On the uniqueness of nonlinear diffusion coefficients in the presence of lower order terms

We consider the identification of nonlinear diffusion coefficients of the form $a(t,u)$ or $a(u)$ in quasi-linear parabolic and elliptic equations. Uniqueness for this inverse problem is established under very general assumptions using partial knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map. The proof of our main result relies on the construction of a series of appropriate Dirichlet data and test functions with a particular singular behavior at the boundary. This allows us to localize the analysis and to separate the principal part of the equation from the remaining terms. We therefore do not require specific knowledge of lower order terms or initial data which allows to apply our results to a variety of applications. This is illustrated by discussing some typical examples in detail

Simultaneous identification of diffusion and absorption coefficients in a quasilinear elliptic problem

In this work we consider the identifiability of two coefficients $a(u)$ and $c(x)$ in a quasilinear elliptic partial differential equation from observation of the Dirichlet-to-Neumann map. We use a linearization procedure due to Isakov [On uniqueness in inverse problems for semilinear parabolic equations. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1993] and special singular solutions to first determine $a(0)$ and $c(x)$ for $x \in \Omega$. Based on this partial result, we are then able to determine $a(u)$ for $u \in \mathbb{R}$ by an adjoint approach.Comment: 10 pages; Proof of Theorem 4.1 correcte

Identification of nonlinear heat conduction laws

We consider the identification of nonlinear heat conduction laws in stationary and instationary heat transfer problems. Only a single additional measurement of the temperature on a curve on the boundary is required to determine the unknown parameter function on the range of observed temperatures. We first present a new proof of Cannon's uniqueness result for the stationary case, then derive a corresponding stability estimate, and finally extend our argument to instationary problems

Numerical identification of a nonlinear diffusion law via regularization in Hilbert scales

We consider the reconstruction of a diffusion coefficient in a quasilinear elliptic problem from a single measurement of overspecified Neumann and Dirichlet data. The uniqueness for this parameter identification problem has been established by Cannon and we therefore focus on the stable solution in the presence of data noise. For this, we utilize a reformulation of the inverse problem as a linear ill-posed operator equation with perturbed data and operators. We are able to explicitly characterize the mapping properties of the corresponding operators which allow us to apply regularization in Hilbert scales. We can then prove convergence and convergence rates of the regularized reconstructions under very mild assumptions on the exact parameter. These are, in fact, already needed for the analysis of the forward problem and no additional source conditions are required. Numerical tests are presented to illustrate the theoretical statements.Comment: 17 pages, 2 figure

Identification of Chemotaxis Models with Volume Filling

Chemotaxis refers to the directed movement of cells in response to a chemical signal called chemoattractant. A crucial point in the mathematical modeling of chemotactic processes is the correct description of the chemotactic sensitivity and of the production rate of the chemoattractant. In this paper, we investigate the identification of these non-linear parameter functions in a chemotaxis model with volume filling. We also discuss the numerical realization of Tikhonov regularization for the stable solution of the inverse problem. Our theoretical findings are supported by numerical tests.Comment: Added bibfile missing in v2, no changes on conten

Segmentierung medizinischer Bilddaten und bildgestützte intraoperative Navigation

Die Entwicklung von Algorithmen zur automatischen oder semi-automatischen Verarbeitung von medizinischen Bilddaten hat in den letzten Jahren mehr und mehr an Bedeutung gewonnen. Das liegt zum einen an den immer besser werdenden medizinischen Aufnahmemodalitäten, die den menschlichen Körper immer feiner virtuell abbilden können. Zum anderen liegt dies an der verbesserten Computerhardware, die eine algorithmische Verarbeitung der teilweise im Gigabyte-Bereich liegenden Datenmengen in einer vernünftigen Zeit erlaubt. Das Ziel dieser Habilitationsschrift ist die Entwicklung und Evaluation von Algorithmen für die medizinische Bildverarbeitung. Insgesamt besteht die Habilitationsschrift aus einer Reihe von Publikationen, die in drei übergreifende Themenbereiche gegliedert sind: -Segmentierung medizinischer Bilddaten anhand von vorlagenbasierten Algorithmen -Experimentelle Evaluation quelloffener Segmentierungsmethoden unter medizinischen Einsatzbedingungen -Navigation zur Unterstützung intraoperativer Therapien Im Bereich Segmentierung medizinischer Bilddaten anhand von vorlagenbasierten Algorithmen wurden verschiedene graphbasierte Algorithmen in 2D und 3D entwickelt, die einen gerichteten Graphen mittels einer Vorlage aufbauen. Dazu gehört die Bildung eines Algorithmus zur Segmentierung von Wirbeln in 2D und 3D. In 2D wird eine rechteckige und in 3D eine würfelförmige Vorlage genutzt, um den Graphen aufzubauen und das Segmentierungsergebnis zu berechnen. Außerdem wird eine graphbasierte Segmentierung von Prostatadrüsen durch eine Kugelvorlage zur automatischen Bestimmung der Grenzen zwischen Prostatadrüsen und umliegenden Organen vorgestellt. Auf den vorlagenbasierten Algorithmen aufbauend, wurde ein interaktiver Segmentierungsalgorithmus, der einem Benutzer in Echtzeit das Segmentierungsergebnis anzeigt, konzipiert und implementiert. Der Algorithmus nutzt zur Segmentierung die verschiedenen Vorlagen, benötigt allerdings nur einen Saatpunkt des Benutzers. In einem weiteren Ansatz kann der Benutzer die Segmentierung interaktiv durch zusätzliche Saatpunkte verfeinern. Dadurch wird es möglich, eine semi-automatische Segmentierung auch in schwierigen Fällen zu einem zufriedenstellenden Ergebnis zu führen. Im Bereich Evaluation quelloffener Segmentierungsmethoden unter medizinischen Einsatzbedingungen wurden verschiedene frei verfügbare Segmentierungsalgorithmen anhand von Patientendaten aus der klinischen Routine getestet. Dazu gehörte die Evaluierung der semi-automatischen Segmentierung von Hirntumoren, zum Beispiel Hypophysenadenomen und Glioblastomen, mit der frei verfügbaren Open Source-Plattform 3D Slicer. Dadurch konnte gezeigt werden, wie eine rein manuelle Schicht-für-Schicht-Vermessung des Tumorvolumens in der Praxis unterstützt und beschleunigt werden kann. Weiterhin wurde die Segmentierung von Sprachbahnen in medizinischen Aufnahmen von Hirntumorpatienten auf verschiedenen Plattformen evaluiert. Im Bereich Navigation zur Unterstützung intraoperativer Therapien wurden Softwaremodule zum Begleiten von intra-operativen Eingriffen in verschiedenen Phasen einer Behandlung (Therapieplanung, Durchführung, Kontrolle) entwickelt. Dazu gehört die erstmalige Integration des OpenIGTLink-Netzwerkprotokolls in die medizinische Prototyping-Plattform MeVisLab, die anhand eines NDI-Navigationssystems evaluiert wurde. Außerdem wurde hier ebenfalls zum ersten Mal die Konzeption und Implementierung eines medizinischen Software-Prototypen zur Unterstützung der intraoperativen gynäkologischen Brachytherapie vorgestellt. Der Software-Prototyp enthielt auch ein Modul zur erweiterten Visualisierung bei der MR-gestützten interstitiellen gynäkologischen Brachytherapie, welches unter anderem die Registrierung eines gynäkologischen Brachytherapie-Instruments in einen intraoperativen Datensatz einer Patientin ermöglichte. Die einzelnen Module führten zur Vorstellung eines umfassenden bildgestützten Systems für die gynäkologische Brachytherapie in einem multimodalen Operationssaal. Dieses System deckt die prä-, intra- und postoperative Behandlungsphase bei einer interstitiellen gynäkologischen Brachytherapie ab