On the degree of ultrametricity

Using the notion of the subdominant ultrametric, the degree of ultrametricity D of a given metric space (e.g. phase space) is introduced. A simple and efficient method for the calculation of D is outlined. D is shown to provide a simple quantitative measure of the deviation from exact ultrametricity. Explicit examples are used to illustrate this notion which is argued to be of some interest in statistical-mechanical models and combinatorial optimization problems.La notion de degré d'ultramétricité D d'un espace métrique donné est introduite à partir de l'ultramétrique sous-dominante. On décrit une procédure simple et efficace pour le calcul de D. On montre que D fournit une mesure quantitative simple de la déviation par rapport à l'ultramétricité exacte. Cette notion est illustrée pour des exemples explicites et nous suggérons son intérêt dans les modèles de mécanique statistique ainsi que les problèmes d'optimisation combinatoire

The random field Ising model : algorithmic complexity and phase transition

The random field Ising model (RFIM) is investigated from the complexity point of view. We prove that finding a ground state of the ferromagnetic RFIM is a polynomial (P) optimization problem in any dimension d. A new rigidity algorithm for the search of the ground state morphology is also given. In contrast, the problem associated to the antiferromagnetic RFIM is shown to be an NP-complete optimization problem. The absence of any sensivity to d contrasts sharply with the known results previously obtained for the frustration model of spin glasses. Our results show, in particular, the absence of a simple one to one correspondence between finite Tc phase transition and NP-completeness properties in statistical mechanics models with competing interactions.Le modèle d'Ising en champ aléatoire (RFIM) est étudié du point de vue de la complexité algorithmique. On montre que le problème d'optimisation de la recherche d'un état de base du modèle ferromagnétique est polynomial (P) en toutes dimensions. Un nouvel algorithme de rigidité pour l'étude de la morphologie des états de base est aussi donné. Par opposition, le problème associé au modèle antiferromagnétique est démontré être NP-complet. L'absence d'une dépendance explicite de la complexité du RFIM avec la dimensionnalité contraste avec les résultats connus pour le modèle de frustration des verres de spins. Nos résultats montrent en particulier l'absence d'une correspondance simple entre les propriétés : NP-complet et existence d'une transition de phase a Tc fini dans les modèles de mécanique statistique avec des interactions en compétition