Zur Kollineationsgruppe von achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen

Studiert man die Gruppe Ge der stetigen affinen Kollineationen einer achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebene mit dem Ziel, die Ebenen mit großen Kollineationsgruppen zu klassifizieren, so ist die Betrachtung von kompakten zusammenhängenden Untergruppen, die zwei Punkte auf der Translationsachse L∞ festlassen und auf L"∞ fast effektiv wirken, sehr wichtig

Automorphismengruppen von lokalkompakten zusammenhängenden Quasikörpern und Translationsebenen

Der bisher erfolgreichste Ansatz zur Klassifikation topologischer projektiver Ebenen (bei denen Punkt- und Geradenraum so mit einer Topologie versehen werden, daß Verbinden und Schneiden stetig sind) ist das Studium ihrer Kollineationsgruppen als topologische Transformationsgruppen. Für Ebenen mit kompaktem, zusammenhängendem und höchstens vierdimensionalem Punktraum hat dieser Ansatz in den letzten 15 Jahren in Arbeiten von H. Salzmann, D. Betten, S. Breitsprecher und K. Strambach zu abgerundeten Klassifikationsergebnissen geführt. Über Ebenen mit Punkträumen höherer topologischer Dimension hingegen liegen bisher keine systematischen Ergebnisse vor, unter anderem wohl deshalb, weil hier im Gegensatz zu den Verhältnissen in den unteren Dimensionen (vgl. etwa [12], [13], [15]) eine Reihe noch völlig offener topologischer Probleme aufgeworfen ist: etwa die Fragen, ob Punkt- und Geradenmenge stets lokaleuklidisch sind und ob die geeignet topologisierte Kollineationsgruppe eine Liegruppe ist. Diese Schwierigkeiten werden hier durch Einschränkung der Untersuchung auf Translationsebenen umgangen. Die Erfahrungen bei vierdimensionalen Ebenen etwa aus [16] und [17] Iassen hoffen, daß mit den Translationsebenen die hinsichtlich der Größe der Kollineationsgruppe homogensten Ebenen schon erfaßt sind

Zur Klassifikation von 8- und 16-dimensionalen lokalkompakten Translationsebenen nach ihren Kollineationsgruppen

Eine projektive Ebene heißt topologisch, wenn der Punktraum IP und der Geradenraum 5~ so mit Topologien versehen sind, daß Schneiden und Verbinden stetige Operationen werden. In einer Theorie solcher Ebenen wird man konkrete und umfassende Resultate nur unter topologischen Zusatzvoraussetzungen erwarten können. Ahnlich wie in der Theorie der topologischen Gruppen hat sich die Forderung, daß die betrachteten Topologien lokalkompakt und zusammenhäingend sein sollen, als guter Ausgangspunkt erwiesen

Differentiable fibrations of the (2n-1)-sphere by great (n-1)-spheres and their coordinatization over quasifields

A locally trivial differentiable fibre bundle with total space S 2n-1 whose fibres are great (n-1)-spheres is topologically equivalent to one of the classical Hopf fibrations

Achtdimensionale lokalkompakte Translationsebenen mit mindestens 17- dimensionaler Kollineationsgruppe

Diese Arbeit bildet den Abschluß eines Klassifikationsprogramms mit dem Ziel der expliziten Bestimmung aller achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen, deren Kollineationsgruppe mindestens 17-dimensional ist. Diese Klassifikation ist über den Rahmen der Theorie der topologischen Translationsebenen hinaus von Belang. Nach neuesten Ergebnissen von Salzmann (bisher unveröffentlicht) ist jede achtdimensionale, (lokal)kompakte topologische projektive Ebene, deren Kollineationsgruppe mindestens 17-dimensional ist, entweder isomorph zu einer der quaternalen Hughes-Ebenen ([23, Satz 2, 3.6ff]), oder aber eine Translationsebene bzw. dual zu einer solchen. Die Klassifikation, die hier zum Abschluß gebracht wird, liefert also die Ebenen mit größtmöglicher Beweglichkeit unter den achtdimensionalen kompakten projektiven Ebenen schlechthin

Geometrisch homogene vierdimensionale reelle Divisionsalgebren

Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur Klassifikation kompakter zusammenhängender topologischer Translationsebenen

Charakterisierung der kompakten, zusammenhängenden Moufang-Hughes-Ebenen anhand ihrer Kollineationen

Gegeben sei eine projektive Ebene P mit einer desarguesschen Baer-Unterebene D derart, daß jede projektive Kollineation von D sich zu einer Kollineation von P fortsetzen läßt. Was kann man über P aussagen? Eine allgemeine Lösung dieses Problems scheint schwierig zu sein. Unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen wird man jedoch zu befriedigenden Antworten gelangen können. Im endlichen Fall etwa ergeben sich so genau die Hughes-Ebenen

Lokalkompakte zusammenhängende Translationsebenen mit großen Sphärenbahnen auf der Translationsachse

Die vorliegende Arbeit untersucht lokal kompakte zusammenhängende topologische Translationsebenen, auf deren Translationsachse L∞ eine Gruppe von stetigen affinen Kollineationen eine Bahn hat, die zu einer Sphäre relativ großer Dimension homöomorph ist. Daß diese Situation natürlich auftritt und häufig vorkommt, zeigt das folgende