Sobre matrizes aleatórias e suas aplicações

Tese de doutoramento em Ciências (área de especialização em Matemática)Neste trabalho é estudada a função zeta de Artin-Mazur para as aplicações quadráticas no intervalo com invariante de amassamento aperiódico, usando a teoria das Cadeias de Markov Topológicas. Para tal, utilizamos a construção da matriz de Markov, introduzida por José Sousa Ramos, no início da década de 1980, no caso de uma partição do intervalo com um número infinito numerável de elementos, mas também, na prova do resultado mais importante, exploramos o formalismo da matriz Ө da dinâmica, formalismo introduzido também por José Sousa Ramos.In the present dissertation we study the zeta function for quadratic maps of the interval with aperiodic kneading invariant, using the Markov topological chain theory. We use the scheme, introduced by José Sousa Ramos, in the beginning of the 1980s, that allow us to get the Markov transition matrix of the dynamics in the case of a countable partition of the interval, but also, for the proof of our main theorem, of a matrix Ө formalism, also due to Sousa Ramos

On discreteness of spectrum of a functional differential operator

summary:We study conditions of discreteness of spectrum of the functional-differential operator $$\mathcal {L} u=-u''+p(x)u(x)+\int _{-\infty }^\infty (u(x)-u(s)) {\rm d}_s r(x,s)$$ on $(-\infty ,\infty )$. In the absence of the integral term this operator is a one-dimensional Schrödinger operator. In this paper we consider a symmetric operator with real spectrum. Conditions of discreteness are obtained in terms of the first eigenvalue of a truncated operator. We also obtain one simple condition for discreteness of spectrum