allgemeineren Konstruktion darstellt, die der Summe aus einem kommutativen und mehreren nichtkommutativen n-Tori eine Hopf-Algebren-Struktur zuordnet. Diese Konstruktion führt zur Definition der Nichtkommutativen Multi-Tori. Die Duale dieser Multi-Tori ist eine Kreuzproduktalgebra, die als Quantisierung von Gruppenorbits interpretiert werden kann. Für den Fall von Wurzeln der Eins erhält man wichtige Klassen von endlich-dimensionalen Kac-Algebren, insbesondere die 8-dim. Kac-Paljutkin-Algebra. Ebenfalls für Wurzeln der Eins kann man die Nichtkommutativen Multi-Tori als Hopf-Galois-Erweiterungen des kommutativen Torus interpretieren, wobei die Rolle der typischen Faser von einer endlich-dimensionalen Hopf-Algebra gespielt wird. Der Nichtkommutative 2-Torus besitzt bekanntlich eine u(1)xu(1)-Symmetrie. Wir zeigen, daß er eine größere Quantengruppen-Symmetrie besitzt, die allerdings nicht auf die Spektralen Tripel des Nichtkommutativen Torus fortgesetzt werden kann.In Noncommutative Geometry classical spaces and structures are expressed in terms of algebras. In this context Hopf algebras and quantum groups are the generalization of symmetries. We show that the well-known quantum double torus, which is a sum of a commutative and a noncommutative 2-torus, is only a special case of a general construction, that associates the structure of a Hopf algebra to the sum of a commutative with noncommutative n-tori. This construction leads to the definition of the multiple noncommutative tori. The dual of these Hopf algebras are crossproduct algebras, which are interpreted as the quantization of group orbits. For roots of unity we obtain important classes of finite dimensional Kac algebras, especially the 8-dim. Kac-Paljutkin algebra. The multiple noncommutative tori are Hopf-Galois extensions of the commutative torus with a finite dimensional Hopf algebra playing the role of the typical fibre. One knows that the noncommutative 2-torus has a u(1)xu(1) symmetry. We show that there is a larger quantum group symmetry. This symmetry can not be extended to a symmetry of the spectral triples associated to the noncommutative torus