Finite one dimensional impenetrable Bose systems: Occupation numbers

Bosons in the form of ultra cold alkali atoms can be confined to a one dimensional (1d) domain by the use of harmonic traps. This motivates the study of the ground state occupations $\lambda_i$ of effective single particle states $\phi_i$, in the theoretical 1d impenetrable Bose gas. Both the system on a circle and the harmonically trapped system are considered. The $\lambda_i$ and $\phi_i$ are the eigenvalues and eigenfunctions respectively of the one body density matrix. We present a detailed numerical and analytic study of this problem. Our main results are the explicit scaled forms of the density matrices, from which it is deduced that for fixed $i$ the occupations $\lambda_i$ are asymptotically proportional to $\sqrt{N}$ in both the circular and harmonically trapped cases.Comment: 22 pages, 8 figures (.eps), uses REVTeX

CONSTANT FINAL ENERGY AND CONSTANT INITIAL ENERGY SPECTROSCOPY

La correspondance existant entre l'émission photoélectronique et l'énergie des photons révèle des informations fondamentales sur les propriétés de la matière. L'emploi de sources synchrotrons permettant de faire varier de façon continue hv, assure un accès direct à cette correspondance. Deux méthodes de variation de hv ont été utilisées. La première, appelée Spectre à énergie Finale Constante (CFS), consiste à maintenir constante l'énergie d'analyse Ef du spectromètre à photoélectron et à faire varier hv. Dans la seconde méthode, Ef et hv varient de façon synchrone de telle sorte que Ef – hv demeure constant. Puisque Ef – hv est l'énergie initiale Ef pour les excitations à une particule, la courbe obtenue est appelée Spectre à énergie Initiale Constante (CIS). Les spectres CFS, CIS et la traditionnelle Courbe de Distribution Energétique (EDC) constituent les trois méthodes utilisées en spectroscopie des photoélectrons. Les méthodes CFS et CIS ont été appliquées à l'étude des excitations à partir des niveaux de valence et de coeur, et à celle des propriétés de volume et de surface, pour des solides et des gaz. La méthode CIS est une spectroscopie de l'état final puisque Ei est fixe pendant le balayage en Ef, ce qui permet, par exemple, la détermination des énergies des bandes de conduction et des mécanismes de déclin du trou lors d'une excitation des niveaux de coeur. En particulier, le comportement au seuil d'un niveau de coeur peut être étudié et les résultats obtenus pour les transitions entre les niveaux 3d de GaAs vers l'état excitonique vide de surface et le déclin subséquent du trou de coeur sont présentés. Avec le développement de la photoémission résolue angulairement, les méthodes CFS et CIS ont trouvé de nouvelles applications : par exemple, la structure observée dans l'émission directe des niveaux de coeur 4d de In dans InP a été attribuée aux bandes de conduction. La conservation de la composante parallèle du vecteur d'onde k|| est la règle de sélection principale pour la spectroscopie en photoémission résolue angulairement et fonction de la polarisation. Puisque la méthode CFS fixe Ef, un spectre CFS, obtenu à un angle polaire particulier, détermine les propriétés d'émission pour une valeur unique de k|| ce qui facilite l'interprétation. Cet exposé sera donc consacré aux différents types d'études utilisant les méthodes CFS et CIS. Enfin les résultats récents, — énergies des points critiques des bandes de valence et de conducteur de GaAs et point L1 du Ni déterminant une nouvelle largeur de la bande d — obtenus à partir de données collectées au synchrotron du Wisconsin sont présentés.The photon energy dependence of photoelectron emission contains significant information about the properties of matter. By taking advantage of the synchrotron radiation continuum one can scan the photon energy hv and directly obtain this photon energy dependence. We have developed and used two modes of scanning hv. In one the kinetic energy window of the photoelectron spectrometer, Ef, is held constant as hv is varied and is referred to as the Constant Final-energy Spectrum (CFS). For the other Ef and hv are synchronously varied such that Ef – hv is constant. Since Ei – hv is the initial energy Ei for one particle excitations, the resultant curve is termed the Constant Initial-energy Spectrum (CIS). The CFS and the CIS together with the traditional Energy Distribution Curve (EDC) form the three modes of photoemission spectroscopy. The CFS and CIS modes have been applied to the study of valence and core state excitations, surface and volume properties, for solids as well as gases. The CIS provides one with a final state spectroscopy since Ei is fixed as Ef is scanned which results for example in the determination of conduction band energies for valence excitation and hole decay mechanisms for core excitations. In particular the behaviour at the core threshold can be studied and the results for the GaAs 3d core-to-empty-surface state exciton and the ensuing core hole decay processes are presented. With the development of angle-resolved photoemission the CFS and CIS modes have found new applications. Structure in the direct emission of the In 4d core of InP due to conduction band States is presented. A principal selection rule in polarization-dependent, angle-resolved photoemission spectroscopy (PARUPS) is conservation of the parallel component of the wave vector, k||. Since the CFS mode fixes Ef, a CFS measured at a particular polar angle determines the emission properties for a unique k|| value which facilitates the interpretation. An overview of the various types of studies performed with the CFS and CIS modes will be given. Recent results obtained from data collected at the Wisconsin Synchrotron Radiation Centre are presented for valence band and conduction band critical point energies of GaAs and for the L1 point of Ni which determines a new d-band width