Sur des problèmes d\u27asservissements stratigraphiques

On expose les difficultés d'ordre mathématique que posent des modèles récents de sédimentation-érosion de bassins élaborés par l'Institut Français du Pétrole et fondés sur la prise en compte de diverses contraintes d'unilatéralité. On présente quelques résultats partiels théoriques et des directions de recherche pour la résolution d'un problème inverse posé par l'étude stratigraphique d'une colonne monolithologique

Contribution à la résolution des équations de la magnétohydrodynamique et de la magnétostatique

L'étude des interactions entre un plasma et un champ magnétique joue un rôle important dans différents domaines tels que la fusion thermonucléaire par confinement magnétique, les plasmas astrophysiques. En évolution, ces interactions sont décrites par les équations de la magnétohydrodynamique (MHD). A l'équilibre, les équations de la MHD se réduisent à celles de la magnétostatique. Les équations de la magnétostatique forment un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires en dimension 3 faisant intervenir le champ magnétique et la pression cinétique du plasma. Quand on néglige la pression, le champ magnétique est alors dit de Beltrami. Nous proposons de résoudre numériquement les équations régissant les champs de Beltrami par un algorithme itératif de type point fixe associé à des méthodes d'éléments finis. Cette stratégie itérative est étendue au cas des configurations d'équilibres avec pression. On s'intéresse ensuite à l'approximation des équations de la MHD idéale instationnaires. Il s'agit d'un système de loi de conservation hyperbolique non linéaire. Nous proposons une approche de type volumes finis dans laquelle les flux sont calculés par une méthode de Roe sur un maillage tétraédrique et où les flux du champ magnétique sont modifiés afin de satisfaire la contrainte de divergence nulle qui lui est imposée. Les méthodes proposées ont été implantées dans deux nouveaux codes tridimensionnels TETRAFFF pour les équilibres, et TETRAMHD pour la MHD. Les résulats numériques obtenus par ces codes montrent la performance des méthodes employées.Interaction between a plasma and a magnetic field appears and has an important role in various domains such as thermonuclear fusion by magnetic confinement or astrophysical plasmas for example. In evolution, these interactions are described by the equations of magnetohydrodynamics (MHD). At equilibrium, the MHD equations reduce to the magnetostatic equations involving the magnetic field and the kinetic pressure of the plasma. The magnetostatic equations form a system of 3D non linear partial differential equations involving a magnetic field and a kinetic plasma pressure. When the pressure is supposed negligible, the magnetic field is known as Beltrami field. In a first time, we propose to solve numerically the Beltrami fields problem using a fixed point iterative algorithm associated with finite element methods. This iterative strategy is extended in a second time to the computation of magnetostatic configurations with pressure. In the sequel, we interest in the approximation of ideal MHD equations. This system forms a nonlinear hyperbolic conservation law. We propose to use a finite volume approach, in which fluxes are calculated by a Roe's method on a tetrahedral mesh. Fluxes of the magnetic field are modified in order to satisfy the constraint of divergence free imposed on it. The proposed methods have been implemented in two new three dimensional codes called TETRAFFF for equilibrium, and TETRAMHD for MHD. The obtained numerical results confirm the high performance of these methods.PAU-BU Sciences (644452103) / SudocSudocFranceF

Homogénéisation par convergence à double échelle du système de Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann

Le système d'évolution de Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann modélise les transferts ioniques en milieux poreux saturé en prenant en compte les interactions électrocapillaires au contact du substrat. Ce modèle présente un intérêt particulier en génie civil pour étudier la dégradation par corrosion des matériaux cimentaires, sous l'effet des ions chlorures. Les techniques d'homogénéisation sont alors un outil puissant pour élaborer un modèle macroscopique équivalent en vue d'optimiser les programmes coûteux de maintenance et de réhabilitation des constructions dégradées par corrosion. L'objet du travail présenté est de déduire, de la connaissance des comportements dans la structure micro-locale du milieu poreux, l'expression macroscopique du système d'évolution de Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann par homogénéisation selon la méthode de convergence à double échelle. L'intérêt de cette approche est de disposer d'un outil rigoureux permettant de considérer des non-linéarités. L'effet de double couche électrique est modélisé par une relation bijective non linéaire entre la densité surfacique de charges et le potentiel de surface énoncée par l'équation de Grahame. Il donne lieu à l'échelle macroscopique à l'apparition d'un 'terme étrange' de source ou de puits dans le milieu poreux, selon le signe du potentiel, gardant la mémoire de la géométrie micro-locale et proportionné à l'aire de l'interface solide-fluide dans la cellule périodique de référence : en fait une loi macroscopique originale de Grahame. Le phénomène présente une analogie forte avec d'autres modèles de milieux poreux en ingénierie pétrolière, où la prise en compte de la partie superficielle intérieure de la roche-magasin joue un rôle de réacteur chimique, ou bien lors d'effets d'adsorption, voire de désorption, pour l'effet Soret, lorsque le gradient géothermique est la cause de migrations différenciées des espèces chimiques. D’autre part, on montre que le système homogénéisé fortement couplé obtenu est bien posé au sens d'Hadamard dans un cadre fonctionnel hilbertien. On établit diverses propriétés descriptives (loi de conservation de l'énergie et d'entropie, solutions stationnaires et asymptotiques)

Deux modèles mathématiques de l'évolution d'un bassin sédimentaire (Phénomènes d'érosion-sédimentation-transport en géologie.)

Dans cette thèse, on étudie deux modèles décrivant l'évolution d'un bassin sédimentaire sous une contrainte sur le taux d'érosion. Ces modèles sont obtenus par l'application de la loi de conservation de masse sur le flux de matières, ce qui conduit à l'équation de Darcy ou à l'équation de Darcy-Barenblatt selon l'expression du flux choisie parmi deux expressions possibles d'après les géologues. L'équation de Darcy-Barenblatt est obtenue de celle de Darcy en ajoutant un terme de diffusion. En outre, la contrainte d'érosion maximale est implicitement contenue dans la formulation du modèle de Darcy-Barenblatt mais pas dans celle de Darcy en dimension 2. Après la présentation de ces modèles dans l'introduction de la thèse, la première partie est consacrée au modèle de Darcy-Barenblatt. On a obtenu un résultat d'existence d'une solution par une méthode de point fixe de Schauder-Tikhonov. Ensuite, on a montré un résultat de régularité en utilisant des résultats de Meyers et de Necas sur les équations elliptiques à coefficients höldériens, ce résultat de régularité est propre à une dimension inférieur ou égale à 2. La première partie se termine par la démonstration d'un résultat d'unicité de la solution. Le modèle de Darcy est étudié dans la deuxième partie de la thèse, on a obtenu une solution du problème discrétisé en temps, mais en dimension 2 d'espace le passage à la formulation continue fait apparaitre des produits de deux convergences faibles et soulève des difficultés théoriques non surmontées. En dimension 1, on a obtenu une solution continue pour le cas de la sédimentation marine en résolvant un problème à frontière libre de type Bernoulli d'évolution.In this thesis, we study two models describing the evolution of a sedimentary basin under an erosion rate constraint. These models are obtained by applying a mass conservation law on the flow of matter, which leads to Darcy's equation or to the equation of Darcy-Barenblatt whichever flow chosen among two possible expressions according to geologists. The equation of Darcy-Barenblatt is obtained from that of Darcy by adding a diffusion term. In addition, the maximum erosion constraint is implicit in the model formulation of Darcy-Barenblatt, but not in that of Darcy in dimension 2. After the presentation of these models in the introduction of the thesis, the first part is devoted to Darcy-Barenblatt's model. We obtained an existence result for a solution through a fixed point method of Schauder-Tikhonov. Then, we have showed a regularity result by using the results of Meyers and Necas on elliptic equations with hölder coefficients, this regularity result is specific to a dimension less than or equal to 2. The first part concludes by demonstrating a result of uniqueness of the solution. The Darcy model is considered in the second part of the thesis. We obtained a solution of the problem discretized in time, but in 2-dimensional space, passing to a continuous formulation imposes to study the product of two weak convergences. It raises theoretical difficulties and open problems. In dimension 1, we have solved a Bernoulli evolution problem to obtain a continuous solution in the case of the marine sedimentation.PAU-BU Sciences (644452103) / SudocSudocFranceF