Pullback Attractor for Nonautonomous Ginzburg-Landau Equation with Additive Noise

Long time behavior of stochastic Ginzburg-Landau equations with nonautonomous deterministic external forces, dispersion coefficients, and nonautonomous perturbations is studied. The domain is taken as a bounded interval I in R. By making use of Sobolev embeddings and Gialiardo-Nirenberg inequality we obtain the existence and upper semicontinuity of the pullback attractor in L2(I) for the equation. The upper semicontinuity shows the stability of attractors under perturbations

On cocycle and uniform attractors for multi-valued and random non-autonomous dynamical systems

En esta tesis estudiamos el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos multivaluados y aleatorios en términos de sus atractores globales. Comenzamos con el estudio de los atractores cociclo, pullback y uniforme para sistemas dinámicos no autónomos multivaluados. En primer lugar consideramos la relación entre estos tres tipos de atractores para encontrar que, bajo condiciones adecuadas, se implican entre sí. Encontramos además que estos atractores pueden caracterizarse por trayectorias (soluciones globales), lo que implica que el atractor uniforme tiene una propiedad de invarianza (lifted invariance), aunque, por definición, no posee la invarianza estándar. Finalmente, estudiamos tanto la semicontinuidad superior como inferior de estos atractores. Se introduce un equi-atracción débil para estudiar la semicontinuidad inferior, y se muestra con un ejemplo las ventajas de este método. Un sistema de reaccióndifusión y una inclusión diferencial ordinaria escalar se estudian como aplicaciones. A continuación estudiamos el caso aleatorio (pero univaluado), en el marco de los sistemas dinámicos aleatorios (RDS, por sus siglas en inglés). En primer lugar, se estudian los atractores cociclo para RDS y sistemas dinámicos aleatorios no autónomos (NRDS) con sólo una continuidad llamada cuasi fuerte a débil (abreviadamente cuasi-S2W). Esta continuidad se muestra heredable: si una aplicación es cuasi-S2W continua en algún espacio, entonces lo es automáticamente en espacios más regulares. Además, al establecer algunos criterios de existencia para los atractores cociclo, vemos que la continuidad cuasi- S2W es suficiente para derivar la medibilidad del atractor cociclo. Estas observaciones generalizan los teoremas de existencia conocidos para los atractores cociclo, por un lado, y, por otro, nos permiten estudiar estos atractores en espacios regulares sin demostrar la continuidad del sistema. Aplicando estos resultados a la teoría bi-espacial de atractores cociclos, establecemos un teorema de existencia que indica que la medibilidad de los atractores bi-espaciales es válida en espacio más regulares, no sólo en el espacio de fases básico como previamente en la literatura. En segundo lugar, para NRDS se comparan los atractores cociclos con universos de atracción autónomos y no autónomos, y luego para universos autónomos se establecen algunos criterios de existencia y caracterización. También estudiamos la semicontinuidad superior de estos atractores con respecto a los símbolos no autónomos, para hallar que un atractor cociclo es semicontinuo superiormente respecto a los símbolos si y sólo si es uniformemente compacto. En tercer lugar, establecemos una teoría de atractores uniformes (aleatorios) para NRDS. Definimos un atractor uniforme como el menor conjunto aleatorio compacto uniformemente atrayente. En cuanto a la definición, observamos que la propiedad de atracción uniforme de un atractor uniforme, de hecho, implica una atracción uniforme hacia adelante en probabilidad, e implica también una atracción pullback casi uniforme para sucesiones de tiempo discretas. Aunque no se requiere invarianza por definición, el atractor uniforme posee una semi-invarianza negativa. Estudiamos la existencia de atractores uniformes, y la relación entre los atractores uniformes y los atractores para los productos cruzados aleatorios (random skew-products). Para superar la dificultad de la medibilidad de los conjuntos aleatorios, se requiere que el espacio de símbolos sea Polish, que se tiene para funciones localmente integrables cuando el espacio de símbolos se define como la clausura de las mismas. Para la relación entre los atractores uniformes y cociclos encontramos, por un lado, que el atractor uniforme de un NRDS continuo se compone de estados involucrados en el atractor cociclo, y que, por el otro, puede ser descrito como el atractor cociclo de un RDS multivaluado (pero autónomo). Además, los atractores uniformes para NRDS continuos aparecen determinados (como en el caso de RDS aut\'onomos) por la atracción uniforme de conjuntos compactos no aleatorios. Como aplicaciones se estudian la existencia y caracterización de atractores cociclo y uniformes para la ecuación de reacción-difusión, la ecuación de Ginzburg- Landau y la ecuación bidimensional de Navier-Stokes con ruido blanco escalar

Regularity and structure of pullback attractors for reaction-diffusion type systems without uniqueness

In this paper, we study the pullback attractor for a general reaction-diffusion system for which the uniqueness of solutions is not assumed. We first establish some general results for a multi-valued dynamical system to have a bi-spatial pullback attractor, and then we find that the attractor can be backwards compact and composed of all the backwards bounded complete trajectories. As an application, a general reaction-diffusion system is proved to have an invariant (H, V )-pullback attractor A = {A(τ)}τ∈R. This attractor is composed of all the backwards compact complete trajectories of the system, pullback attracts bounded subsets of H in the topology of V, and moreover ∪ s6τ A(s) is precompact in V, ∀τ ∈ R. A non-autonomous Fitz-Hugh-Nagumo equation is studied as a specific example of the reaction–diffusion system.State Scholarship Fund (China)Junta de AndalucíaBrazilian-European partnership in Dynamical SystemsEuropean UnionNational Natural Science Foundation of Chin

Finite-Dimensionality of Tempered Random Uniform Attractors

Finite-dimensional attractors play an important role in finite-dimensional reduction of PDEs in mathematical modelization and numerical simulations. For non-autonomous random dynamical systems, Cui and Langa (J Differ Equ, 263:1225–1268, 2017) developed a random uniform attractor as a minimal compact random set which provides a certain description of the forward dynamics of the underlying system by forward attraction in probability. In this paper, we study the conditions that ensure a random uniform attractor to have finite fractal dimension. Two main criteria are given, one by a smoothing property and the other by a squeezing property of the system, and neither of the two implies the other. The upper bound of the fractal dimension consists of two parts: the fractal dimension of the symbol space plus a number arising from the smoothing/squeezing property. As an illustrative application, the random uniform attractor of a stochastic reaction–diffusion equation with scalar additive noise is stud ied, for which the finite-dimensionality in L2 is established by the squeezing approach and that in H1 0 by the smoothing framework. In addition, a random absorbing set that absorbs itself after a deterministic period of time is also constructed

Uniform Attractor and Approximate Inertial Manifolds for Nonautonomous Long-Short Wave Equations

Nonautonomous long-short wave equations with quasiperiodic forces are studied. We prove the existence of the uniform attractor for the system by means of energy method, which is widely used to deal with problems who have no continuity (with respect to the initial data) property, as well as to those which Sobolev compact imbedding cannot be applied. Afterwards, we construct an approximate inertial manifold by means of extending phase space method and we estimated the size of the corresponding attracting neighborhood for this manifold

On the Residual Continuity of Global Attractors

In this brief paper, we studied the residual continuity of global attractors Aλ in varying parameters λ∈Λ with Λ a bounded Borel set in Rd. We first reviewed the well-known residual continuity result of global attractors and then showed that this residual continuity is equivalent to the dense continuity. Then, we proved an analogue continuity result in measure sense that, under certain conditions, the set-valued map λ↦Aλ is almost (in the Lebesgue measure sense) uniformly continuous: for any small ε>0 there exists a closed subset Cε⊂Λ with Lebesgue measure m(Cε)>μ(Λ)−ε such that the set-valued map ε↦Aε is uniformly continuous on Cε. This, in return, indicates that the selected attractors {Aλ:λ∈Cε} can be equi-attracting

On the Residual Continuity of Global Attractors

In this brief paper, we studied the residual continuity of global attractors Aλ in varying parameters λ∈Λ with Λ a bounded Borel set in Rd. We first reviewed the well-known residual continuity result of global attractors and then showed that this residual continuity is equivalent to the dense continuity. Then, we proved an analogue continuity result in measure sense that, under certain conditions, the set-valued map λ↦Aλ is almost (in the Lebesgue measure sense) uniformly continuous: for any small ε>0 there exists a closed subset Cε⊂Λ with Lebesgue measure m(Cε)>μ(Λ)−ε such that the set-valued map ε↦Aε is uniformly continuous on Cε. This, in return, indicates that the selected attractors {Aλ:λ∈Cε} can be equi-attracting

Weakly Compact Uniform Attractor for the Nonautonomous Long-Short Wave Equations

Solutions and weakly compact uniform attractor for the nonautonomous long-short wave equations with translation compact forces were studied in a bounded domain. We first established the existence and the uniqueness of the solution to the system by using Galerkin method and then obtained the uniform absorbing set and the weakly compact uniform attractor of the problem by applying techniques of constructing skew product flow in the extended phase space