Relation between the eigenfrequencies of Bogoliubov excitations of Bose-Einstein condensates and the eigenvalues of the Jacobian in a time-dependent variational approach

We study the relation between the eigenfrequencies of the Bogoliubov excitations of Bose-Einstein condensates, and the eigenvalues of the Jacobian stability matrix in a variational approach which maps the Gross-Pitaevskii equation to a system of equations of motion for the variational parameters. We do this for Bose-Einstein condensates with attractive contact interaction in an external trap, and for a simple model of a self-trapped Bose-Einstein condensate with attractive 1/r interaction. The stationary solutions of the Gross-Pitaevskii equation and Bogoliubov excitations are calculated using a finite-difference scheme. The Bogoliubov spectra of the ground and excited state of the self-trapped monopolar condensate exhibits a Rydberg-like structure, which can be explained by means of a quantum defect theory. On the variational side, we treat the problem using an ansatz of time-dependent coupled Gaussians combined with spherical harmonics. We first apply this ansatz to a condensate in an external trap without long-range interaction, and calculate the excitation spectrum with the help of the time-dependent variational principle. Comparing with the full-numerical results, we find a good agreement for the eigenfrequencies of the lowest excitation modes with arbitrary angular momenta. The variational method is then applied to calculate the excitations of the self-trapped monopolar condensates, and the eigenfrequencies of the excitation modes are compared.Comment: 15 pages, 12 figure

Realisierungen von PT-symmetrischen Bose-Einstein-Kondensaten mit zeitabhängigen Hermiteschen Potentialen

A PT-symmetric Bose-Einstein condensate can be theoretically described using a complex optical potential, however, the experimental realization of such an optical potential describing the coherent in- and outcoupling of particles is a nontrivial task. We propose an experiment for a quantum mechanical realization of a PT-symmetric system, where the PT-symmetric currents of a two-well system are implemented by coupling possibly time-dependently varied additional wells to the system, which act as particle reservoirs and thus form a Hermitian system. We map the time-dependence of the amplitudes of a frozen Gaussian variational ansatz to a Schrödinger equation with a Hamiltonian matrix. This relates the parameters of a realistic external potential to the matrix elements of a matrix model. On one side, we can use the matrix model as a computationally cheap model to obtain results, on the other hand we can then map the time-dependence of the matrix elements back to the parameters of the potential, which would serve as an input for an experimental setup. In terms of these simple matrix model we derive conditions under which two wells of the Hermitian multi-well system behave exactly as the two wells of the PT-symmetric system. It turns out that the matrix elements of the Hermitian system must be time-dependent to fulfill the conditions for a sufficient time. These results are applied to calculate the time-dependencies of the matrix elements, first, by means of a four-well system, then consequently building up until we arrive at a system with a large number of wells, which can be analyzed and interpreted in terms of optical lattices. As a second method we use a full time-dependent Gaussian variational ansatz, where every variational parameter of the Gaussian functions is chosen to be time-dependent. This should give more accurate results in that this ansatz can describe significant more degrees of freedom. We derive conditions analogous to that of the matrix models that must be fulfilled such that PT-symmetry can be realized. This method is applied and results are obtained for the important case of an adiabatic current ramp which is proposed as a realistic experimental method to create a PT-symmetric ground state. Finally, the results to both methods are compared and in particular the approximations that lead to the simple matrix models are justified.Ein PT-symmetrisches Bose-Einstein-Kondensat kann theoretisch durch ein komplexes optisches Potential beschrieben werden, die experimentelle Realisierung eines solchen Potentials, das das kohärente Ein- und Auskoppeln von Teilchen beschreibt, ist jedoch eine nicht triviale Angelegenheit. Wir schlagen ein Experiment für eine quantenmechanische Realisierung eine PT-symmetrischen Systems vor, bei dem die PT-symmetrischen Ströme eines Zwei-Mulden-Systems dadurch realisiert werden, dass zusätzliche Mulden an das System gekoppelt werden. Die zusätzlichen gegebenenfalls zeitabhängig variierten Mulden bilden Reservoir-Mulden und zusammen mit den ursprünglichen Mulden ein Hermitesches System. Wir bilden die Zeitabhängigkeiten der Amplituden eines Frozen-Gaussian-Variationsansatzes auf eine Schrödingergleichung mit einer Hamilton-Matrix ab. Dadurch werden die Parameter eines realistischen externen Potentials mit den Matrixelementen eines Matrixmodells in Verbindung gebracht. Auf der einen Seite kann das Matrixmodell dann benutzt werden, um Lösungen mit geringem Rechenaufwand zu erhalten, auf der anderen Seite können die Zeitabhängigkeiten der Matrixelemente wieder zurück zu den Parametern des externen Potentials abgebildet werden, welche als Vorgabe für einen experimentellen Aufbau dienen. Mit Hilfe der einfachen Matrixmodelle können Bedingungen hergeleitet werden, unter denen zwei Mulden des Hermiteschen Multi-Mulden-Systems sich genauso verhalten wie die zwei Mulden eines PT-symmetrischen Systems. Es zeigt sich, dass die Matrixelements des Hermiteschen Systems zeitabhängig sein müssen, um die Bedingungen für eine hinreichend lange Zeit zu erfüllen. Diese Ergebnisse werden angewendet, um die Zeitabhängigkeiten der Matrixelemente zu berechnen, als erstes für ein Vier-Mulden-System, welches dann konsequenterweise mit mehr Mulden ausgestattet wird, bis wir zu einem System mit einer großen Zahl an Mulden kommen, das im Rahmen der Methoden von optischen Gittern analysiert und interpretiert werden kann. Als zweite Methode benutzen wir einen voll zeitabhängigen Gaußschen Variationsansatz, bei dem alle Variationsparameter der Gaußfunktionen zeitabhängig sind. Dies sollte genauere Ergebnisse liefern, da dieser Ansatz eine bedeutend größere Zahl an Freiheitsgraden enthält. Wir leiten in analoger Art und Weise Bedingungen ab, die erfüllt sein müssen, damit PT-Symmetrie realisiert werden kann. Diese Methode wird angewandt für den wichtigen Fall der adiabatischen Stromerhöhung, die als eine realistische experimentelle Methode vorgeschlagen wird, um einen PT-symmetrischen Grundzustand zu erhalten. Schließlich werden die Ergebnisse beider Methoden verglichen und insbesondere die Näherungen, die zu den Matrixmodellen geführt haben, gerechtfertigt