Influence of the inadequate choice of distribution parameters on the uncertainty evaluated by method type A

Zaproponowano rozszerzenie wyznaczania niepewności pomiarów metodą statystyczną typu A zalecaną przez międzynarodowy przewodnik GUM. Po wyeliminowaniu trendu z obserwacji pomiarowych i uwzględnieniu wpływu autokorelacji wybiera się właściwy rozkład prawdopodobieństwa stosując kryterium x2 i najbardziej wiarygodny statystycznie jego parametr. Podano przykład procedury wyznaczania środka rozstępu jego odchylenia standardowego dla rozkładu jednostajnego oraz mediany dla rozkładu dwuwykładniczego Laplace`a, jako najdokładniejszych parametrów tych rozkładów. Porównano je z parametrami zalecanymi przez GUM. Zamieszczono wnioski i literaturę.Proposal of the development of the method type A evaluation of the measurement uncertainty recommended by ISO international guide is given. It contains of choosing the adequate probability distribution using the x2 criterion and its the most likelihood parameter. The numerical example of the midrange and its standard deviation calculations of the rectangular distribution and median (MED) of Laplace double-exponential one is presented. They are compared to parameters recommended by GUM. Summary and literature is included

Wyznaczanie niepewności typu A pomiarów o skorelowanych obserwacjach

This paper briefly discusses the limitations of the international Guide ISO GUM framework and proposes improving the type A method of uncertainty evaluation of regulary sampled observations. The proposal demonstrates the influence of autocorrelation on measurement resultants and for correlated observations, the calculation of their effective number, smaller than the real value is presented. Numerical example from the computer simulation is given. Results obtained by the proposed method and classical GUM method are compared and discussed.Krótko omówiono ograniczenia zasad wyznaczania niepewności wg zaleceń międzynarodowego Przewodnika ISO o angielskim akronimie GUM i zaproponowano udoskonalenie metody typu A szacowania niepewności pomiarów o regularnie próbkowanych obserwacjach. Przedstawiono wpływ autokorelacji na ocenę dokładności wyniku pomiarów i dla skorelowanych obserwacji zaproponowano obliczanie efektywnej ich liczby, mniejszej niż rzeczywista. Na symulowanym komputerowo przykładzie liczbowym porównano rezultaty otrzymywane metodą proponowaną i klasyczną wg GUM

Evaluation of the uncertainty type A of the random stationary signal component from its autocorrelated observations

A proposal of evaluation of the uncertainty type A of the stationary random component of measured signal from its regularly sampled observations when they are auto-correlated is described. In the first step the regularly variable components of the signal are identified and removed from the raw sample data. Then upgreaded formulas for standard uncertainty type A of the sample and of the mean value are expressed with use the correction coefficients or the so-called "effective number" of observations. These quantities depend on number of observations and on the autocorrelation function of the sample cleaned from regular components. Two methods of finding and estimating the autocorrelation function for the sample data are also described. Some numerical examples are included

Evaluation of the uncertainty type A of autocorrelated measurement observations

Omówiono zasięg i ograniczenie zasad wyznaczania parametrów niepewności pomiarów wg zaleceń międzynarodowych zawartych w publikacji nazywanej akronimem GUM [1, 2]. Podano propozycję rozszerzenia zakresu stosowania obliczeń niepewności wyznaczanej metodą typu A obejmującą uwzględnienie w pomiarach wpływu skorelowania skorygowanych obserwacji. Polega ona na wprowadzeniu efektywnej liczby obserwacji. Jest ona mniejsza od rzeczywistej i oblicza się ją z funkcji autokorelacji. Proponowane rozszerzenie metody obliczeń niepewności typu A zilustrowano przykładem liczbowym zawierającym też jako poprzedzające operacje usunięcie trendu z "surowych" wartości obserwacji i sprawdzenie wybranego typu rozkładu.Principles of the estimation of uncertainty parameters introduced by the international guide named by acronym GUM [1] are given and their scope and limitations are discussed. Proposals of expanding the application range of the uncertainty evaluated by the type A method to the measurement in the case of correlated observations are presented. Effective number of observations is introduced, smaller then real one. It is calculated from the autocorrelation function of corrected observations. Proposed method has been illustrated by the numerical example included also as the beginning operations the linear trend elimination from uncorrected observation results and testing the chosed type of distribution

Statistics of skewness and kurtosis of small measurement samples from populations of normal and few other distributions

Przedstawiono podstawowe właściwości statystyczne rozkładów skośności i kurtozy dla zbioru próbek o określonych małych liczbach elementów. Rozkłady te wyznaczono je metodą Monte Carlo. Próbki wielokrotnie pobierano losowo z populacji o rozkładzie normalnym oraz dla porównania z populacji o kilku innych prostych rozkładach. Znajomość statystyk skośności i kurtozy umożliwi bardziej wiarygodne oszacowanie odchylenia standardowego i niepewności estymatora wartości mensurandu z próbek pomiarowych o małej liczbie obserwacji, gdy znany jest rozstęp populacji rozrzutu ich wartości.Statistics of skewness and kurtosis distributions and their basic parameters for a set of samples of certain small numbers of elements are find. These distributions were determined using the Monte Carlo method. The samples were repeatedly taken at random from a normally distributed population and for comparison from the population of a few other simple distributions. Knowledge of skewness and kurtosis statistics allow a more reliable estimate of the standard deviation and the uncertainty of the value of the measurand estimator from the measurement samples of a small number of observations, when the range of their value distribution is known

Shifted up cosine as probability density function - properties and application examples

Omówiono niekonwencjonalny rozkład gęstości prawdopodobieństwa (PDF) w postaci jednego okresu cosinusoidy przesuniętej w górę i o polu równym 1 jako alternatywę rozkładu Normalnego (funkcji Gaussa). Wykazano, że w przedziale š2,5 odchylenia standardowego cosinusoida przesunięta o jej amplitudę A - funkcja 2Acos2(•), nie odbiega od rozkładu Normalnego więcej niż o š2,1%. Dla rzeczywistych wyników pomiarów o ograniczonym zakresie rozrzutu uzyskuje się mniejszą niepewność typu A niż według międzynarodowego Przewodnika GUM. Rozważania teoretyczne i symulacje poparto przykładem z praktyki metrologicznej. Rozkład COS2 można z powodzeniem stosować do szybkiego szacowania niepewności pomiarów, w tym do automatyzacji tych obliczeń oraz w statystyce.Unconventional probability density distribution function (PDF) of the form of the one period of cosine function shifted up and of its area under curve equal of 1 is proposed as an alternative to Normal distribution, i.e. Gauss function. It is presented that if a cosine function is shifted up by its amplitude A, such function (2Acos2(•)), can be applied as approximation of the central part of Normal PDF (š2,5 of its standard deviation) with the accuracy not lower then 2,1%. In reality the distribution of measurements is always of limited range and uncertainty type A obtained by COS2 PDF is smaller than recommended by international Guide GUM [1]. Analysed data from experiment and simulated data confirmed that new proposed unconventional distribution has an advantage of a lowering uncertainty interval by comparison to Gaussian distribution at the same level of confidence, and calculations are simpler and faster. COS2 distribution can be successfully applied for the fast uncertainty evaluation of measurements, for its automation and in statistics

Uncertainty evaluation of the minimal value measurements

The non-standard statistical method for evaluating uncertainty for a minimal value of observations as the measurement result, is proposed. This method is based on properties of minimal order statistic. As example from the practice this method is used to evaluate the uncertainty of a percent elongation and tensile strength in testing plastic products

Shifted up cosine function as unconventional model of probability distribution

The shifted up one period of cosine function with field under it normalized to 1 is proposed to be use as the un conventional model of probability density function (PDF). It could also approximate Normal probability distribution in the range š 2.5 standard deviation with accuracy of about š0.02, which is fully acceptable in the evaluation of measurement uncertainty. In this paper the properties of the above cosine based PDF are considered. The possibility of its applications in the routine data assessment and in virtual instruments with automatic uncertainty calcula tions is recommended

Methods of upgrading the uncertainty of type A evaluation Discovering and elimination the influence of drift and harmonic components for regular sampling

Zaproponowano udoskonalenie metody typu A szacowania niepewności zalecanej przez przewodnik ISO GUM. Polega ono na wykryciu nieznanego a priori trendu i podstawowej składowej oscylacyjnej w surowych wynikach obserwacji pomiarowych oraz ich wyeliminowaniu. Dla dwu przykładów liczbowych przedstawiono i omówiono wpływ takiego "czyszczenia" wyników surowych ze składowych systematycznych na wartość odchylenia standardowego próbki.A new approach to upgrading the type A uncertainty evaluation due ISO GUM recommendations is presented in this paper. The "cleaning" of raw data set by elimination the systematic components as trend and periodical ones and the influence of this cleanings on standard uncertainty type A is presented and disused on two numerical examples

Modelowanie wpływu odbić sensorów na dokładność pomiaru reflektometrem mikrofalowym

In this paper the uncertainty component of a multisensor microwave reflectometer dependent on mutual reflections between sensors is described. One-line and two-lines arrangement of the set of sensor localization are considered. Adjacent sensors influence each other. The mathematical model of signal flow graphs of such a system was developed. The set of linear algebraic equations incorporating main reflections between sensors was worked out. The least squares method or Kalman filter for averaging the sensor signals with random distortions is used. The uncertainty of measuring the power by the multi-sensor reflectometer is estimated. The obtained results are discussed. The described methods of the uncertainty evaluation can be applied to automation of the multi-sensor reflectometer and in other multivariable measurements.Artykuł przedstawia i porównuje wyniki modelowania błędów granicznych w pomiarach mocy sygnału mikrofalowego w falowodzie wielosensorowym reflektometrem. Wyniki te uzyskano metodą najmniejszych kwadratów lub też filtrem Kalmana. Stosowanie kilku dodatkowych sensorów w falowodzie umożliwia pomiary trzech podstawowych parametrów mocy sygnału ze zwiększoną czułością. Jednakże sensory oddziałują wzajemnie na siebie. Analizuje się jednorzędowy i dwurzędowy układ rozmieszczenia sensorów podany na rys. 1a,b. Odległość między sensorami odpowiada 1/8 długości fali w falowodzie. Wykorzystując grafy skierowane opracowano model przepływu sygnałów w układzie - rys. 2. Uwzględniono wpływy odbić od sąsiednich sensorów rozmieszczonych w falowodzie. Otrzymano uproszczony liniowy układ równań algebraicznych uwzględniający podstawowe oddziaływania odbić od sensorów - wzór (2). Przy założonych wariancjach dla normalnych rozkładów zakłóceń w torach czujników oszacowano standardowe niepewności pomiarów mocy sygnału w falowodzie. Użyto uśredniania metodą najmniejszych kwadratów MNK lub filtru Kalmana, dla którego podano schemat przetwarzania - rys. 3 i wzory (3)-(10). Niepewności uzyskane obiema metodami dla różnych przesunięć fazowych pomiędzy sensorami i różnej ich liczby przedstawiono na rysunkach 4 i 5. Porównano otrzymane wyniki. Stosując większą liczbę czujników niż 3 obiema metodami uzyskano kilkuprocentowe zmniejszenie standardowej niepewności pomiarów mocy mikrofalowego sygnału w falowodzie. Metodę filtru Kalmana można wykorzystać nie tylko przy automatyzacji pomiaru reflektometrem wielosensorowym, ale i do powiększenia dokładności innych wielosensorowych pomiarów procesów z zakłóceniami