Aspects effectifs d'analyse diophantienne

The first chapter of this thesis is about Lucas' and Lehmer's sequences. It is known that from rank 30 every Lucas' number (resp. Lehmer?s number) has a 'new' prime divisor. In this first chapter, we complete the list of pathological cases, began by P.M. VOUTIER, Yu. BILU and G. HANROT. In the second chapter we recall some definitions and proprietes of Weil's logarithmic heights and Puiseux' series. We use these in the two last chapter, in which we give explicite bound for the Weil?s height of algebraic solutions for some groups of diophantine equations. The third chapter is about a generalization and an improvement of Walsh' results on Skolem?s diophantine problem. In the last chapter, we give explicite bounds for the Weil's height of S-integral solutions of some generalization of Thue's famous equations

Aspects effectifs d'analyse diophantienne

Cette thèse traite de trois problèmes diophantiens distincts. Le premier chapitre est consacré à l étude des diviseurs premiers de suites d entiers connues sous le nom de nombres de Lucas et des nombres de Lehmer. Un théorème de Yu. BILU, G. HANROT et P.M. VOUTIER nous assure qu à partir d un certain rang (indépendent de la suite choisie, et explicite), tout nombre de Lucas (resp. de Lehmer ) admet un nouveau diviseur premier. Dans ce premier chapitre, nous complétons la liste des cas pathologiques commencée par P.M. VOUTIER d une part et Yu. BILU, G. HANROT et P.M. VOUTIER d autre part. Le second chapitre est pr eparatoire. Dans celui-ci, nous mettons en place deux outils fondamentaux pour la résolution effective de certaines classes d équations diophantiennes : les hauteurs de Weil et les séries de Puiseux. Dans le troisième chapitre, on s intéresse aux équations algébriques du type F(x, y) = 0 ou le polynôme F vérifie F(0, 0) = 0. Un théorème de Skolem montre que ces équations n admettent qu un nombre fini de solutions entières à pgcd fixé. Après avoir généralisé la notion de pgcd aux nombres algébriques, nous établissons un théorème effectif donnant la taille maximale des solutions algébriques des équations du type Skolem. Enfin, le quatrième et dernier chapitre de cette thèse est consacré à l étude des équations de Thue généralisées. Celui-ci a en 1909 que si F(X, Y ) était une forme homogène à coefficients entiers, irréductible sur Q et de degré n # 3, alors les équations F(x, y) = A pour A 2 Z\{0} n admettaient chacune qu un nombre fini de solutions entières. La encore, nous nous sommes attaché à généraliser le problème initial en considérant les équations du type NL/K(F(x, y)) = A où K est un corps de nombres donné, L est une extension finie de K de degré n # 3, NL/K est la norme relative de L sur K, F est un polynôme à coefficients dans L et A 2 K#. Nous établissons encore une fois une borne effective pour la taille des solutions S-entières de ce type d équations. Ce dernier chapitre est le fruit d un travail effectué conjointement avec A. Berczes et Yu. Bilu.BORDEAUX1-BU Sciences-Talence (335222101) / SudocSudocFranceF