Percolation and cluster distribution. III. Algorithms for the site-bond problem

Algorithms for estimating the percolation probabilities and cluster size distribution are given in the framework of a Monte Carlo simulation for disordered lattices for the generalized site-bond problem. The site-bond approach is useful when a percolation process cannot be exclusively described in the context of pure site or pure bond percolation. An extended multiple labeling technique (ECMLT) is introduced for the generalized problem. The ECMLT is applied to the site-bond percolation problem for square and triangular lattices. Numerical data are given for lattices containing up to 16 million sites. An application to polymer gelation is suggested.Peer Reviewedhttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/45140/1/10955_2005_Article_BF01011170.pd

Majorant et minorant du seuil de percolation de lien du kagomé

Using a star-triangle substitution we derive the kagomé lattice from a modified honeycomb lattice. We give very close upper bound and lower bound for the critical bond percolation probability of the kagomé. The method is applied to a few other two-dimensional site or bond problems.Par une transformation étoile-triangle on passe d'une variante du réseau en nid d'abeille au réseau kagomé. Ceci permet d'encadrer à quelques millièmes près le seuil de percolation de lien du kagomé. Cette méthode de substitution est étendue à quelques autres réseaux plans

Site percolation : Frontier curvature of clusters

In the site percolation process, a new parameter is defined: the mean curvature of the frontier of the clusters. This curvature is a function of the proportion of active sites. In both cases, nearest neighbour interaction and long range interaction, its expression is a polynomial for a large class of two or three dimensional lattices. The curvature is zero for a value near the critical proportion.Une nouvelle grandeur concernant les processus de filtrage est définie : la courbure moyenne de la frontière des amas. Cette courbure est une fonction de la proportion de sites actifs. Dans les deux cas, interaction entre plus proches voisins et interaction à longue portée, son expression est un polynôme, pour toute une classe de réseaux à deux et trois dimensions. La courbure s'annule pour une valeur proche de la proportion critique correspondant à l'apparition de l'amas infini

Percolation in a continuous two-dimensional medium

In a preceding paper, we presented a Monte Carlo method and two branching process models, used for the study of clusters of atoms randomly distributed and bounded by an interaction of given range r0. Similar methods are used here for the two-dimensional case. We find that the infinite cluster appears when the mean number of atoms in a circle of radius r 0 is about 4.1.Dans une note précédente, nous avons présenté une méthode de Monte Carlo et des modèles de processus de ramification appliqués à l'étude des amas formés par des atomes répartis aléatoirement et liés par une interaction de portée donnée r0. Les mêmes techniques sont utilisées ici pour le cas de l'espace à deux dimensions. Un résultat essentiel est que l'amas infini apparait lorsque le nombre moyen d'atomes contenus dans un cercle de rayon r0 est 4,1 environ

Clusters of atoms coupled by long range interactions

We present a study on cluster size distribution for atoms randomly distributed in a three-dimensional continuous medium. Statistical results are obtained by a Monte Carlo method. r0 being the range of interaction, it is found that the infinite cluster appears when the mean number of atoms, W, in a sphere of radius r0 reaches a value slightly higher than 2.6. Besides this, the statistical results are compared to the results deduced from branching process models : some essential features are then outlined and an approximate expression is proposed for the number of atoms belonging to clusters of small sizes, for a large range of concentration.Nous présentons une étude statistique de la distribution de la taille des amas formés par des atomes répartis aléatoirement dans un milieu continu. Les résultats statistiques sont obtenus par une méthode de Monte Carlo. r0 mesurant la portée des interactions, nous trouvons qu'un amas infini apparaît quand le nombre moyen d'atomes, W, contenus dans une sphère de rayon r0, atteint - une valeur légèrement supérieure à 2,6. Pour rendre compte de ces résultats statistiques, nous avons élaboré des modèles de processus de ramification. Quelques propriétés essentielles sont dégagées, et on obtient une expression approchée pour une grande gamme de concentration du nombre d'atomes appartenant à des amas de petites tailles

Renormalization by substitution on 2-D Potts models

A new renormalization method in position space (renormalization by substitution) that can be applied to some two-dimensional lattices is described in the framework of Potts model on Kagomé and on triangular lattices. Unfortunately the transformation thus defined is not injective and one must find a criterion to eliminate this difficulty : this problem is solved with the aid of the Julia set associated with the transformation. Critical temperatures are obtained, which are in better agreement with the exact results than those obtained with the Migdal-Kadanoff approximation ; critical exponents are also improved, but in a less spectacular manner.Nous décrivons une nouvelle méthode de renormalisation dans l'espace des positions (renormalisation par substitution) qui peut convenir à certains réseaux bidimensionnels : nous l'appliquons ici au modèle de Potts sur les réseaux Kagomé et triangulaire. La transformation mathématique correspondante n'étant pas univoque, nous avons utilisé la construction de son ensemble de Julia pour trouver un critère permettant d'éliminer cette difficulté. Nous obtenons des températures critiques présentant un bien meilleur accord avec les résultats exacts que celui obtenu par l' approximation Migdal-Kadanoff ; les exposants critiques sont aussi améliorés, mais de façon moins spectaculaire

Size dependence of the percolation threshold of square and triangular network

We study the size dependence of the percolation threshold of square and triangular networks by a computation simulation method. This work gives an estimate of the accuracy on the threshold determination, which can be reached as a function of the size of the network. This size effect can be explained using a single correlation length in accordance with the universality hypothesis.On étudie au moyen d'une simulation par ordinateur l'influence de la taille du réseau sur l'apparition du seuil de percolation pour des réseaux plans limités carrés et triangulaires. Cette étude permet d'apprécier la taille minimale compatible avec une précision fixée pour la détermination du seuil. L'hypothèse d'universalité fournit un moyen d'exprimer cet effet de taille en fonction d'une longueur de corrélation unique