On Huisman's conjectures about unramified real curves

Let $X \subset \mathbb{P}^{n}$ be an unramified real curve with $X(\mathbb{R}) \neq \emptyset$. If $n \geq 3$ is odd, Huisman conjectures that $X$ is an $M$-curve and that every branch of $X(\mathbb{R})$ is a pseudo-line. If $n \geq 4$ is even, he conjectures that $X$ is a rational normal curve or a twisted form of a such. We disprove the first conjecture by giving a family of counterexamples. We remark that the second conjecture follows for generic curves of odd degree from the formula enumerating the number of complex inflection points.Comment: 9 pages, 2 figure

Total-reelle Linearsysteme auf algebraischen Kurven

Ist X eine reelle Kurve, so bezeichnet N(X) die kleinste natürliche Zahl, sodass jeder Divisor vom Grad mindestens N(X) zu einem total-reellen Divisor linear äquivalent ist. Die Existenz von N(X) – der sogenannten reellen Divisorenschranke – wurde von Scheiderer (2000) bewiesen. Da die Beschränkung von N(X) für Kurven mit wenigen Komponenten schwierig ist, beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit gewissen Sonderfällen und den daraus resultierenden Erkenntnissen für die Theorie reeller algebraischer Kurven. Die bisher bekannten Hauptergebnisse bezüglich N(X) können wir folgt zusammengefasst werden: Besitzt X viele Komponenten, so kann die reelle Divisorenschranke durch 2g-1 beschränkt werden, wobei g das Geschlecht von X bezeichnet [Huisman (2003), Monnier (2005)]. Im Allgemeinen ist jedoch nicht bekannt, von welchen Werten N(X) überhaupt abhängt. Im Fall von (M-2)-Kurven zeigen wir einen Zusammenhang zwischen der reellen Divisorenschranke und einer von Huisman im Jahr 2003 aufgestellten Vermutung über unverzweigte reelle Kurven auf. Durch eine explizite Konstruktion widerlegen wir seine Vermutung im 3-dimensionalen Raum und zeigen dadurch die Existenz von Raumkurven auf, welche keinen total-reellen Hyperebenenschnitt besitzen. In gerade-dimensionalen Räumen beweisen wir Huismans Vermutung für kanonische Kurven und für generische Kurven geraden Grades. Wir stellen die sogenannte Hermite-Methode vor, welche es in Minimalbeispielen erlaubt zu prüfen, ob eine gegebene Kurve einen (reduzierten) total-reellen Hyperebenenschnitt besitzt. Dadurch zeigen wir die Existenz von unendlich vielen ebenen Quartiken auf, für welche N(X)=5 gilt. Schließlich nutzen wir Harnacks klassische Konstruktion (1876) aus, um die Existenz ebener Kurven mit vorgegebenen topologischen Invarianten aufzuzeigen, sodass das zugrundeliegende Geradenlinearsystem (reduziert) total-reell ist

Computing totally real hyperplane sections and linear series on algebraic curves

Given a real algebraic curve, embedded in projective space, we study the computational problem of deciding whether there exists a hyperplane meeting the curve in real points only. More generally, given any divisor on such a curve, we may ask whether the corresponding linear series contains an effective divisor with totally real support. This translates into a particular type of parametrized real root counting problem that we wish to solve exactly. On the other hand, it is known that for a given genus and number of real connected components, any linear series of sufficiently large degree contains a totally real effective divisor. Using the algorithms described in this paper, we solve a number of examples, which we can compare to the best known bounds for the required degree

Computing totally real hyperplane sections and linear series on algebraic curves

International audienceGiven a real algebraic curve, embedded in projective space, we study the computational problem of deciding whether there exists a hyperplane meeting the curve in real points only. More generally, given any divisor on such a curve, we may ask whether the corresponding linear series contains an effective divisor with totally real support. This translates into a particular type of parametrized real root counting problem that we wish to solve exactly. On the other hand, it is known that for a given genus and number of real connected components, any linear series of sufficiently large degree contains a totally real effective divisor. Using the algorithms described in this paper, we solve a number of examples, which we can compare to the best known bounds for the required degree

Computing totally real hyperplane sections and linear series on algebraic curves

International audienceGiven a real algebraic curve, embedded in projective space, we study the computational problem of deciding whether there exists a hyperplane meeting the curve in real points only. More generally, given any divisor on such a curve, we may ask whether the corresponding linear series contains an effective divisor with totally real support. This translates into a particular type of parametrized real root counting problem that we wish to solve exactly. On the other hand, it is known that for a given genus and number of real connected components, any linear series of sufficiently large degree contains a totally real effective divisor. Using the algorithms described in this paper, we solve a number of examples, which we can compare to the best known bounds for the required degree