Higher Moment Estimators for Linear Regression Models With Errors in the Variables

This paper proposes instrumental variable estimators for multiple linear regression models with errors in the explanatory variables, that require no extraneous information. As is very well known, the ordinary least squares estimator (OLS), which is based on the sample moments of order two, is unbiased when there are no errors in the variables, but it becomes biased and inconsistent when there are such errors [Fuller (1987)]. In contrast, the suggested estimators are based on higher sample moments and can be considered as a special type of instrumental variable estimator. They are consistent, under quite reasonable assumptions, when there are measurement errors. While most consistent estimators based on higher moments (HM) proposed previously in the literature [Geary (1942), Drion (1951), Durbin (1954), Pal (1980)] for regressions with errors in the variables seem to be quite erratic [Kendall and Stuart (1963), Malinvaud (1978)], the suggested estimators appear to perform remarkably well in many situations. Although most data do contain errors of measurement, this fact is often ignored by the analysts and statistical procedures designed for data measured without error are applied. It is shown that ignoring the presence of even small measurement errors and using traditonal OLS estimators may lead to performing standard Student t-tests with type I errors of considerably higher sizes than intended, while this is not so with the proposed HM estimators. Our experimental findings suggest also that even if the sample is not very large, when the errors in the variables are non-negligible, our estimators do perform better than the OLS estimators in terms of root mean squared errors, when the explanatory variables are strongly correlated and the multiple correlation of the regression is high. Such situations are typical of many statistical analyses based on aggregate data. When the multiple correlation coefficient is smaller and the explanatory variables are less correlated, our HM estimators will still outperform the OLS estimator if the sample is large, even if the measurement errors are not very important. Such cases are frequently encountered in analyses of survey data. Tests for the presence of errors in the variables are also described, and the power of the tests are assessed in the Monte Carlo experiments. Nous proposons, pour les modèles de régression linéaire où les variables explicatives contiennent des erreurs de mesure, des estimateurs de variables instrumentales d'un type particulier, qui n'exigent aucune information extrinsèque. On sait que l'estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO), qui est basé sur les moments échantillonnaux d'ordre deux, est centré lorsqu'il n'y a pas d'erreurs sur les variables0501s qu'il devient biaisé et non convergent en présence de telles erreurs [Fuller (1987)]. Par ailleurs, les estimateurs que nous suggérons sont basés sur des moments d'ordres supérieurs et peuvent être vus comme des estimateurs de variables instrumentales. Sous des hypothèses très raisonnables, ces estimateurs demeurent convergents même lorsqu'il y a des erreurs de mesure. Alors que la plupart des estimateurs convergents basés sur des moments d'ordres supérieurs (MOS) proposés antérieurement [Geary(1942), Drion(1951), Durbin (1954), Pal (1980)] pour les modèles de régression avec erreurs sur les variables, semblent très erratiques [Kendall et Stuart (1963), Malinvaud (1978)], les estimateurs que nous proposons se comportent remarquablement bien, dans un grand nombre de cas. Quoique la plupart des données contiennent des erreurs de mesure, ce fait est souvent ignoré par les analystes qui appliquent, la plupart du temps, des procédures statistiques conçues pour le traitement de données mesurées sans erreur. Nous démontrons que le fait de négliger la présence d'erreurs de mesure même relativement faibles et d'utiliser les estimateurs MCO traditionnels, peut faire en sorte que les tests de Student standards comportent des erreurs de type I dont le niveau est considérablement plus élevé que le niveau désiré, alors que ce n'est pas le cas si on utilise les estimateurs MOS proposés. Même si les échantillons ne sont pas très grands, les résultats de nos expériences suggèrent également que dans les cas où les erreurs sur les variables ne sont pas négligeables, le comportement de nos estimateurs lorsqu'on l'évalue en termes de la racine carrée des écarts quadratiques moyens, est supérieur à celui des MCO, quand les variables explicatives sont fortement corrélées et que le coefficient de corrélation multiple est élevé. Ce genre de situations est typique des analyses statistiques basées sur des données agrégées. Si le coefficient de corrélation multiple est moins élevé et que les variables explicatives sont moins corrélées, nos estimateurs MOS peuvent encore s'avérer supérieurs aux estimateurs MCO lorsque les échantillons sont suffisamment grands, et cela même si les erreurs de mesure ne sont pas aussi importantes. De tels cas se rencontrent fréquemment lorsqu'on a affaire à des données d'enquêtes. Nous décrivons également des tests d'erreurs sur les variables et nous évaluons la puissance de ces tests au moyen d'expériences de Monte-Carlo.Errors in the variables; Measurement errors; Higher moment estimators; Instrumental variable estimators, Erreurs sur les variables ; Erreurs de mesure ; Variables instrumentales ; Moments d'ordres supérieurs

L’estimation de modèles de régression linéaire autorégressifs avec erreurs résiduelles autocorrélées et erreurs sur les variables

Nous présentons, pour des modèles de séries chronologiques, une méthode d’estimation qui tient compte de la présence d’erreurs de mesure sur les données, lorsque ces erreurs ne sont pas autocorrélées. L’approche suggérée utilise des valeurs décalées des variables indépendantes comme variables instrumentales. Nous employons l’estimateur convergent proposé par Fuller (1987) et comparons analytiquement les erreurs quadratiques moyennes de cet estimateur avec celles d’un estimateur similaire qui ne tiendrait pas compte des erreurs de mesure. Finalement, nous rapportons, à partir d’un échantillon de 150 observations, les résultats d’études de Monte Carlo sur ces deux estimateurs ainsi que sur un estimateur alternatif qui est une somme pondérée des deux premiers. Ces expériences montrent que l’estimateur alternatif semble relativement mieux se comporter. On constate également que l’inconvénient de la présence d’erreurs sur les variables n’est pas seulement de biaiser les estimateurs des coefficients ou d’accroître les erreurs quadratiques moyennes, mais également de sous-estimer considérablement le niveau des erreurs de type I des tests de signification.This paper presents, for models based on time series data, a method of estimation to take into account errors in the variables, when these errors are not autocorrelated. The suggested approach utilizes shifted values of the independent variables as instruments. We use Fuller's (1987) consistent estimator and compare analytically the mean squared errors of this estimator with those of a similar estimator which would ignore the presence of errors in the variables. Finally, from Monte-Carlo studies based on samples of 150 observations, we evaluate the relative performance of the above estimators as well as that of an alternative estimator which is a weighted sum of the first two. Our experiments show that the alternative estimator appears to behave relatively better. They also indicate that the inconveniences associated with the presence of errors in the variables is not only to bias the parameter estimators or to increase their mean squared errors but also to underestimate notably the size of the type I errors of significance tests

Analyse de la performance d’étudiants au baccalauréat en administration en fonction de leurs caractéristiques à l’entrée

Les économistes s’intéressent depuis longtemps à divers aspects de l’éducation comme, par exemple : la mesure de l’output, l’analyse des déterminants du succès scolaire ou la pédagogie.Cette étude se situe dans cette ligne de préoccupations. En effet, elle cherche à voir si certaines caractéristiques académiques contenues dans le dossier de l’étudiant au moment de son admission contribuent à expliquer en partie ses résultats à l’université. Cette étude porte sur des étudiants inscrits à un baccalauréat en administration. Toutefois étant donné les liens qui existent entre l’économie et l’administration, il est probable que plusieurs des résultats obtenus se vérifieraient aussi dans le cadre d’études sur des étudiants en économie.Cette analyse fait ressortir plusieurs éléments importants. On note par exemple, une relation positive très significative entre la performance de l’étudiant dans le programme et ses résultats scolaires au cégep ainsi que ses résultats à des tests d’admission. De plus l’étudiant qui a choisi la concentration « sciences » au cégep réussit en général mieux que celui qui vient de la concentration « sciences humaines » même si, à l’intérieur de celle-ci, l’étudiant a choisi un profil « sciences administratives ».Economists have long been interested in different aspects of education such as, the measure of its output, the analysis of the determinants of scholarly achievement or the pedagogical approach. This study stands within the same lines of preoccupations. Indeed, it tries to find out whether some of the academic characteristics contained in the student record when admitted to the University contribute in part to explain his results.The study considers students enrolled in a bachelor degree program in administration. However, given that economics and administration are related topics, one can anticipate that several of the results of this study would also be verified in studies concerned with economics students.Our analysis reveals a number of important points. For example, a very significant positive relationship is shown to exist between the student's performance in the B.A.A. program and his grades at the cégep as well as his results at the admission tests.Furthermore, the cégep student who comes from the "science" concentration succeeds better, in general, than the student from the "social science" concentration even if, within this concentration, the student has selected a "business administration" profile

L’économiste et les confitures

Réflexions à partir d’une fable de Georges Duhamel intitulée « Les confitures », sur les difficultés auxquelles se heurtent les économistes qui se livrent à une analyse avantages-coûts et sur les exigences de leur rôle dans la société.Thoughts inspired by a fable written by Georges Duhamel entitled "Les Confitures", on the difficulties encountered by economists responsible for performing cost benefit analyses as well as on their role in society

L’économiste et les confitures

Thoughts inspired by a fable written by Georges Duhamel entitled "Les Confitures", on the difficulties encountered by economists responsible for performing cost benefit analyses as well as on their role in society. Réflexions à partir d’une fable de Georges Duhamel intitulée « Les confitures », sur les difficultés auxquelles se heurtent les économistes qui se livrent à une analyse avantages-coûts et sur les exigences de leur rôle dans la société.

Higher Moment Estimators for Linear Regression Models With Errors in the Variables

Nous proposons, pour les modèles de régression linéaire où les variables explicatives contiennent des erreurs de mesure, des estimateurs de variables instrumentales d'un type particulier, qui n'exigent aucune information extrinsèque. On sait que l'estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO), qui est basé sur les moments échantillonnaux d'ordre deux, est centré lorsqu'il n'y a pas d'erreurs sur les variables0501s qu'il devient biaisé et non convergent en présence de telles erreurs [Fuller (1987)]. Par ailleurs, les estimateurs que nous suggérons sont basés sur des moments d'ordres supérieurs et peuvent être vus comme des estimateurs de variables instrumentales. Sous des hypothèses très raisonnables, ces estimateurs demeurent convergents même lorsqu'il y a des erreurs de mesure. Alors que la plupart des estimateurs convergents basés sur des moments d'ordres supérieurs (MOS) proposés antérieurement [Geary(1942), Drion(1951), Durbin (1954), Pal (1980)] pour les modèles de régression avec erreurs sur les variables, semblent très erratiques [Kendall et Stuart (1963), Malinvaud (1978)], les estimateurs que nous proposons se comportent remarquablement bien, dans un grand nombre de cas. Quoique la plupart des données contiennent des erreurs de mesure, ce fait est souvent ignoré par les analystes qui appliquent, la plupart du temps, des procédures statistiques conçues pour le traitement de données mesurées sans erreur. Nous démontrons que le fait de négliger la présence d'erreurs de mesure même relativement faibles et d'utiliser les estimateurs MCO traditionnels, peut faire en sorte que les tests de Student standards comportent des erreurs de type I dont le niveau est considérablement plus élevé que le niveau désiré, alors que ce n'est pas le cas si on utilise les estimateurs MOS proposés. Même si les échantillons ne sont pas très grands, les résultats de nos expériences suggèrent également que dans les cas où les erreurs sur les variables ne sont pas négligeables, le comportement de nos estimateurs lorsqu'on l'évalue en termes de la racine carrée des écarts quadratiques moyens, est supérieur à celui des MCO, quand les variables explicatives sont fortement corrélées et que le coefficient de corrélation multiple est élevé. Ce genre de situations est typique des analyses statistiques basées sur des données agrégées. Si le coefficient de corrélation multiple est moins élevé et que les variables explicatives sont moins corrélées, nos estimateurs MOS peuvent encore s'avérer supérieurs aux estimateurs MCO lorsque les échantillons sont suffisamment grands, et cela même si les erreurs de mesure ne sont pas aussi importantes. De tels cas se rencontrent fréquemment lorsqu'on a affaire à des données d'enquêtes. Nous décrivons également des tests d'erreurs sur les variables et nous évaluons la puissance de ces tests au moyen d'expériences de Monte-Carlo.This paper proposes instrumental variable estimators for multiple linear regression models with errors in the explanatory variables, that require no extraneous information. As is very well known, the ordinary least squares estimator (OLS), which is based on the sample moments of order two, is unbiased when there are no errors in the variables, but it becomes biased and inconsistent when there are such errors [Fuller (1987)]. In contrast, the suggested estimators are based on higher sample moments and can be considered as a special type of instrumental variable estimator. They are consistent, under quite reasonable assumptions, when there are measurement errors. While most consistent estimators based on higher moments (HM) proposed previously in the literature [Geary (1942), Drion (1951), Durbin (1954), Pal (1980)] for regressions with errors in the variables seem to be quite erratic [Kendall and Stuart (1963), Malinvaud (1978)], the suggested estimators appear to perform remarkably well in many situations. Although most data do contain errors of measurement, this fact is often ignored by the analysts and statistical procedures designed for data measured without error are applied. It is shown that ignoring the presence of even small measurement errors and using traditonal OLS estimators may lead to performing standard Student t-tests with type I errors of considerably higher sizes than intended, while this is not so with the proposed HM estimators. Our experimental findings suggest also that even if the sample is not very large, when the errors in the variables are non-negligible, our estimators do perform better than the OLS estimators in terms of root mean squared errors, when the explanatory variables are strongly correlated and the multiple correlation of the regression is high. Such situations are typical of many statistical analyses based on aggregate data. When the multiple correlation coefficient is smaller and the explanatory variables are less correlated, our HM estimators will still outperform the OLS estimator if the sample is large, even if the measurement errors are not very important. Such cases are frequently encountered in analyses of survey data. Tests for the presence of errors in the variables are also described, and the power of the tests are assessed in the Monte Carlo experiments

Multiatom and transit-time effects on photon-correlation measurements in resonance fluorescence

An expression is derived for the expected number of photon pairs separated by a time interval τ that are detected in photoelectric correlation measurements of an atomic beam, when due account is taken of the fluctuations of the number of radiating atoms and of the effect of their finite transit time through the field of view. The theoretical expression is checked against some recent measurements and good agreement is obtained