A Numerical Method for Inverse Spectral Problems

На основе метода Галеркина разработан новый численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами. В отличии от метода решения обратных спектральных задач, основанного на теории регуляризованных следов дискретных полуограниченными снизу операторов, в разработанном методе ослаблены ограничения на возмущающий оператор. Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации области исследования. Метод был апробирован на спектральных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали вычислительную эффективность метода. Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных снизу оператора, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений этих операторов можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами. Можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с большими номерами, когда применение метода Галеркина становится затруднительным

Numerical Research of the Barenblatt - Zheltov - Kochina Stochastic Model

At present, investigations of Sobolev-type models are actively developing. In the solution of applied problems the results allowing to get their numerical solutions are very significant. In the article the algorithm for numerical solving of the initial boundary value problem is developed. The problem describes the pressure distribution of the homogeneous fluid in the horizontal layer in the circle. The layer is opened by a vertical well of a small radius. In our research we suppose that random disturbing loads have an influence on the fluid. The problem was solved under two assumptions. Firstly, we suppose that an unstable fluid flow is axially symmetric, and secondly, that in initial moment the pressure in the layer is constant. After the process of the discretization we modify the original model to the Cauchy problem for the system of ordinary differential equations. For the numerical solution we use algorithms based on explicit one-step formulas of the Runge - Kutta type with the seventh-order accuracy and with the selection of the integration step. We also use the scheme of the eighth-order accuracy to evaluate the calculation accuracy on each steps of time. According to the results of this control, we choose the time-step. A lot of numerical experiments have shown high numerical efficiency of the algorithm that we use to solve the investigated initial-boundary problem.В настоящее время активно развиваются исследования математических моделей соболевского типа. В решении прикладных задач значимыми являются результаты, позволяющие получать их численное решение. В работе разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи описывающей распределение давления однородной жидкости в горизонтальном пласте, который вскрыт вертикальной скважиной малого размера. Предполагается, что на жидкость действуют возмущающие случайные нагрузки, а область исследования представляет собой круг с центром на оси скважины. Задача решалась в предположение, что неустановившееся течение жидкости осесимметричное, а в начальный момент времени давление в пласте постоянное. Проводя дискретизацию, исходная задача для дифференциального уравнения в частных производных, преобразована к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи Коши использовались алгоритмы, основанные на явных одношаговых формулах типа Рунге - Кутты седьмого порядка точности с выбором шага интегрирования. Для оценки контроля точности вычислений на каждом временном шаге использовалась схема восьмого порядка точности. Исходя из результатов этого контроля, выбирался временной шаг. Многочисленные вычислительные эксперименты показали высокую вычислительную эффективности алгоритма решения исследуемой начально-краевой задачи

SPECTRAL PROBLEMS ON COMPACT GRAPHS

The method of nding the eigenvalues and eigenfunctions of abstract discrete semibounded operators on compact graphs is developed. Linear formulas allowing to calculate the eigenvalues of these operators are obtained. The eigenvalues can be calculates starting from any of their numbers, regardless of whether the eigenvalues with previous numbers are known. Formulas allow us to solve the problem of computing all the necessary points of the spectrum of discrete semibounded operators dened on geometric graphs. The method for nding the eigenfunctions is based on the Galerkin method. The problem of choosing the basis functions underlying the construction of the solution of spectral problems generated by discrete semibounded operators is considered. An algorithm to construct the basis functions is developed. A computational experiment to nd the eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm Liouville operator dened on a two-ribbed compact graph with standard gluing conditions is performed. The results of the computational experiment showed the high effciency of the developed methodsРазработана методика нахождения собственных чисел и собственных функций абстрактных дискретных полуограниченных операторов, заданных на компактных графах. Получены линейные формулы, позволяющие с высокой вычислительной эффективностью вычислять собственные значения этих операторов, начиная с любого их номера, независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами. Данные формулы решают проблему вычисления всех необходимых точек спектра дискретных полуограниченных операторов, заданных на геометрических графах. Собственные функции находятся на основе метода Галеркина. Рассмотрен вопрос выбора базисных функций, лежащих в основе построения решения спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными операторами, и приводится алгоритм их построения. Проведен вычислительный эксперимент по нахождению собственных чисел и собственных функций оператора Штурма - Лиувилля, заданного на двухреберном компактном графе со стандартными условиями склейки. Результаты вычислительных экспериментов показали высокую эффективность разработанной методики

Computational experiment for a class of mathematical models of magnetohydrodynamics

The first initial-boundary value problem for the system modelling the motion of the incompressible viscoelastic Kelvin - Voigt fluid in the magnetic field of the Earth is investigated considering that the fluid is under external influence. The problem is studied under the assumption that the fluid is under different external influences depending not only on the coordinates of the point in space but on time too. In the framework of the theory of semi-linear Sobolev type equations the theorem of existence and uniqueness of the solution of the stated problem is proved.The solution itself is a quasi-stationary semi-trajectory. The description of the problem's extended phase space is obtained.The results of the computainal experiment are presented.Исследуется первая начально-краевая задача для системы уравнений, моделирующей движение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта в магнитном поле Земли с учетом внешнего воздействию на жидкости. Задача изучается в предположении, что жидкость находится под влиянием различных внешних воздействий, зависящих не только от координаты точки в пространстве, но и от времени. В рамках теории полулинейных неавтономных уравнений соболевского типа доказана теорема о существовании и единственности решения, которое является квазистационарной полутраекторией, а также дано описание расширенного фазового пространства. Приведены результаты вычислительного эксперимент