Nonexistence and multiplicity of solutions to elliptic problems with supercritical exponents

We consider the supercritical problem -\Delta u = |u|^{p-2}u in \Omega, u=0 on \partial\Omega, where $\Omega$ is a bounded smooth domain in $\mathbb{R}^{N},$ $N\geq3,$ and $p\geq2^{*}:= 2N/(N-2).$ Bahri and Coron showed that if $\Omega$ has nontrivial homology this problem has a positive solution for $p=2^{*}.$ However, this is not enough to guarantee existence in the supercritical case. For $p\geq 2(N-1)/(N-3)$ Passaseo exhibited domains carrying one nontrivial homology class in which no nontrivial solution exists. Here we give examples of domains whose homology becomes richer as $p$ increases. More precisely, we show that for $p> 2(N-k)/(N-k-2)$ with $1\leq k\leq N-3$ there are bounded smooth domains in $\mathbb{R}^{N}$ whose cup-length is $k+1$ in which this problem does not have a nontrivial solution. For $N=4,8,16$ we show that there are many domains, arising from the Hopf fibrations, in which the problem has a prescribed number of solutions for some particular supercritical exponents.Comment: Published online in Calculus of Variations and Partial Differential Equation

Towers of Nodal Bubbles for the Bahri–Coron Problem in Punctured Domains

Let Omega be a bounded smooth domain in R-N which contains a ball of radius R centered at the origin, N >= 3. Under suitable symmetry assumptions, for each delta is an element of (0, R), we establish the existence of a sequence (u(m,delta)) of nodal solutions to the critical problem-Delta u = vertical bar u vertical bar(2*-2)u in Omega(delta) := {x is an element of Omega : vertical bar x vertical bar > delta} on partial derivative Omega(delta),where 2* := 2N/N-2 is the critical Sobolev exponent. We show that, if Omega is strictly star-shaped then, for each m is an element of N, the solutions u(m, delta) concentrate and blow up at 0, as delta -> 0, and their limit profile is a tower of nodal bubbles, that is, it is a sum of rescaled nonradial sign-changing solutions to the limit problem-Delta u = vertical bar u vertical bar(2*-2)u , u is an element of D-1,D-2(R-N),centered at the origin

Optimal pinwheel partitions for the Yamabe equation

We establish the existence of an optimal partition for the Yamabe equation in the whole space made up of mutually linearly isometric sets, each of them invariant under the action of a group of linear isometries. To do this, we establish the existence of a solution to a weakly coupled competitive Yamabe system, whose components are invariant under the action of the group, and each of them is obtained from the previous one by composing it with a linear isometry. We show that, as the coupling parameter goes to minus infinity, the components of the solutions segregate and give rise to an optimal partition that has the properties mentioned above. Finally, taking advantage of the symmetries considered, we establish the existence of infinitely many sign-changing solutions for the Yamabe equation that are different from those previously found in the by W.Y. Ding, and del Pino, Musso, Pacard and PistoiaComment: 19 page

New type of solutions to a slightly subcritical Hénon type problem on general domains

We consider the following slightly subcritical problem ((sic)epsilon) { -Delta u = beta(x)vertical bar u vertical bar(p-1-epsilon) u in Omega, u = 0 on partial derivative Omega, where Omega is a smooth bounded domain in R-n, 3 <= n <= 6, p := n+2/n-2 is the Sobolev critical exponent, epsilon is a small positive parameter and beta is an element of C-2 ((Omega) over bar) is a positive function. We assume that there exists a nondegenerate critical point xi(*) is an element of partial derivative Omega of the restriction of p to the boundary partial derivative Omega such that del(beta(xi(*)) -2/p-1) . eta(xi(*)) > 0, where eta denotes the inner normal unit vector on partial derivative Omega. Given any integer k >= 1, we show that fors epsilon > 0 small enough problem ((sic)epsilon) has a positive solution, which is a sum of k bubbles which accumulate at xi(*) as epsilon tends to zero. We also prove the existence of a sign changing solution whose shape resembles a sum of a positive bubble and a negative bubble near the point xi(*.)Fondecyt 11303602 3150172 1140311 Fondo Basal CMM, Chile Millennium Nucleus Center for Analysis of PDE NC130017 fond basal CMM, Chile Fondo Basal CM

Calibration standars of nuclear microprobes

El Micro-haz de iones Pesados (MiP) del laboratorio Tandar constituye un instrumento de características únicas en el país, pues puede proveer haces de iones pesados de dimensiones micrométricas acelerados hasta decenas de MeV de energía. La búsqueda de tamaños de haz más pequeños ha creado la necesidad de contar con estándares de calibración de elevada calidad de resolución. En el presente trabajo se desarrollaron los primeros prototipos para calibrar la focalización del haz: estructuras metálicas de cobre o niquel en forma de grilla con orificios cuadrados. Se emplearon dos métodos de fabricación. En el primero se utilizaron técnicas de fotolitografía convencional sobre un sustrato de silicio con foto-resina, mientras que en el segundo se utilizó el MiP para micro-mecanizar sustratos de Niobato de Litio (LiNbO3). En ambos casos se finalizó el proceso de fabricación del patrón con electrodeposición de cobre o níquel sobre la matriz desarrollada. Mediante la técnica fotolitográfica se fabricaron grillas de níquel que varían entre 130 y 180 mesh**. Mediante micro-mecanizado con el MiP se fabricaron grillas de cobre de entre 500 y 2000 mesh sobre sustratos de LiNbO3.The Micro-heavy ion beam (MiP) at Tandar’s Lab is a unique instrument in the country, as it can provide heavy ion beams at micrometer-scale accelerated to tens of MeV energy. The quest for smaller beam sizes has created the need for calibration standards of high resolution quality. In this paper we developed the first prototypes to calibrate the beam focusing: metal structures of copper or nickel shaped grid with square holes. We used two methods of manufacture. Were used in the first conventional photolithography techniques on a silicon substrate with photoresin while the second was used for micromachining with MiP substrates of lithium niobate (LiNbO3). In both cases the process for the manufacture was finished with electro-deposition of copper or nickel on the matrix developed. By photolithographic technique nickel grids were manufactured varying between 130 and 180 mesh. By MiP micromachining copper grids were produced between 500 and 2000 mesh on LiNbO3 substrates.Fil: Arena, S.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; ArgentinaFil: Faya, T.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; ArgentinaFil: Lell, J.. Comisión Nacional de Energía Atómica. Centro Atómico Constituyentes. Gerencia de Investigación y Aplicaciones; ArgentinaFil: Vega, N.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; ArgentinaFil: Davidson, Jorge. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Nesprias, Francisco Jose Gabriel. Comisión Nacional de Energía Atómica. Centro Atómico Constituyentes. Gerencia de Investigación y Aplicaciones; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Debray, M.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Comisión Nacional de Energía Atómica. Centro Atómico Constituyentes. Gerencia de Investigación y Aplicaciones; Argentina. Universidad Nacional de San Martín. Escuela de Ciencia y Tecnología; Argentin

Vigilancia Epidemiológica de zoonosis en pequeños animales en la zona de influencia de la Facultad de Ciencias Agropecuarias de la UCC

La Organización Mundial de la Salud (OMS) ha definido las zoonosis como “aquellas enfermedades e infecciones que se transmiten, en forma natural, entre animales vertebrados y el hombre. La separación de las zoonosis en un grupo aparte de enfermedades tiene un significado práctico, antropocéntrico y utilitario, si bien biológicamente injustificable. Su objetivo es señalar que el reservorio de estas enfermedades son los animales inferiores y por consiguiente la prevención y el control de la infección deben llevarse a cabo sobre estos reservorios animales. La consideración que requieren las zoonosis, más allá de la sola propuesta para su valoración en términos de morbilidad y mortalidad, implica también generar y ofrecer alternativas viables para su atención desde una perspectiva integral, que más allá de una casuística, considere sus determinantes. Estableciéndose que las zoonosis se pueden transmitir a partir de los mismos animales, otras formas de vida o bien a través de vehículos y materia inerte, el riesgo de contraer una zoonosis no está definido por la posesión o no de animales, ni es tampoco una decisión el asimilarlo con conocimientos de causa, simplemente se refiere a un hecho epidemiológico de carácter ambiental y por lo tanto a un evento definible como riesgo que adquiere características particulares en el contexto urbano. Una zoonosis más que un caso de enfermedad transmisible requiere ser visto como la manifestación de un complejo en el que la enfermedad es solo la resultante de un proceso en el que convergen diversos factores, relacionados con las variables epidemiológicas de tiempo, espacio y población pero también con las de carácter económico, social y específicas de orden cultural. Pocos son los conocimientos actuales de la casuística de las zoonosis transmitidas por pequeños animales en el área de influencia de la UCC, por lo tanto a través del presente proyecto se intenta avanzar en el conocimiento de estas enfermedades y a su vez implementar en el ámbito de la Facultad de Ciencias Agropecuarias, técnicas diagnósticas para las mismas, que no solo beneficiarán las tareas de docencia sino también de servicio al medio.Fil: Graiff, Diego Sebastián. Universidad Católica de Córdoba. Facultad de Ciencias Agropecuarias; ArgentinaFil: Sequeira, Gabriel Jorge. Universidad Católica de Córdoba. Facultad de Ciencias Agropecuarias; ArgentinaFil: Faya, Marcela Inés. Universidad Católica de Córdoba. Facultad de Ciencias Agropecuarias; Argentin