Well-posedness and asymptotically self-similar solutions for the Navier-Stokes equations in weak Herz spaces

Orientador: Lucas Catão de Freitas FerreiraDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho, estuda-se a boa-colocação local e global das equações de Navier-Stokes com dados iniciais em espaços de Herz fracos. Na abordagem, consideramos soluções do tipo brandas e usamos um argumento de ponto fixo. O resultado local é provado dependendo de uma condição de pequenez no tempo de existência T, a partir do qual pode acontecer um fenômeno de blow-up. Além disso, apresenta-se um critério de extensão global dessas soluções locais. Por outro lado, o resultado global é provado com uma condição de pequenez no dado inicial. Esses resultados estendem os obtidos por Giga e Miyakawa [11] em espaços de Morrey. Além disso, prova-se a inclusão e não-inclusão de alguns espaços de Herz fracos em certos espaços de Besov e a inclusão dos espaços de Herz fracos em BMO?1, identificando a posição destes espaços em uma família de espaços onde tem-se resultados de boa-colocação global. Estuda-se ainda a estabilidade assintótica das soluções e a existência de soluções autossimilares. Como uma consequência, obtém-se uma classe de soluções assintoticamente autossimilares. Este trabalho é baseado no artigo de Yohei Tsutsui [30] publicado na revista Advances inDifferential Equations em 2011Abstract: In this work, we study local and global well-posedness for the Navier-Stokes equations with initial data in weak Herz spaces. In the approach, we consider mild solutions and use a fixed point argument. The local result is proven depending on a smallness condition for the existence time T, from which a blow-up phenomena could occur. Inspired by that, a global extension criterion for these local solutions is showed. On the other hand, the global result is proven with a smallness condition on the initial data. This result extends the ones obtained by Giga and Miyakawa [11] in Morrey spaces. Besides that, we prove inclusion and non-inclusion of some weak Herz spaces in certain Besov spaces and the inclusion of weak Herz spaces in BMO?1, identifying the position of these spaces in a family of spaces in which global well-posedness results are known. Also, we study asymptotic stability of the solutions and existence of self-similar solutions. As a consequence, we obtain a class of asymptotically self-similar solutions. This work is based on Yohei Tsutsui¿s paper [30] that was published in Advances in Differential Equations, 2011MestradoMatematicaMestre em Matemática160180/2014-7CNP