Convex central configurations of the 4-body problem with two pairs of equal masses

Agraïments: The first and third authors are partially supported by FAPEMIG grant APQ-001082/14. The third author is partially supported by CNPq grant 472321/2013-7 and by FAPEMIG grant PPM-00516-15. The second and third autors are supported by CAPES CSF-PVE grant 88881.030454/2013-01.MacMillan and Bartky in 1932 proved that there is a unique isosceles trapezoid central configuration of the 4--body problem when two pairs of equal masses are located at adjacent vertices. After this result the following conjecture was well known between people working on central configurations: The isosceles trapezoid is the unique convex central configuration of the planar 4--body problem when two pairs of equal masses are located at adjacent vertices. We prove this conjecture

Erosão hídrica pós-plantio em florestas de eucalipto na bacia do rio Paraná, no leste do Mato Grosso do Sul

Nas regiões tropicais, o desgaste provocado no solo por ação das águas da chuva, ou seja, a erosão hídrica é a mais importante forma de degradação do solo. Visto que os plantios florestais de eucalipto estão inseridos em ecossistemas sensíveis às perturbações antrópicas em razão de ocorrência de plantações em solos com baixos teores de argila, com baixa fertilidade natural e grande parte das plantações estabelecidas em antigas áreas agrícolas e de pastagens degradadas, surge a necessidade do entendimento dos processos que regem a erosão hídrica e suas relações com as perdas de solo e água nos sistemas florestais. Objetivaram-se com este trabalho calcular os valores de erosividade da chuva (fator R - EI30), estimar a tolerância de perda de solo (T) para as classes representativas nas áreas de estudo, avaliar as perdas de solo e água por erosão hídrica e verificar a influência, por meio de análise de componentes principais (ACP), de atributos físicos e matéria orgânica do solo sobre a erosão hídrica em florestas de eucalipto no estádio de pós-plantio. Os tratamentos constituíram de diferentes sistemas de manejo dos resíduos e da disposição de plantio (nível e desnível), em dois biomas distintos, Cerrado e Floresta, e solo descoberto. Os solos foram classificados como Latossolo Vermelho distrófico típico textura média-alta fase floresta (LVd1) e Latossolo Vermelho distrófico típico textura média-baixa fase cerrado (LVd2). O estudo foi realizado em áreas experimentais de plantio de eucalipto localizadas no município de Três Lagoas, na bacia do Rio Paraná, no leste do Mato Grosso do Sul. O índice de erosividade anual obtido foi de 6.792,7 MJ mm ha-1 h-1 ano-1. Os valores de T variaram de 9,0 a 11,0 Mg ha-1 ano-1, para o LVd2 e LVd1, respectivamente. As perdas de solo apresentaram valores em torno de 0 a 0,505 Mg ha-1 no LVd1 e de 0 a 0,853 Mg ha-1, no LVd2. A ACP evidenciou-se eficiente na discriminação dos sistemas de manejo em razão da interação entre os atributos físicos e matéria orgânica do solo e suas relações com a erosão hídrica, possibilitando visualizar de forma clara a influência do manejo sobre esses atributos e a relação de ambos com as perdas de solo e água